1、第9章 時(shí)頻展開(kāi)簡(jiǎn)介,目錄,9.1 概述 9.2 短時(shí)傅立葉變換 9.3 蓋博變換 9.4 小波變換,9.1 概述,傅立葉變換在信息、控制與計(jì)算機(jī)領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用，它不僅是一種有效的數(shù)學(xué)工具，還歸結(jié)于直觀性、數(shù)學(xué)上的完美性、和計(jì)算上的有效性。 它是在整個(gè)時(shí)間軸范圍內(nèi)積分，表示了信號(hào)的全局特性，當(dāng)需要分析信號(hào)的局部特性時(shí)，它就不適合再使用了。,9.2 短時(shí)傅立葉變換,確定信號(hào)局部頻率特性的一個(gè)比較簡(jiǎn)單的方法是在時(shí)刻 附近對(duì)信號(hào)加窗，然后計(jì)算其傅立葉變換。,9.3 蓋博變換,主要內(nèi)容 1 蓋博變換的引出 2 蓋博變換定義 3 離散時(shí)間蓋博變換和濾波器組 4 應(yīng)用：ASK信號(hào)的蓋博變換,短時(shí)傅里

2、葉變換（STFT）包含很多冗余信息，分析如下： 令F=Fo，STFT表示為： 如圖9-12所示，信號(hào)x(t)通過(guò)了以Fo為中心的帶通濾波器，濾 波器的帶寬是B，所以可以 得出如下結(jié)論 X(t) 圖9-12 STFT的帶通濾波器解釋,蓋博變換的引出,BPF,B,FO,F,蓋博變換,1)如果希望覆蓋整個(gè)有效頻率范圍，需要若干個(gè)帶通濾波器，設(shè)B是相應(yīng)濾波器帶寬。將頻率變量F離散化，F(xiàn)=kFO, FO B。 2)每個(gè)濾波器的輸出在=mTo時(shí)刻采樣，根據(jù)采樣定理要求To 1/B。 上述結(jié)論推導(dǎo)出了在時(shí)域和頻域都離散化的蓋博展開(kāi)： Xm,k=X(mTo, kFO) 由離散參數(shù)To 1/B，F(xiàn)o B可得約束

3、條件 Fo To 1 通過(guò)蓋博變換，信號(hào)x(t)被展開(kāi)成有限基函數(shù)的組合，即,蓋博變換的定義,基信號(hào) 是加窗的復(fù)指數(shù)，其時(shí)移和頻移都是離散的 重新計(jì)算信號(hào)的蓋博變換，則 上述Xm,k可以表示為濾波和采樣的形式， 其中，圓括號(hào)部分是帶通濾波器的輸出在t=mTO采樣值。該濾波器組如圖 9-14所示。,蓋博變換,x(t),TO,TO,TO,Xm,0,Xm,1,Xm,k,圖9-14 蓋博變換的濾波器組解釋,離散時(shí)間蓋博變換和濾波器組,在實(shí)際應(yīng)用中，蓋博變換是在離散是時(shí)域里計(jì)算的。再定義采 樣頻率Fs和采樣間隔Ts=1/ Fs,令xn=x(nTs)表示采樣后的信號(hào)， wn=w(nTs)和 分別表示分析部

4、分和合成部分采樣后的窗函數(shù)。對(duì)蓋博變換和反變換的表達(dá)式做替換t-mTs,同時(shí) 令TO=MTs以及Fo= Fs/N,可得： 可以將上述表達(dá)式寫(xiě)成卷積形式：,它定義由M通道的帶通濾波器和N抽取構(gòu)成的濾波器組。圖9- 16給出了該濾波器組的圖示。為了保證通過(guò)濾波器組后數(shù)據(jù)率 不減小，所以要求MN。M=N為臨界采樣，MN時(shí)稱(chēng)濾波器 組是過(guò)采樣的。 圖9-16 離散時(shí)間的蓋博變換,離散時(shí)間蓋博變換和濾波器組,M,M,M,Xm,0,Xm,1,Xm,N-1,應(yīng)用：ASK信號(hào)的蓋博變換,Gabor 變換： Gabor變換是通過(guò)加窗函數(shù)的辦法對(duì)Fourier變換加以改進(jìn)。由于經(jīng)過(guò) 頻移的窗函數(shù)往往具有較短的持續(xù)

