1、第4章 量子力學(xué)中的對稱性, 4.1 對稱性、守恒律和簡并性 一、經(jīng)典物理中的對稱性 對拉格朗日函數(shù)： 若 ,即廣義動(dòng)量為運(yùn)動(dòng)常數(shù). 類似地，若用哈密頓函數(shù) 的正則方程來討論：,二、量子力學(xué)中的對稱性,量子力學(xué)中的操作如平移、轉(zhuǎn)動(dòng)等是與一個(gè)幺正算符T相聯(lián)系的，習(xí)慣上T常被稱作對稱算符。 若T作用下系統(tǒng)不變,則稱系統(tǒng)具有與T相關(guān)的對稱性. 對無窮小變化的操作，T可寫為， 其中G是對稱操作的厄米生成元。 若H在T作用下不變， 則根據(jù)海森堡運(yùn)動(dòng)方程，有 ，即G是運(yùn)動(dòng)常量。,例如動(dòng)量是平移的生成元，若H在平移操作下不變，則動(dòng)量是運(yùn)動(dòng)常量（即守恒）。類似的，若H在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變，則轉(zhuǎn)動(dòng)的生成元角動(dòng)量守恒。

2、從態(tài)矢變化的角度看，若G與H對易，則 保持是G的本征態(tài)，且G的本征值不變：,物理規(guī)律的平移不變性特征,三、簡并 態(tài),若H,T=0，T為某對稱算符，|n為本征值為En的能量本征態(tài)，則T|n也是相同能量的能量本征態(tài)。如果T|n與|n是不同的態(tài)，則稱它們是能量簡并態(tài)，體系有簡并。有時(shí)T由連續(xù)參量表征T=T(),此時(shí)所有的T()|n態(tài)都簡并（但簡并度只是獨(dú)立的T()|n態(tài)數(shù)）。,如對轉(zhuǎn)動(dòng)， 可構(gòu)造H,J2,Jz的共同本征態(tài)|n;j,m。由上所知，所有D(R) |n;j,m態(tài)能量簡并。 由于 , 改變表征D(R)的連續(xù)參量,可得不同|njm組合,故不同m的|njm是簡并的。因m有2j+1個(gè)，簡并度為2j

3、+1。 從H,J=0和J作用于|njm也可知其有2j+1簡并度,作為應(yīng)用，考慮原子中電子的狀態(tài)，其所受勢為 。由于勢V(r)在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變，故原子能級有2j+1重簡并。若外加Z方向的電磁場，則電子所受的勢不再在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變，簡并被消除。,4.2 分離對稱性，宇稱或空間反演,上面討論的是連續(xù)性對稱操作，即對稱操作可由相繼無窮小對稱算符所得。量子力學(xué)中有用的對稱操作并不限于此種形式，可有分立而非連續(xù)的對稱操作，如宇稱，晶格平移和時(shí)間反演。 宇稱或空間反演操作將r變?yōu)?r，右手坐標(biāo)系變?yōu)樽笫肿鴺?biāo)系。量子力學(xué)中我們討論的常是作用于態(tài)矢而不是坐標(biāo)系的變換。,對稱操作的兩種等價(jià)方式：主動(dòng)與被動(dòng),一、宇稱算符的

4、基本性質(zhì),對|,用幺正算符表示宇稱算符，| |。 要求位置算符的期待值變號，即 則有 位置本征態(tài)|x在宇稱作用下變?yōu)楸菊髦禐?x的態(tài)： 故 由于用作用兩次體系必恢復(fù)原狀，故2=1 =-1=+，是厄米的。 對的本征態(tài)|,因|=2|，知=1,二、算符在宇稱操作下的變換,由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移： 有 或p,=0. 該關(guān)系與p=dx/dt的預(yù)期相同。 對軌道角動(dòng)量L=xxp，可預(yù)期L,=0. 對一般角動(dòng)量，考慮到R(宇稱)=-I,宇稱和轉(zhuǎn)動(dòng)操作對易，故量子力學(xué)中的相應(yīng)幺正算符也對易: D(R)=D(R) ,J=0.,三、矢量和贗矢量,在轉(zhuǎn)動(dòng)下x和J以相同方式變換，兩者都是矢量，或

5、一階球張量，但x和p與反對易，而J與對易。 與宇稱反對易的矢量稱為極性矢量，而與宇稱對易的矢量叫做軸矢量或贗矢量。 類似的有標(biāo)量算符（與宇稱算符對易）和贗標(biāo)量算符（與宇稱算符反對易） 。 LS、xp是標(biāo)量： + LS= LS 贗標(biāo)量的例子包括Sx、Lx等：,四、波函數(shù)在宇稱操作下的變換,若|為宇稱本征態(tài)，|= |,則= , 故有 “+”對應(yīng)偶宇稱，“-”對應(yīng)奇宇稱。當(dāng)然，只有與對易的算符之本征態(tài)才可能有確定的宇稱。如動(dòng)量算符不與對易，其本征態(tài)即平面波并非的本征態(tài)，而軌道角動(dòng)量的本征態(tài)則可為的本征態(tài)：,五、能量本征態(tài)與宇稱,若H,=0,而|n是H的本征值為En的非簡并本征態(tài)，則|n是宇稱本征態(tài)。

6、 證：H|n=En|n,由非簡并性得|n=ei|n. 作為應(yīng)用，考慮簡諧振子本征態(tài)。 由于基態(tài)為高斯函數(shù)，|0=|0, 而|1=a+|0=-|1。 類似可推得|n=(-)n|n,注意:非簡并性對得出|n是的本征態(tài)是非常重要的。若有簡并，如氫原子體系，Cp|2p+Cs|2s是H本征態(tài)，但并非的本征態(tài)。又如動(dòng)量本征態(tài)也是H本征態(tài)，但|p 和 |-p簡并, |p并非的本征態(tài). 當(dāng)然，我們可以通過組合H的簡并本征態(tài)而得到的本征態(tài)，如|=|p|-p便是和H的共同本征態(tài),六、對稱雙勢阱,H與對易， H的最低兩本征態(tài)為 對稱的|S和反對稱的|A, EAES,且EA-ES隨勢壘增高而減少。,取|R|S+|A，

7、|L|S-|A,在作用下|R和|L對調(diào). |R和|L不是的本征態(tài)，也不是H的本征態(tài)，但有相同能量期待值. |R和|L是非定態(tài),若t0=0處于|R，則t時(shí)狀態(tài)為 該態(tài)在|R和|L間震蕩，震蕩角頻率為,該震蕩可看成量子力學(xué)的隧道貫穿，粒子在經(jīng)典物理禁止的區(qū)域隧穿而震蕩于兩態(tài)間。如勢壘無窮高，則EA=ES，從而=0，不再震蕩。 注：對無窮高勢壘， |R和|L均是H的本征態(tài)，但|R和|L均非的本征態(tài)。即H所具有的宇稱不一定反映在其本征態(tài)上，這是簡并與對稱破缺的一個(gè)簡單例子。這種現(xiàn)象在自然界相當(dāng)普遍，如鐵磁現(xiàn)象，糖與氨基酸的手性等。,七、宇稱選擇定則,若 將相反宇稱的態(tài)相聯(lián)系。 該討論可推廣到其他算符。如算符為奇宇稱，則其只有在不同宇稱的狀態(tài)間有不為零的矩陣元。偶宇稱算符則在同宇稱態(tài)間矩陣元才可能不為零。 如果H,=0,能量非