1、一、傳染病模型,建立傳染病要考慮的因素非常多，如傳染速度、醫(yī)療能力、死亡、新生人口數(shù)量、人口年齡性別結(jié)構(gòu)等。具體到不同的疾病，還有傳播途徑、發(fā)作速度等問題。,此外，傳染病模型可以參照用于討論計(jì)算機(jī)病毒的傳播特征等方面。,傳染病爆發(fā)期間，感染人數(shù)會(huì)怎樣變化？哪些因素對(duì)其傳染效率的影響最大？,模型目標(biāo),問題,描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻,預(yù)防傳染病蔓延的手段,按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī) 理分析方法建立模型,模型假設(shè),基本假設(shè)：傳染病是由病人通過“接觸”健康人進(jìn)行傳播的. 疾病流行區(qū)域內(nèi)的人分為三類：S類(易感人群)；I類(病人)；R類(移出者)。 為簡(jiǎn)

2、單起見，假設(shè)本地區(qū)總?cè)丝诓蛔?，為N。,S I R,1、SI模型（只考慮S和I兩類人）,(1) 人群個(gè)體之間沒有差異。病人與易感者在人群中混合均勻，記s(t)為t時(shí)刻健康人占總?cè)丝诘谋壤?，i(t)為t時(shí)刻病人的比例，則s(t)+ i(t)=1。,(2)人群數(shù)量足夠大，s(t)和i(t)可以視為連續(xù)且可微的。 (3) 每個(gè)I類人每天“有效接觸”的人數(shù)為常數(shù) 。 (4)不考慮出生與死亡，以及人群的遷入遷出因素。,構(gòu)造模型,令t 0，得到微分方程：,這個(gè)模型可以用于預(yù)報(bào)傳染病爆發(fā)早期，患病人數(shù)的發(fā)展規(guī)律，并預(yù)測(cè)傳染高峰的時(shí)間。,SI模型圖形分析,病人比例隨時(shí)間的變化規(guī)律 病人數(shù)增長(zhǎng)速率與病人數(shù)的關(guān)系,

3、增派防疫、醫(yī)療人員,采取放假、隔離等措施,普及防疫措施、知識(shí),調(diào)整臨床醫(yī)療策略,SI模型結(jié)果分析,這個(gè)模型的缺陷是顯而易見的. 比如t +時(shí)，i(t) 1，這表明本地區(qū)最后所有人都會(huì)被感染。出現(xiàn)這種結(jié)果的原因是假設(shè)系統(tǒng)中只有兩種人，即病人和易感人群，而且沒有考慮病人會(huì)被治愈的因素。,1.假設(shè)(前面四條都和模型A一樣，再添加一條) （5）病人以固定的比率痊愈，再次成為易感人群。每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為。,2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）,表示日治愈率，表現(xiàn)的是本地區(qū)的醫(yī)療水平，所以1/就可以表示傳染病的平均感染期，也是一個(gè)病人從發(fā)病到被治愈經(jīng)歷的時(shí)間。,根據(jù)假設(shè)5，Logisti

4、c模型被修改為：,構(gòu)造模型,定義一個(gè)常數(shù)=，根據(jù)和1/的定義，就是一個(gè)病人在整個(gè)患病期間有效接觸的平均人數(shù)，這在模型里被稱為接觸數(shù)。將代入方程中，得到,求解這個(gè)方程，得到解為,模型求解,1時(shí)，t +則 i(t) 1-1/。,畫出解的圖象為 ：,1，t +時(shí) i(t) 0.,= ,模型結(jié)果分析,1，t +時(shí) i(t)0.,= ,1、假設(shè)：這里的假設(shè)類似于模型B，只是引入R類人群。分別記s(t)、i(t)、r(t)為病人、易感人群、移出者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤(t)+ i(t)+ r(t) = 1。另外，日接觸率，日治愈率。,3、SIR模型（免疫模型）,根據(jù)假設(shè)，模型被修正為,初值條件為i(0)

5、 = i0，r(0) = r0，s(0) = s0。,注意：此方程組無法求解析解。,可以求數(shù)值解,模型求解,采用常微分方程定性理論的分析辦法，將方程組轉(zhuǎn)化成下面的形式：,其中s0，i0且s+i1。,這個(gè)方程是可以求解析解的。,下面我們來看隨著時(shí)間的推移，s(t)、I (t)、r(t)的變化規(guī)律。 首先，t +時(shí)，分別以s , i , r記各自的極限，這些極限 都存在。,模型分析,i = 0 ?（用反證法） 假設(shè)i 0 ，那么必然有 i = 0。 根據(jù)極限的定義，對(duì)于充分大的t，都應(yīng)該有i(t)/2，把這個(gè)結(jié)論代入方程組。,模型分析,dr/dt=i /2,這會(huì)導(dǎo)致r(t)+，這跟上面r(t)的極