5、時(shí)間,所以Gabor 變換有比較好的 局域化性能,能夠較好地刻畫(huà)信號(hào)中的瞬態(tài)結(jié)構(gòu)。 連續(xù)Gabor 變換公式: 式中： ，而( t) 與g ( t)（窗函數(shù)） 滿(mǎn)足雙正 交關(guān)系( T0 = 2/ 1 ,0 = 2/ T1) ：為了工程實(shí)踐,必須對(duì)上述公式進(jìn) 行離散化,具體方法參考文獻(xiàn)。 很多常用的窗口函數(shù)都可以用來(lái)構(gòu)造Gabor基函數(shù),最常用的是矩形函 數(shù)和高斯函數(shù)。假設(shè)有矩形函數(shù) ，其中： 經(jīng)過(guò)計(jì)算得到對(duì)偶函數(shù)：,應(yīng)用：ASK信號(hào)的蓋博變換,鑒于g(t)這種窗函數(shù)與其對(duì)偶窗函數(shù)相等,計(jì)算簡(jiǎn)單,ASK 信號(hào)的蓋博 變換中,選擇這種窗函數(shù)構(gòu)造對(duì)偶基函數(shù)。 ASK信號(hào)的蓋博變換 根據(jù)公式,ASK信

6、號(hào): 選擇個(gè)矩形函數(shù)g(t)作為窗函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行蓋博變換,可以得到: 當(dāng) m 為定值, mT1 l T 且( m + 1) T1 ( l + 1) T時(shí):,應(yīng)用：ASK信號(hào)的蓋博變換,以上公式說(shuō)明對(duì)應(yīng)信號(hào)碼元的一個(gè)周期內(nèi)非幅度跳變點(diǎn)附近的各點(diǎn),對(duì)其 進(jìn)行Gabor 變換,若m(時(shí)間) 固定,則Gabor 變換的幅度值就為一個(gè)關(guān)于n 的 經(jīng)過(guò)平移的抽樣函數(shù),且平移至n = w1 處,也即此處取最大值,就是說(shuō)此時(shí) 時(shí)頻平面的縱切面是抽樣數(shù)。我們知道ASK信號(hào)的載頻頻率是固定的,那 么由公式可知ASK信號(hào)時(shí)頻圖像中的峰值平臺(tái)應(yīng)該都集中于一條頻率一 定的直線(xiàn)上。理論上來(lái)，講如果窗函數(shù)選擇的較小(相對(duì)于

7、碼元寬度) ,就 會(huì)出現(xiàn)多個(gè)相等峰值連續(xù)出現(xiàn)的情況,從而形成峰值平臺(tái)。此外,從公 式 還可看出,碼元幅值的變化在Gabor 變換系數(shù)圖上同樣表現(xiàn)為峰值平臺(tái)的 幅度值變化。這樣,我們就可以根據(jù)Gabor 變換系數(shù)圖上峰值平臺(tái)幅度值 的個(gè)數(shù),來(lái)推斷ASK的階數(shù)M。,小波變換的基本原理和在內(nèi)燃機(jī)振動(dòng)與聲學(xué)信號(hào)中的應(yīng)用,姓名：景國(guó)璽 學(xué)號(hào)：10608118 機(jī)械與能源學(xué)院 2008.10,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介 第二部分：小波時(shí)頻分析 第三部分：小波分析示例 第四部分：離散小波分析變換 第五部分：內(nèi)燃機(jī)振聲信號(hào)時(shí)頻特性研究 第六部分：總結(jié),主要內(nèi)容,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,1807年 Fourier

8、提出傅里葉分析 ， 1822年發(fā)表 “熱傳導(dǎo)解析理論”論文 1910年 Haar 提出最簡(jiǎn)單的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理論（MRA），統(tǒng)一了語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域。,小波分析發(fā)展歷史,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域：包括語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短時(shí)波形處理等

9、。,小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)合。從數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)是大半個(gè)世紀(jì)“調(diào)和分析”的結(jié)晶（包括傅里葉分析、函數(shù)空間等）。 小波變換是20世紀(jì)最輝煌科學(xué)成就之一。在計(jì)算機(jī)應(yīng)用、信號(hào)處理、圖象分析、非線(xiàn)性科學(xué)、地球科學(xué)和應(yīng)用技術(shù)等已有重大突破，預(yù)示著小波分析進(jìn)一步熱潮的到來(lái)。,設(shè)函數(shù),，,則稱(chēng),為一個(gè)基本小波或母小波。,(連續(xù))小波函數(shù)，定義a為尺度，b為時(shí)變參數(shù),何為小波？,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,小波變換特點(diǎn),小波變換是一種窗口大?。ù翱诿娣e）固定，但形狀可變，時(shí)窗和頻窗都可以改變的時(shí)頻局域化分析方法，在低頻（大尺度）部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻（小尺度）部分具有較高

