1、固體物理Solid State Physics,4.3 三維周期場中電子運動的近自由電子近似,第四章 能帶理論,04_03 三維周期場中電子運動的近自由電子近似,1 模型和微擾計算, 電子受到粒子周期性勢場的作用，勢場的起伏較小 零級近似，用勢場的平均值代替離子產(chǎn)生的勢場,周期性勢場起伏量, 微擾來處理,勢場的平均值, 電子的波動方程, 晶格周期性勢場函數(shù),1) 零級近似下電子的能量和波函數(shù),零級哈密頓量,薛定諤方程,電子的波函數(shù),能量本征值,金屬 個原胞構(gòu)成，體積, 周期性邊界條件,滿足正交歸一化條件,電子的波矢,電子的零級本征波函數(shù),2) 微擾時電子的能量和波函數(shù) 近自由電子近似模型,微擾

2、的情形,微擾后電子的能量,電子的波函數(shù),一級能量修正,電子的能量：,二級能量修正,一級修正,電子的波函數(shù)：,矩陣元 的計算,引入積分變量,應用,當上式中, 為整數(shù),則有,任意一項不滿足,則有,波函數(shù)一級修正,電子的波函數(shù),波函數(shù), 不變,波函數(shù),波函數(shù)可以寫成自由電子波函數(shù)和晶格周期性函數(shù)乘積, 微擾后電子的能量, 一級修正波函數(shù)和二級能量修正趨于無窮大,當 和 的零級能量相等, 三維晶格, 波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值, 非簡并微擾不再適用,簡單立方晶格中的倒格子空間,O點是一個倒格點，距離O點最近鄰的倒格點有6個, 紙面內(nèi)有4個倒格點(紅點標記) 垂直于紙面有2個倒格點,A和A兩點

3、波矢大小相等，零級能量相同 同時相差一個倒格矢 兩個狀態(tài)的相互作用矩陣元不為零,四點波矢大小相等，零級能量相同 同時相差一個倒格矢 幾個狀態(tài)的相互作用矩陣元不為零, 三維情形中，簡并態(tài) 的數(shù)目可能多于兩個,2 布里淵區(qū)和能帶, 在k空間把原點和所有倒格矢中點的垂直平分面畫出k空間分割被為許多區(qū)域, 每個區(qū)域內(nèi) E k 是連續(xù)變化的 而在這些區(qū)域的邊界上能量E(k)發(fā)生突變 這些區(qū)域稱為布里淵區(qū), 布里淵區(qū),簡單立方晶格k空間的二維示意圖, 屬于同一個布里淵區(qū)的能級構(gòu)成一個能帶, 每一個布里淵區(qū)的體積相同_倒格子原胞的體積, 每個能帶的量子態(tài)數(shù)目 _ 2N (計入自旋), 三維晶格中，不同方向上

4、能量斷開的取值不同 使得不同的能帶發(fā)生重疊, 不同的布里淵區(qū)對應不同的能帶, 第一布里淵區(qū)在k方向上能量最高點 A k方向上能量最高點C, 二維正方格子, C點的能量比第二布里淵區(qū)B點高, 第一布里淵區(qū) 和第二布里淵區(qū)能帶的重疊,用簡約波矢 表示能量和波函數(shù),能量和波函數(shù), 必須同時指明它們屬于哪一個能帶,3 幾種晶格的布里淵區(qū),1) 簡單立方格子, 第一布里淵區(qū) 原點和6個近鄰格點的垂直平分面圍成的立方體, 倒格子基矢, 正格子基矢, 簡單立方格子, 第一布里淵區(qū), 簡單立方格子,2) 體心立方格子, 正格子基矢, 倒格子基矢, 邊長 的面心立方格子,第一布里淵區(qū), 第一布里淵區(qū),原點和12個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體, 體心立方格子第一布里淵區(qū)各點的標記,3) 面心立方格子, 正格子基矢, 倒格子基矢, 邊長 的體心立方格子,第一布里淵區(qū), 第一布里淵區(qū)為原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正八面體，和沿立方軸的6個次近鄰格點連 線的垂直平分面割去八面體的六個角, 形成的14面體, 八個面是正六邊形 六個面是正四邊形,面心立方格子 第一布里淵區(qū),布里淵區(qū)原點,六方面的中心,四方面的