1、第三章1橢圓,1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一),學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解橢圓的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡過程. 2.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形.,題型探究,問題導(dǎo)學(xué),內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,問題導(dǎo)學(xué),思考1,知識點一橢圓的定義,給你兩個圖釘、一根無彈性的細(xì)繩、一張紙板，一支鉛筆，如何畫出一個橢圓？,在紙板上固定兩個圖釘，繩子的兩端固定在圖釘上，繩長大于兩圖釘間的距離，筆尖貼近繩子，將繩子拉緊，移動筆尖即可畫出橢圓.,答案,思考2,在上述畫橢圓過程中，筆尖移動需滿足哪些條件？如果改變這些條件，筆尖運動時形成的軌跡是否還為橢圓？,筆尖到兩圖釘?shù)木嚯x之和不變，等于

2、繩長.繩長大于兩圖釘間的距離.若在移動過程中繩長發(fā)生變化，即到兩定點的距離不是定值，則軌跡就不是橢圓.若繩長不大于兩圖釘間的距離，軌跡也不是橢圓.,答案,梳理,(1)我們把平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于 (大于|F1F2|)的點的集合叫作 .這兩個定點叫作橢圓的 ，兩焦點間的距離叫作橢圓的 . (2)橢圓的定義用集合語言敘述為： PM|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|.,常數(shù),橢圓,焦距,焦點,(3)2a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點的軌跡如下表：,知識點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,思考1,在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中abc一定成立嗎？,不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小關(guān)系不確定.,答

3、案,思考2,若兩定點A、B間的距離為6，動點P到兩定點的距離之和為10，如何求出點P的軌跡方程？,答案,梳理,(1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式,x軸,(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系,(3)根據(jù)方程判斷橢圓的焦點位置及求焦點坐標(biāo) 判斷橢圓焦點在哪個軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項和y2項的分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”.如方程為 1的橢圓，焦點在y軸上，而且可求出焦點坐標(biāo)F1(0，1)，F(xiàn)2(0，1)，焦距|F1F2|2.,題型探究,類型一橢圓的定義解讀,例1點P(3，0)是圓C：x2y26x550內(nèi)一定點，動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點，判斷圓心M的軌跡.,解答,方程x2y2

4、6x550化標(biāo)準(zhǔn)形式為：(x3)2y264，圓心為(3，0)，半徑r8. 因為動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點， 所以|MC|MP|r8， 根據(jù)橢圓的定義，動點M到兩定點C，P的距離之和為定值86|CP|， 所以動點M的軌跡是橢圓.,引申探究 若將本例中圓C的方程改為x2y26x270呢？,解答,設(shè)M(x，y)，據(jù)題意，圓C：(x3)2y236， 圓心C(3，0)，半徑r6. 據(jù)題意，有|MC|MP|r6|CP|. 故動點M的軌跡是線段CP.,橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視. 定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量. 常數(shù)(2a)必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓

5、，這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練1下列命題是真命題的是_.(將所有真命題的序號都填上) 已知定點F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，則滿足|PF1|PF2| 的點P的軌跡為橢圓； 已知定點F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿足|PF1|PF2|4的點P的軌跡為線段； 到定點F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)的距離相等的點的軌跡為橢圓., 2，故點P的軌跡不存在； 因為2a|F1F2|4，所以點P的軌跡是線段F1F2； 到定點F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)的距離相等的點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸).,答案,解析,類型二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,命題角度1用待定系數(shù)法求橢圓

6、的標(biāo)準(zhǔn)方程,解答,由ab0知不合題意，故舍去.,方法二設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0，mn). 所以所求橢圓的方程為5x24y21，,引申探究,解答,(1)若橢圓的焦點位置不確定，需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(mn，m0，n0).,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別為F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10；,據(jù)題意2a10，c4，故b2a2c29，,解答,(2)橢圓過點(3，2)，(5，1)；,設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A0，B0，AB)，,解答,(3

7、)橢圓的焦點在x軸上，且經(jīng)過點(2，0)和點(0，1).,解答,命題角度2用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例3已知一動圓M與圓C1：(x3)2y21外切，與圓C2：(x3)2y281內(nèi)切，試求動圓圓心M的軌跡方程.,據(jù)題意C1(3，0)，r11，C2(3，0)，r29， 設(shè)M(x，y)，半徑為R，則|MC1|1R，|MC2|9R， 故|MC1|MC2|10， 據(jù)橢圓定義知，點M的軌跡是一個以C1，C2為焦點的橢圓， 且a5，c3，故b2a2c216.,解答,用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的思路：先分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，可以先定位，再確定a，b的值.,反思與感悟,解

8、答,設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2， 由|PF1|PF2|知，PF2垂直于長軸. 又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，,類型三橢圓中焦點三角形問題,例4(1)已知P是橢圓 1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且F1PF230，求F1PF2的面積；,解答,在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2， 即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，,|PF2|2a|PF1|2， F1PF2120.,解答,在橢圓中，當(dāng)橢圓上的點不是橢圓與焦點所在軸的交點時，這個點與橢圓的兩個焦點可以構(gòu)成

9、一個三角形，這個三角形就是焦點三角形.這個三角形中一條邊長等于焦距，另兩條邊長之和等于橢圓定義中的常數(shù). 在處理橢圓中的焦點三角形問題時，可結(jié)合橢圓的定義|MF1|MF2|2a及三角形中的有關(guān)定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解.,反思與感悟,證明,在PF1F2中，根據(jù)橢圓定義，得|PF1|PF2|2a. 兩邊平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2. 根據(jù)余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 4c2. ，得(1cos )|PF1|PF2|2b2，,解答,從而|F1F2|2c2. 在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF

10、1|2|F1F2|2， 即|PF2|2|PF1|24. 又由橢圓定義知|PF1|PF2|224，所以|PF2|4|PF1|. 從而有(4|PF1|)2|PF1|24.,當(dāng)堂訓(xùn)練,2,3,4,5,1,1.已知A(5，0)，B(5，0).動點C滿足|AC|BC|10，則點C的軌跡是 A.橢圓 B.直線 C.線段 D.點,因為|AC|BC|10|AB|， 所以點C的軌跡是線段AB，故選C.,答案,解析,2,3,4,5,1,2.若方程3x2ky21表示焦點在y軸上的橢圓，則k的可能取值為 A.1 B.3 C.0 D.2,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,由橢圓的定義，得|PF1|2a|PF2

11、|， 即|PF1|10|PF2|， 所以|PF1|PM|10|PM|PF2|. 由三角形中“兩邊之差小于第三邊”可知， 當(dāng)P，M，F(xiàn)2三點共線時，|PM|PF2|取得最大值|MF2|，最小值|MF2|.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,4.橢圓8x23y224的焦點坐標(biāo)為_.,答案,解析,2,3,4,5,1,解答,同理得a24，b28，此時a2b2，與焦點在y軸上矛盾.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,方法二設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A0，B0，AB).,規(guī)律與方法,1.橢圓的定義式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|).在解題過程中將|PF1|PF2|看成一個整體，可簡化運算. 2.橢圓的定義中要求一動點到