10、的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡。,連續(xù)小波變換的定義,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,時(shí)頻分析基本理論不確定性原理,不確定性原理：準(zhǔn)確描述了信號(hào)時(shí)寬與帶寬之間的制約關(guān)系，即對(duì)能量有限的任意信號(hào)，其時(shí)寬與帶寬的乘積總是滿(mǎn)足下列不等式：,式中，t、f 分別為時(shí)間分辨率和頻率分辨率，表示兩時(shí)間點(diǎn)和兩頻率點(diǎn)之間的區(qū)分能力。 不確定性原理又稱(chēng)測(cè)不準(zhǔn)原理或Heisenberg不等式，根據(jù)該定理，時(shí)寬和帶寬不能同時(shí)達(dá)到任意小，既有任意小的時(shí)寬，又有任意小的頻寬的窗函數(shù)是不存在的，所有的時(shí)頻表示只能不同程度地近似表示信號(hào)在(t,)的能量密度。,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,常用的基本小波,Haar小波,第

11、一部分：小波分析簡(jiǎn)介,常用的基本小波,2. Daubechies小波,D4尺度函數(shù)與小波,D6尺度函數(shù)與小波,常用的基本小波,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,常用的基本小波,3、雙正交小波,雙正交B樣條小波小波濾波器,bior2.2, bior4.4,小波濾波器:,常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一個(gè)三次B樣條。,常用的基本小波,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,常用的基本小波,4. Morlet小波,Morlet小波不存在尺度函數(shù); 快速衰減但非緊支撐.,Morlet小波是Gabor 小波的特例。,Gabor 小波,Morlet小波,常用的基本小波,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,常用的基本小波,5. 高斯小波,這是高

12、斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。 主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。,特性： 指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化； 關(guān)于0軸反對(duì)稱(chēng)。,常用的基本小波,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,常用的基本小波,6. Marr小波,這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。 主要應(yīng)用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。,（也叫墨西哥草帽小波）,特性： 指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化； 關(guān)于0軸對(duì)稱(chēng)。,常用的基本小波,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,常用的基本小波,7. Meyer小波,它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)行定義的。具體定義如下：,常用

13、的基本小波,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,常用的基本小波,8. Shannon小波,在時(shí)域，Shannon小波是無(wú)限次可微的，具有無(wú)窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。,常用的基本小波,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,常用的基本小波,9. Battle-Lemarie樣條小波,Battle-Lemarie線(xiàn)性樣條小波及其頻域函數(shù)的圖形,常用的基本小波,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,第一部分：小波分析簡(jiǎn)介,小波的時(shí)間和頻率特性,“時(shí)頻局域性” 圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中） 和時(shí)間采樣基（下）的比較,傅里葉變換 (Four

14、ier)基 小波基 時(shí)間采樣基,隨時(shí)間和尺度可變的濾波器,小波分析能夠提供一個(gè)隨頻率改變的時(shí)間-頻率窗口。,假設(shè),是任一基本小波，并且,與,都是窗函數(shù)，,與半徑分別為,它們的中心,，,，,和,。,不妨設(shè),和尺度 a都是正數(shù)。,給出了,在時(shí)間窗,內(nèi)的局部化信息。,給出了,在頻域窗,內(nèi)的局部化信息。,第二部分：小波時(shí)頻分析,小波時(shí)頻分析,內(nèi)的局部化信息,若用,作為頻率變量,，則,給出了信號(hào),在時(shí)間頻率平面（,平面）中一個(gè)矩形的時(shí)間頻率窗,即小波變換具有時(shí)頻局部化特征。,窗寬:,面積:,的寬度是,寬度的,倍.,檢測(cè)信號(hào),的高頻成分需用,具有比較小的,的分析小波,變窄，并在高頻區(qū)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行細(xì)節(jié)分析.

15、,. 這時(shí)時(shí)間窗會(huì)自動(dòng),第二部分：小波時(shí)頻分析,各種變換的比較,小波變換的特性 分解種類(lèi)：時(shí)間-尺度 或 時(shí)間-頻率 分析函數(shù)：具有固定震蕩次數(shù)的時(shí)間有限的波。 小波函數(shù)的伸縮改變其窗口大小。 變量： 尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的時(shí)間局部化及差的頻率 局部化，寬的小波提供好的頻率局部化 及差的時(shí)間局部化。 適應(yīng)場(chǎng)合：非平穩(wěn)信號(hào),Fourier變換的特性 分解種類(lèi)： 頻率 分析函數(shù)： 正余弦函數(shù) 變量： 頻率 信息： 組成信號(hào)的頻率 適應(yīng)場(chǎng)合： 平穩(wěn)信號(hào),短時(shí)Fourier變換的特性 分解種類(lèi)：時(shí)間-頻率 分析函數(shù)：由三角震蕩函數(shù)復(fù)合而成的時(shí)間有限的波 變量：頻率，窗口的位置 信息：

