1、函數(shù)、導數(shù)及其應用,第 二 章,第十講函數(shù)模型及其應用,知 識 梳 理,1幾類常見的函數(shù)模型,2三種函數(shù)模型的性質,遞增,遞增,快,慢,y軸,x軸,3解函數(shù)應用問題的步驟 (1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型； (2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型； (3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論； (4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題,以上過程用框圖表示如下：,1(教材改編)下列函數(shù)中隨x的增大，增長率最終最大的是() Ay1 000 xByx2 CylnxDy(1.01)x 解析指數(shù)函數(shù)增長最快，因此選D,D

2、,2(教材改編)在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是(),B,3(2018湖北模擬)小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛與以上事件吻合得最好的圖象是(),C,解析出發(fā)時距學校最遠，先排除A，中途堵塞停留，距離沒變，再排除D，堵塞停留后比原來騎得快，因此排除B,B,考 點 突 破,考點1利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程自主練透,(1)(2014新課標全國)如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線

3、OA的垂線，垂足為M.將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則yf(x)在0，的圖象大致為(),例 1,B,(2)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 .下面敘述不正確的是() A各月的平均最低氣溫都在0 以上 B七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D平均最高氣溫高于20 的月份有5個,D,D,(3)對于A選項，從圖中可以看出當乙車的行駛速度大于40 km/h時的燃油效率大于5 km/L，故乙車消耗1升汽油的行駛路程可大于5千

4、米，所以A錯誤對于B選項，由圖可知甲車消耗汽油最少對于C選項，甲車以80 km/h的速度行駛時的燃油效率為10 km/L，故行駛1小時的路程為80千米，消耗8 L汽油，所以C錯誤對于D選項，當最高限速為80 km/h且速度相同時丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，故用丙車比用乙車更省油，所以D正確,1用函數(shù)圖象刻畫實際問題的解題思路 將實際問題中兩個變量間變化的規(guī)律(如增長的快慢、最大、最小等)與函數(shù)的性質(如單調性、最值等)、圖象(增加、減少的緩急等)相吻合即可 2判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法 (1)構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖象

5、 (2)驗證法：當根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案,考點2已知函數(shù)模型解決實際問題師生共研,(2015四川高考)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是() A16小時B20小時 C24小時D28小時,例 2,C,利用已知函數(shù)模型解決實際問題的步驟 若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)模型，或可確定其函數(shù)模型的圖

6、象，求解時先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關參數(shù)的值，再用求得的函數(shù)解析式解決實際問題,(2018廣東佛山一中月考)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關系：pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為() A3.50分鐘 B3.75分鐘 C4.00分鐘 D4.25分鐘,B,變式訓練 1,考點3構建函數(shù)模型解決實際問題多維探究,角度1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型 某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14

7、.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是() A10.5萬元B11萬元 C43萬元D43.025萬元,例 3,C,考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型，解決此類問題應注意三點： 二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，對稱軸與給定區(qū)間的關系：若對稱軸在給定的區(qū)間內，可在對稱軸處取最值，在離對稱軸較遠的端點處取另一最值；若對稱軸不在給定的區(qū)間內，最值都在區(qū)間的端點處取得 確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法； 解決函數(shù)應用問題時，最后要還

8、原到實際問題,角度2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型 (2018廣東珠海一中等六校聯(lián)考)某大型民企為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該民企2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)() A2018年B2019年 C2020年D2021年 分析設該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是n年，則130(112%)n2015200，把題中數(shù)據(jù)代入，進而得出答案,例 2,B,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的應用技巧 (1)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)

9、函數(shù)兩類函數(shù)模型有關的實際問題，在求解時，要先學會合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型 (2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題,角度3分段函數(shù)模型 (2018錦州模擬)“活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好的特點研究表明：“活水圍網”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4x20時，v是x的一次函數(shù)，當

10、x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年 (1)當0x20時，求函數(shù)v關于x的函數(shù)解析式 (2)當養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值,例 5,(1)分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值 (2)構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理，不重不漏 (3)分段函數(shù)的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值,變式訓練 2,C,從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關系式為_； 據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么，藥物釋放開始，至少需要經過_小時后，學生才能回到教室,0.6,(3)(角度3)(2018四川綿陽診斷性測試)某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出如下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米3元收費；用水超過10立方米的，超過的部分按每立方米5元收費某職工某月的水