1、3.建立連續(xù)性方程,第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué),1. 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,2.介紹流線、跡線、流量等基本概念,4.流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析,5.建立旋渦運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng)的概念,6.引入速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的概念,3-1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,流體質(zhì)點(diǎn)(particle)-拉格朗日法,兩個(gè)基本概念：,空間點(diǎn)歐拉法,拉格朗日變量：,一、拉格朗日（Lagrange)法（質(zhì)點(diǎn)法）,x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t),討論： 1.當(dāng)，為常數(shù)時(shí),2.若t為常數(shù)時(shí),代表一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的變化，即跡線。,某一特定時(shí)刻，不同的流體質(zhì)點(diǎn)的分布情況,3-1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,拉

2、格朗日法速度和加速度(accleration)為：,3-1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,xx（，） yy（，） zz（，） （，） （，）,二、歐拉法(Euler)（空間點(diǎn)法）,x，y，z，t 稱為歐拉變數(shù),3-1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,討論： 1.當(dāng)x,y,z為常數(shù)時(shí),2.若t為常數(shù)時(shí),代表先后通過某一空間點(diǎn)的 流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況,某一特定時(shí)刻，通過不同的空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)情況,若針對(duì)一個(gè)具體的質(zhì)點(diǎn)，x，y ，z ，t均為變 數(shù)，且有 x(t),y(t),z(t),3-1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,歐拉法加速度,3-1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,加速度物理意義,1） , , 當(dāng)?shù)丶铀俣然蚓植考?/p>

3、速度（導(dǎo)數(shù)）,) 變位加速度或遷移加速度,t時(shí)刻，M(x,y,z) u(x,y,z,t),t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)a,t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)b,t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)a,!不是同一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度變化率,3-1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,2.什么情況下只有位移加速度？,3.什么情況下兩部分加速度都有？,1 什么情況下只有局部加速度？,討論：,3-1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,加速度的矢量式:,3-1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法,- 幾個(gè)基本概念,一、定常運(yùn)動(dòng)與非定常運(yùn)動(dòng),1. 定常流動(dòng)(steady flow),2.非定常(non-steady flow),定常運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)的選取有關(guān),在岸邊觀察為非定常流動(dòng),在船觀察為定常流動(dòng),- 幾個(gè)基

4、本概念,二、軌跡線(path line),1.定義：連續(xù)時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)在空間經(jīng)過的曲 線稱為軌跡線。 著眼點(diǎn)是個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)，與拉格朗日法相聯(lián)系,2. 特點(diǎn)：軌跡線上各點(diǎn)的切線方向表示的是同 一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的速度方向。,- 幾個(gè)基本概念,3. 軌跡線的方程式 ：,一條跡線：一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)描述的路徑。,- 幾個(gè)基本概念,三、流線(stream line),定義：流場(chǎng)中這樣一條連續(xù)光滑曲線：它上 面每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的速度矢 量方向重合,- 幾個(gè)基本概念,- 幾個(gè)基本概念,- 幾個(gè)基本概念,2. 流線特點(diǎn),流線上各點(diǎn)的切線方向所表示的是在同一時(shí) 刻流場(chǎng)中這些點(diǎn)上的速度方向，因而流

5、線形 狀一般都隨時(shí)間而變。,定常運(yùn)動(dòng)，流線的形狀，不隨時(shí)間變化，流 體質(zhì)點(diǎn)沿流線前進(jìn)，流線與軌跡線重合。,流線一般不相交,流線不轉(zhuǎn)折，為光滑曲線。,- 幾個(gè)基本概念,3. 流線的微分方程,注意：積分時(shí)時(shí)間作為參量。,- 幾個(gè)基本概念,同一流動(dòng)的跡線和流線也與坐標(biāo)的選取有關(guān),- 幾個(gè)基本概念,四、流管和流量(flowrate),（1）流管：,- 幾個(gè)基本概念,（2）流量：(體積流量)(volumetric flowrate) 單位時(shí)間內(nèi)通過過水?dāng)嗝娴捏w積,（3）平均流速,- 幾個(gè)基本概念,條紋線是曾經(jīng)在不同時(shí)刻流過流場(chǎng)中同一 點(diǎn)的各流體質(zhì)點(diǎn)軌跡線的端點(diǎn)的連線。,五 條紋線,- 幾個(gè)基本概念,一維