6、限也存在的結(jié)論有矛盾。,所以只能有： i = 0 。 也就是說傳染病最終將消失。,其次，考慮隨著t的變化，i-s平面上解的軌線變化情況。大概的走勢(shì)圖為：,模型分析,=,1/是一個(gè)邊界點(diǎn)，為了讓傳染病不蔓延，需要調(diào)整s0和1/。具體的方法：一是降低s0，如接種疫苗，使S類人群直接變成R類； 二是提高1/使之大于s0，=/,也就是降低而提高，強(qiáng)化衛(wèi)生教育和隔離病人，同時(shí)提高醫(yī)療水平。,模型分析,對(duì)參數(shù)的估計(jì)： 令解兩端同時(shí)取t+，因?yàn)?i = 0 ，得到,參數(shù)估計(jì),根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和此公式就可以得到的估計(jì)值。,關(guān)于傳染病模型，我們還可以進(jìn)一步考慮更復(fù)雜的情形，如考慮出生率、死亡率、防疫措施的作用、潛伏

7、期等。,其他類型的傳染病模型,SIES模型健康染病潛伏期健康不免疫 SIER模型健康染病潛伏期移出系統(tǒng) SIRS模型健康染病短時(shí)免疫健康(易感) 考慮抵抗能力 考慮地域傳播 考慮傳播途徑(接觸、空氣、昆蟲、水源等),傳染病模型本質(zhì)上就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移的一個(gè)速度方程，如果具有多個(gè)狀態(tài)，則需要多個(gè)方程組成的方程組。 因此完全可以采用其他形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型加以描述。 采用常微分方程的主要優(yōu)勢(shì)在于分析方法和計(jì)算方法都比較成熟，更容易得到豐富的結(jié)論。,對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程，建模目的變成了時(shí)間充分長(zhǎng)以后會(huì)如何？即研究事物最終的發(fā)展趨勢(shì)。,借助微分方程穩(wěn)定性理論，不求解微分方程，描述事物某些特征的最終穩(wěn)定狀態(tài)。,三、

8、穩(wěn)定性模型,比如，商品的價(jià)格與其價(jià)值的變化關(guān)系；食肉動(dòng)物與草食性動(dòng)物數(shù)量的變化規(guī)律；侵入人體的病菌與白血球的數(shù)量變化關(guān)系；投入一粒石子的池塘水面振幅變化規(guī)律。,隨著時(shí)間的推移，最終的結(jié)局是什么？,事物發(fā)展的穩(wěn)定與不穩(wěn)定,時(shí)間,這些現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中都有實(shí)用背景和研究?jī)r(jià)值,事物的某些特征,一階微分方程組,首先求方程組的平衡點(diǎn)：,其次將方程組線性化：,其系數(shù)矩陣為：,p 0 且 q 0 時(shí)平衡點(diǎn) P0 穩(wěn)定；,p 0 或 q 0 時(shí)平衡點(diǎn) P0 不穩(wěn)定.,設(shè)同一環(huán)境中有甲、乙兩個(gè)種群，x1(t)、x2(t)分別記t時(shí)刻甲、乙種群的數(shù)量；r1、r2為各自固有的增長(zhǎng)率，N1、N2為各自環(huán)境最大容量。據(jù)此建立

9、下面的模型：,其中1，2 是非常關(guān)鍵的指標(biāo)，反映一個(gè)種群對(duì)另 一種群的競(jìng)爭(zhēng)能力。,案例：生物種群的競(jìng)爭(zhēng)模型,穩(wěn)定性分析（競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)局）,得到四個(gè)平衡點(diǎn)： P1(N1,0), P2(0,N2), P3(0,0),= f = 0,= g = 0,p 0 且 q 0 時(shí) P0 穩(wěn)定.,p 0 或 q 0 時(shí) P0 不穩(wěn)定.,21 (11),11 (21),不穩(wěn)定,11， 21,p0而且q0,P1(N1,0), P2(0,N2), P3(0,0),當(dāng)穩(wěn)定性定理無法給出全部穩(wěn)定性條件時(shí)，我們需要結(jié)合使用幾何方法。,1、 11,x2,x1, = 0, = 0,(0,N2),(N1,0),S1,S2,S3,幾何分析表明，此時(shí)P1(N1,0), 穩(wěn)定。,2、 11，21,x2,x1, = 0, = 0,(0,N2),(N1,