16、 窗口越小，時(shí)間局部化越好，其結(jié)果是濾掉低頻成分； 窗口越大，頻率局部化越好, 此時(shí)時(shí)間局部化較差. 適應(yīng)場(chǎng)合：次穩(wěn)定信號(hào),第二部分：小波時(shí)頻分析,第三部分：小波分析示例,其中,1. 示例一：構(gòu)造的時(shí)域信號(hào),下圖為 cmor1.5-1、cmor2-1、cmor3-1小波的分解結(jié)果,第三部分：小波分析示例,圖 gaus8、gaus16、cgau1小波的分解結(jié)果,上圖中，亮度代表小波系數(shù)大小，橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為尺度 結(jié)論： 1.采用不同小波基函數(shù)，時(shí)頻分析效果不同；選取合適的小波至觀重要。 2.尺度與頻率在一定意義上呈倒數(shù)關(guān)系。,第三部分：小波分析示例,2. 示例二,40Hz,20Hz,80H

17、z,60Hz,時(shí)域信號(hào),FFT頻譜圖,第三部分：小波分析示例,2. 示例二,小波變換尺度-時(shí)間圖,改進(jìn)算法頻率-時(shí)間時(shí)頻圖 (我自己的改進(jìn)算法),小波變換頻率-時(shí)間圖,3D-時(shí)頻圖,小波變換的分類(lèi),中,三個(gè)變量均為連續(xù)變量，,離散化條件對(duì)小波及小波變換進(jìn)行分類(lèi)。下面介紹兩種最重要的分類(lèi)：,通過(guò)對(duì)它們施加不同的,離散小波及離散（參數(shù)）小波變換： 二進(jìn)小波及二進(jìn)小波變換,只對(duì)a,b離散化,： 只對(duì)a離散化（本文不涉及）,第四部分：離散小波分析變換,離散小波及離散（參數(shù)）小波變換,令參數(shù),，,，其中,，則離散（參數(shù)）小波為：,在這種情況下，常用,記,，即,相應(yīng)于離散小波,的離散（參數(shù)）小波變換為：,

18、離散小波分析變換,第五部分：內(nèi)燃機(jī)中信號(hào)處理介紹,內(nèi)燃機(jī)振動(dòng)噪聲控制研究的實(shí)際意義,噪聲污染與大氣污染、水污染并列為三大污染，嚴(yán)重影響著 人類(lèi)的生存環(huán)境。 報(bào)告稱(chēng)，噪聲污染不僅影響人的聽(tīng)力，而且會(huì)導(dǎo)致高血壓、記憶力衰退、注意力不集中以及其它精神綜合癥，世界各國(guó)都應(yīng)該采取積極有效的措施控制噪聲污染。,第五部分：內(nèi)燃機(jī)中信號(hào)處理介紹,隨著現(xiàn)代交通運(yùn)輸?shù)陌l(fā)展，機(jī)動(dòng)車(chē)輛產(chǎn)生的交通運(yùn)輸噪聲已成 為城市環(huán)境的主要噪聲源，降低機(jī)動(dòng)車(chē)輛噪聲是改善城市聲環(huán)境質(zhì)量最根本的途徑。,基于CWT的內(nèi)燃機(jī)穩(wěn)態(tài)工況振動(dòng)信號(hào)研究,以某六缸四沖程柴油機(jī)為研究對(duì)象，轉(zhuǎn)速為1300r/min時(shí)，采用FFT算法和基于Cmorlet小波基的小波變換方法對(duì)氣門(mén)室罩表面振動(dòng)信號(hào)分別進(jìn)行頻譜和時(shí)頻分析，結(jié)果如下圖所示。,氣門(mén)室罩表面振動(dòng)信號(hào)連續(xù)小波變換結(jié)果,內(nèi)燃機(jī)振動(dòng)信號(hào)小波變換分析,振動(dòng)信號(hào)頻譜圖,CWT 尺度-時(shí)間 時(shí)頻圖,CWT 頻率-時(shí)間 時(shí)頻圖,0-600Hz區(qū)間放大 時(shí)頻圖,頻率-時(shí)間 時(shí)頻圖,3D圖,我的改進(jìn)算法,內(nèi)