6、，二維與三維流動(dòng),1. 流動(dòng)維數(shù)的確定：,三維流動(dòng): 速度場(chǎng)必須表示為三個(gè)方向坐標(biāo)的函數(shù) v=v ( x, y, z, t),二維流動(dòng): 速度場(chǎng)簡(jiǎn)化為二個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù) v=v ( x, y, t) 或 v=v ( r, z, t),一維流動(dòng): 速度場(chǎng)可表示為一個(gè)方向坐標(biāo)的函數(shù) v=v( x ) 或 v=v ( s ),- 幾個(gè)基本概念,2. 常用的流動(dòng)簡(jiǎn)化形式：,(1) 二維流動(dòng)：平面流動(dòng),軸對(duì)稱流動(dòng),(2) 一維流動(dòng)： 質(zhì)點(diǎn)沿曲線的流動(dòng) v=v ( s ),流體沿管道的平均速度 v=v ( s ),- 幾個(gè)基本概念,例 3.6 已知流場(chǎng)的速度分布為 xx+t， y-y+t,（）1，過點(diǎn)（1

7、, 2）的加速度。,試求：,（）0，過點(diǎn)（-1,-1）的跡線；,（）0，過點(diǎn)（1,2）的跡線；,（），過點(diǎn)（-1，-1）的流線；,故經(jīng)過點(diǎn)(-1,-1)的軌跡線方程為:,解：（1）軌跡線微分方程為:,跡線,故過點(diǎn)（1，2）的軌跡線方程為:,（）0，過點(diǎn)（1,2）的跡線；,（）流線微分方程為:,則過點(diǎn)(-1,-1)的流線方程為 ,（）加速度公式為,所以 ax=1+（x+t）（-y+t）s2 ay=1+（ x+t ）（- y+t ）(-)2 ms2,-連續(xù)性方程式 （equation of continuity),一、一元流動(dòng)（one dimensional flow）,UU2,即可壓縮流體 （c

8、ompressible fluid ）,對(duì)于定常流動(dòng),Uconst,對(duì)于不可壓縮流體(incompressible fluid)：,截面積小的地方流速大， 截面積大的地方流速小。,或者,二、空間運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程式,流出控制體的凈質(zhì)量,控制體內(nèi)的質(zhì)量增量:,流出控制體的凈質(zhì)量=控制體內(nèi)的質(zhì)量增量,矢量式,定常流動(dòng),或,不可壓縮流體，const,或,或,三、平面極坐標(biāo)系中的連續(xù)方程,不可壓縮流體=const,式中為徑向速度，為圓周切向速度。,定常流動(dòng),四、柱面坐標(biāo)系中的連續(xù)方程,、是柱坐標(biāo)，軸上的速度分量。,五、球面坐標(biāo)系中的連續(xù)方程,，是速度在球坐標(biāo)， 軸上的分量。,六、積分形式的連續(xù)性方程,單

9、位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過流入 內(nèi)的凈質(zhì)量為:,內(nèi)的流體質(zhì)量為,歐拉型連續(xù)方程式的積分式,歐拉型連續(xù)方程的微分式,流體無論是理想，還是粘性流體，定常還是非定常流動(dòng)均適用。,-流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析,流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)：,剛體的運(yùn)動(dòng)：平移+旋轉(zhuǎn),平移 轉(zhuǎn)動(dòng) 線變形 角變形,平面流動(dòng),平移 轉(zhuǎn)動(dòng) 線變形 角變形,點(diǎn)（x,y,z）處的速度為Vx,Vy,Vz,點(diǎn)（xdx，ydy，zdz）處速度,一、流體微團(tuán)速度分解公式,（3-34）,其中：,二、各項(xiàng)的物理意義,1 x,y、,z,六面體微團(tuán)在 o面上投影,（1） ：流體微團(tuán)沿方向的應(yīng)變率,（2） : 方向的應(yīng)變率,（3） : 方向的應(yīng)變率,2 x ,y ,z,單位時(shí)間內(nèi)

