1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái). 也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.,研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:,4.6. 大數(shù)定律與中心極限定理,4.6.1 切比雪夫不等式,設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差 ，則對(duì)于 任給 0,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則事件|X-E(X)| 的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.,由此可體會(huì)方差的概率意義： 它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.,當(dāng)方差已

2、知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.v X與它的期望的偏差不小于 的概率的估計(jì)式 .,如取,可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要期望和方差 存在，則 r.v X取值偏離E(X)超過(guò) 3 的概率小于0.111 .,例1: 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率 .,解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X,依題意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求為 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),=P(5200-7300 X-7300 9400-7300),= P(-2100 X-E(X) 2100),=

3、 P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率不小于8/9 .,例2: 在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時(shí)，才能使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件A出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的概率至少為0.90?,解：設(shè)X為n 次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，,E(X)=0.75n,的最小的n .,則 XB(n, 0.75),所求為滿(mǎn)足,D(X)=0.75*0.25n=0.1875n,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),= P |X-E(X)| 0.01n,P(0.

4、74n X0.76n ),可改寫(xiě)為,= P |X-E(X)| 0.01n,解得,依題意，取,即n 取18750時(shí)，可以使得在n次獨(dú)立重復(fù) 試驗(yàn)中, 事件A出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的 概率至少為0.90 .,大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,4.6.2 大數(shù)定律,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過(guò)程中的 廢品率,幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律,定理1（切比雪夫大數(shù)定律）,設(shè) X1,X2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2, ，,切比雪夫,則對(duì)任意的0，,證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.,切比雪夫大數(shù)定

5、律給出了 平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述,作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理.,定理2（獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律）,設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2, 則對(duì)任給 0,下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理2的一種特例.,貝努里,設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，,引入,i=1,2,n,則,是事件A發(fā)生的頻率,于是有下面的定理：,設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的 次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 0，,定理3（貝努里大數(shù)定律）,或,貝努里,貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率S

6、n/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,貝努里大數(shù)定律提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法.,任給0，,蒲豐投針問(wèn)題中解法的 理論依據(jù)就是大數(shù)定律,當(dāng)投針次數(shù)n很大時(shí)，用針與線(xiàn)相交的頻率m/n近似針與線(xiàn)相交的概率p，從而求得的近似值.,針長(zhǎng)L,線(xiàn)距a,下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.,設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)任給 0 ，,定理3（辛欽大數(shù)定律）,辛欽,辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.,例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n 塊. 計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).,下面我們?cè)倥e一例說(shuō)明大數(shù)定律的應(yīng)用.,定積分的概率計(jì)算法,我們介紹均值法，步驟是,1) 產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)rn,2) 計(jì)算g(rn)， n=1,2,N,n=1,2,N,即,3) 用平均值近似積分值,求,的值,因此，當(dāng)N充分大時(shí)，,原理是什么呢？,設(shè)XU(0, 1),由大數(shù)定律,應(yīng)如何近似計(jì)算