1、一.離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì),第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量的定義,如果隨機(jī)變量 X 的取值是有限個(gè)或可列無窮個(gè)，則稱 X 為離散型隨機(jī)變量,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量的分布律,設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為,并設(shè),則稱上式或,為離散型隨機(jī)變量 X 的分布律,返回主目錄,說 明,離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來刻劃 即離散型隨機(jī)變量可完全由其的可能取值以及取這 些值的概率唯一確定,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì):,返回主目錄,例 1,從110這10個(gè)數(shù)字中

2、隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令： X：取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值 試求 X 的分布律 解： X 的取值為5，6，7，8，9，10 并且,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,具體寫出，即可得 X 的分布律：,返回主目錄,例 2,將 1 枚硬幣擲 3 次，令： X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差 試求 X 的分布律 解： X 的取值為-3，-1，1，3 并且,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例 3,設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為,則,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例 3（續(xù)）,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例 4,設(shè)隨機(jī)變量

3、X 的分布律為,解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有,所以,返回主目錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以 1/2 的概率允許或禁止汽車通過. 以 X 表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)，求 X 的分布律. (信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的).,PX=3=(1-p)3p,可愛的家園,例 5,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,解： 以 p 表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的概率，則 X 的分布律為：,X pk,0 1 2 3 4,p (1-p) p (1-p)2p (

4、1-p)3p (1-p)4,或?qū)懗?PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4,例 5(續(xù)),返回主目錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,以 p = 1/2 代入得：,X pk,0 1 2 3 4,0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625,例 5(續(xù)),返回主目錄,二、一些常用的離散型隨機(jī)變量,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,1) Bernoulli分布,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,或,則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p 的 Bernoulli分布,返回主目錄,Bernoulli分布也稱作 0-1 分布或二點(diǎn)分

5、布,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,Bernoulli分布的概率背景,進(jìn)行一次Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)：,令：X：在這次Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù) 或者說：令,返回主目錄,例 6,15 件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品從中取出1件 令 X：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)則 X 的取值 為 0 或者 1，并且,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,2）二 項(xiàng) 分 布,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,說 明,顯然，當(dāng) n=1 時(shí),第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,二項(xiàng)分布的概率背景,進(jìn)

6、行n重Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)在每次試驗(yàn)中,令 X：在這次Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的 次數(shù),第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,分布律的驗(yàn)證,由于,以及 n 為自然數(shù)，可知,又由二項(xiàng)式定理，可知,所以,是分布律,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例7,一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案， 其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)至少能 答對(duì)4道題的概率是多少？ 解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，,則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn),第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例 7（續(xù)）,所以,

7、第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,二項(xiàng)分布的分布形態(tài),可知，二項(xiàng)分布的分布,先是隨著 k 的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著 k 的增大而減少,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,這個(gè)使得,可以證明：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例8,對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？ 解：對(duì)目標(biāo)進(jìn)行300次射擊相當(dāng)于做300重Bernoulli 試驗(yàn)令：,則由題意,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例8（續(xù)）,因此，最可能射擊的命中次

8、數(shù)為,其相應(yīng)的概率為,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,3）Poisson 分布,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的Poisson 分布,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,分布律的驗(yàn)證, 由于,可知對(duì)任意的自然數(shù) k，有,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量, 又由冪級(jí)數(shù)的展開式，可知,所以,是分布律,返回主目錄,Poisson分布的應(yīng)用,Poisson分布是概率論中重要的分布之一 自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布 例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)

9、射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例 9,設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的Poisson分布，且已知,解： 隨機(jī)變量 X 的分布律為,由已知,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例 9（續(xù)）,得,由此得方程,得解,所以，,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例 10,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例 10（續(xù)）,解：設(shè) B= 此人在一年中得3次感冒 ,則由Bayes公式，得,

10、第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,Poisson定理,證明：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,Poisson定理的證明(續(xù)),對(duì)于固定的 k，有,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,Poisson定理的證明(續(xù)),所以，,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,Poisson定理的應(yīng)用,由 Poisson 定理，可知,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例 11,設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次， 求至少命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson分布近似計(jì) 算） 解：設(shè) B= 600次射擊至

11、少命中3次目標(biāo) 進(jìn)行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗(yàn).,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,例 11（續(xù)）,所以，,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn) 有同類型設(shè)備 300 臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生 故障的概率都是 0.01. 在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障 可有一人來處理. 問至少需配備多少工人，才能保 證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于 0.01 ？,解：設(shè)需配備 N 人，記同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)為 X ，則 X b(300，

12、0.01），需要確定最小的 N 的取值，使得：,例 12,返回主目錄,查表可知，滿足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配備 8 個(gè)工人。,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,設(shè)有 80 臺(tái)同類型的設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法： 其一，由 4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé) 20 臺(tái) 其二，由 3 人,共同維護(hù) 80 臺(tái). 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,例 13,返回主目錄,解：按第一種方法. 以 X 記 “第 1 人負(fù)責(zé)的

13、20 臺(tái) 中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，則 X b (20，0.01）.,以 Ai 表示事件 “第 i 人負(fù)責(zé)的臺(tái)中發(fā)生故障不能及 時(shí)維修”， 則 80 臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概 率為：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,例 13(續(xù)),返回主目錄,按第二種方法. 以 Y 記 80 臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障 的臺(tái)數(shù)， 則 Y b(80，0.01）. 故 80 臺(tái)中發(fā)生故障而 不能及時(shí)維修的概率為：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,例 13(續(xù)),第二種方法中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率小，且維 修工人減少一人。運(yùn)用概率論討論國(guó)民經(jīng)濟(jì)問題，可以 有效地使用人力、物力資源。,

14、返回主目錄,4）幾 何 分 布,若隨機(jī)變量 X 的分布律為,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,分 布 律 的 驗(yàn) 證, 由條件, 由條件可知,綜上所述，可知,是一分布律,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,返回主目錄,幾何分布的概率背景,在Bernoulli試驗(yàn)中，,試驗(yàn)進(jìn)行到 A 首次出現(xiàn)為止,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,即,返回主目錄,例 14,對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率 為0.64，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)時(shí)為止，令： X：所需射擊次數(shù) 試求隨機(jī)變量 X 的分布律，并求至少進(jìn)行2次射擊 才能擊中目標(biāo)的概率 解：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,例 14（續(xù)）,