1、1,15.6 波函數(shù) 一維定態(tài)薛定諤方程,一、波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋,微觀粒子具有波動(dòng)性，1925年奧地利物理學(xué)家薛定諤首先提出用物質(zhì)波波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,波函數(shù) 量子力學(xué)中用以描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。,自由粒子 不受外力場的作用, 其動(dòng)量和能量都不變的粒子。,2,平面機(jī)械波波函數(shù)的復(fù)數(shù)形式,類似, 自由粒子的物質(zhì)波的波函數(shù)也可表示為,利用,波函數(shù)也可表示為,3,式中 是待定常數(shù), 相當(dāng)于x 處波函數(shù)的復(fù)振幅, 反映波函數(shù)隨時(shí)間的變化。,物質(zhì)波波函數(shù)是復(fù)數(shù)，它本身并不代表任何可觀測的物理量。,波函數(shù)是怎樣描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的？,4,1926年德國物理學(xué)家玻恩提出了物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)解

2、釋：實(shí)物粒子的物質(zhì)波是一種概率波, t 時(shí)刻粒子在空間 r 處附近的體積元 dV 中出現(xiàn)的概率dW與該處波函數(shù)絕對值的平方成正比。,式中 是波函數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)。,波函數(shù)絕對值平方 代表t 時(shí)刻，粒子在空間r 處的單位體積中出現(xiàn)的概率，又稱概率密度， 這是波函數(shù)的物理意義。 物質(zhì)波又稱概率波。,5,在空間某處波函數(shù)的二次方跟粒子在該處出現(xiàn)的概率成正比。如果在空間某處 的值越大，粒子出現(xiàn)在該處的概率也越大; 的值越小，則粒子出現(xiàn)在該處的概率就越小。無論 如何小，只要不為零，粒子總有可能出現(xiàn)在該處。,電子雙縫干涉圖樣,單個(gè)粒子的出現(xiàn)是偶然事件, 大量粒子的分布有確定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,6,（2）歸一化條件

3、,（3）概率密度在任一處都是唯一、有限的, 并在整個(gè)空間內(nèi)連續(xù)。,粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為 1。,（1）t 時(shí)刻 , 粒子在 r 處 dV 內(nèi)出現(xiàn)的概率,7,二、薛定諤方程,1926年薛定諤提出了適用于低速情況下的, 描述微觀粒子在外力場中運(yùn)動(dòng)的微分方程，稱為薛定諤方程。,薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，是關(guān)于r 和 t 的線性偏微分方程。,其中，V = V ( r, t ) 是粒子的勢能。,8,粒子在穩(wěn)定力場中運(yùn)動(dòng)，勢能V 、能量 E 不隨時(shí)間變化，粒子處于定態(tài)，波函數(shù)寫為,定態(tài)薛定諤方程,若粒子在一維空間運(yùn)動(dòng)，則,9,在微觀粒子的各種定態(tài)問題中，將勢能函數(shù) V ( r ) 的具體形式,如

4、，氫原子中的電子,一維線性諧振子,代入薛定諤方程, 可以求得定態(tài)波函數(shù), 同時(shí)也就確定了概率密度的分布以及能量和角動(dòng)量等。,10,波函數(shù)的合理解應(yīng)滿足條件：,11,三、一維無限深勢阱中的粒子,設(shè)粒子沿 x 軸作一維運(yùn)動(dòng)，勢能函數(shù)為,束縛于金屬內(nèi)的自由電子只能在金屬內(nèi)運(yùn)動(dòng)，而不能逃逸出金屬表面，可以近似地認(rèn)為金屬內(nèi)的自由電子在一維無限深勢阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。,12,薛定諤方程,令,則,方程通解,利用邊界條件 x = 0， , 則 B = 0 。,13,再利用邊界條件 x = a ， , 則,一般來講 A 0 , 只有 sin ka = 0 。,或,有,能量,n 為主量子數(shù)，表明粒子的能量是量子化的。,14,波函數(shù),由于粒子被