10、AB邊的轉(zhuǎn)角,單位時(shí)間內(nèi)AD邊的轉(zhuǎn)角,流體微團(tuán)在xy平面內(nèi)剪切變形 的平均角速度，或稱剪切應(yīng)變率。,yz平面上剪切應(yīng)變率,xz平面上剪切應(yīng)變率,流體微團(tuán)的平均旋轉(zhuǎn)角速度: 單位時(shí)間內(nèi)AE的旋轉(zhuǎn)角度。,AE:流體微團(tuán)分角線,3 的物理意義,代表流體微團(tuán)繞過點(diǎn)并平行于軸的軸線旋轉(zhuǎn)的平均角速度。,流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng),平移運(yùn)動(dòng)：速度為（vx，vy，vz）；,旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：角速度為（x，y，z）；,變形運(yùn)動(dòng)：線變形速度（x、y、 z ） 角變形速度為（x，y，z ） 的剪切變形運(yùn)動(dòng)。,海姆霍茲速度分解定理,平移 轉(zhuǎn)動(dòng) 變形,平移 轉(zhuǎn)動(dòng) 線變形 角變形,三維流動(dòng),平移 轉(zhuǎn)動(dòng) 變形,討論：剛體速度分解定理與流體速度

11、分解定理的區(qū)別,剛體,流體,平移 轉(zhuǎn)動(dòng),對(duì)整個(gè)剛體成立,在流體微團(tuán)內(nèi)成立,-旋渦運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng),旋渦運(yùn)動(dòng)（有旋運(yùn)動(dòng)）： 流體微團(tuán)有繞著穿過自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。,無旋運(yùn)動(dòng)：流體微團(tuán)除平移和變形以外，本身 沒有旋轉(zhuǎn)。,xyz,例3.2 假設(shè)流線均為水平直線的均勻流動(dòng)， 速度分布為x0，y。,xyz，無旋運(yùn)動(dòng)。,例3.3 平行剪切流動(dòng),xy=0,為有旋運(yùn)動(dòng)。,例3.4 流體像剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)，流線是同心圓， 流場(chǎng)各點(diǎn)速度與r成正比，V=r(=const),xy,運(yùn)動(dòng)有旋,例3.5 流體微團(tuán)作圓周運(yùn)動(dòng)，,流動(dòng)是無旋運(yùn)動(dòng)。,3-6 速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù),一、速度勢(shì)函數(shù),稱為速度勢(shì)函數(shù),勢(shì)流：存在速度勢(shì)函數(shù)的流動(dòng)。,

12、速度勢(shì)函數(shù)與速度之間關(guān)系:,速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程,求解(2) 由(1)求出速度。,(1),(2),無旋流動(dòng) 求解拉氏方程,二、流函數(shù),1 流函數(shù)存在的條件：,可壓縮流體平面運(yùn)動(dòng),不可壓縮流體二維流動(dòng),（）流函數(shù)和流線的關(guān)系 const的曲線和流線重合。,2 流函數(shù)的性質(zhì)：,平面運(yùn)動(dòng)流線,流函數(shù),通過任意兩條流線之間(流管)的流量等于 此兩流線的流函數(shù)之差值。,（）流函數(shù)和流量的關(guān)系,證明,（）流函數(shù)和速度勢(shì)的關(guān)系,平面無旋運(yùn)動(dòng)，速度勢(shì)和流函數(shù)同時(shí)存在。,哥西黎曼條件,等流函數(shù)線： const的曲線（與流線重合）,等勢(shì)線： const曲線,等勢(shì)線和流線互相垂直,（）無旋流動(dòng)，流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程式,平面無旋運(yùn)動(dòng),即,平面勢(shì)流中流函數(shù)和速度勢(shì)同時(shí)滿足拉普拉斯方程。,例3.8 已知速度場(chǎng)為,求： （）流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度； （）流體微團(tuán)的剪切變形角速度。,解 （）由旋轉(zhuǎn)角度公式得：,例3.9 出油管與腔室軸線的夾角，進(jìn)油速 度為，若要使出油速度等于KV(為常數(shù)）， 腔室內(nèi)活塞的移動(dòng)速度應(yīng)為多大？,解：進(jìn)油的體積流量為,出油面積為：,出油流量：,現(xiàn)設(shè)活塞的移動(dòng)速度為，按連續(xù)性方程有