1、2020/8/26 16:50,近世代數(shù),第二章 群 論 6 置 換 群,2020/8/26 16:50,背景,在19世紀(jì)，數(shù)學(xué)中一個(gè)長達(dá)三世紀(jì)之久而未能解決，即,他們在解決這一問題時(shí)引入了一種新的概念和新思想，即置換群的理論，它對今后數(shù)學(xué)的發(fā)展特別是代數(shù)學(xué)的發(fā)展起著巨大的關(guān)鍵性的作用. 也因此可以說，阿貝爾與伽羅瓦是近世代數(shù)的創(chuàng)始人.,“五次和五次以上代數(shù)方程的根式解問題”,被挪威青年數(shù)學(xué)家阿貝爾與法國青年數(shù)學(xué)家伽羅瓦徹底解決，從而推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，其重要意義是不言而喻的.,2020/8/26 16:50,一、置換群的基本概念,定義1：一個(gè)有限集合的一個(gè)一一變換叫做一個(gè)置換.,定義2：一個(gè)有

2、限集合的若干個(gè)置換做成的一個(gè)群叫 一個(gè)置換群.,例1：設(shè),求 A 的全體置換.,定義3：一個(gè)包含 個(gè)元的的集合的全體置換做成 的群叫做,定理1： 次對稱群 的階是,次對換群（ ）,2020/8/26 16:50,二. 置換的表示方法,置換,我們用 來表示 的一個(gè)置換,當(dāng)然也可以用,可表示成,2020/8/26 16:50,例1,設(shè),求A的全體置換.,三次對稱群為：,2020/8/26 16:50,三.置換的乘積,注：置換乘法不滿足交換律, 是有限非交換群.,求,2020/8/26 16:50,四循環(huán)置換,前面我們已經(jīng)引入了置換的記法,下面,再介紹一種記法.,設(shè)有8元置換,都不改變, 若將不發(fā)生

3、改變的文字都刪掉,那么,上述置換可寫成循環(huán)置換的形式:,2020/8/26 16:50,說明,循環(huán)置換是置換的另一種表達(dá)形式,表達(dá)形式簡捷,但所含置換的原有文字的數(shù)目可能反映不出來.這要求事先予以說明.例如,”,.一般地,每個(gè)循環(huán)的表達(dá)方法不唯一,例,這是因?yàn)?每個(gè)循環(huán)置換都可視為一個(gè)首尾相接的圓環(huán):,所以,循環(huán)中的每個(gè)文字都可以置于首位.一旦首位確定后,整個(gè)循環(huán)置換的表達(dá)形式也就確定了.但習(xí)慣上,總是將循環(huán)置換中出現(xiàn)的最小文字置于首位.,“8元置換,2020/8/26 16:50,定義3,中的一個(gè)將,變到,，,變到,變回到,而其余元素（如果還有其他元素）不發(fā)生,變化的置換，叫做 k循環(huán)(置換)，記為,2020/8/26 16:50,例3.我們看,例1中的3元置換都是循環(huán)置換，且,2020/8/26 16:50,注：并不是每個(gè)置換都是循環(huán)置換.,設(shè),和,都是循環(huán)置換,如果,是不相連的.,則稱,與,不是循環(huán)置換，但,定義4,2020/8/26 16:50,定理2.,每個(gè)置換都可表成不相連循環(huán)置換之積.,證：,注：將置換寫成不相連的循環(huán)置換之積是,表示置換的第二種方法.,2020/8/26 16:50,例：四次對稱群,定理3 每一個(gè)有限群都與一個(gè)置換群同構(gòu).,2020/8/26 16:50,作業(yè)：給出下列6元置換：,求（1）循環(huán)置換分解，（2）逆元，（3）階,（4）,20