1、第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法5-1 什么是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)？什么是幅頻特性？什么是相頻特性？什么是頻率特性？答 對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出仍為同頻率的正弦信號(hào)，只是幅值和相位發(fā)生了改變，如圖5-1所示，稱這種過程為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。圖5-1 問5-1圖稱為系統(tǒng)的幅頻特性，它是頻率 的函數(shù)； 稱為系統(tǒng)的相頻特性，它是頻率 的函數(shù)： 稱為系統(tǒng)的頻率特性。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可通過實(shí)驗(yàn)的方法確定。5-2 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系是什么？試證明之。證 若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，則相應(yīng)系統(tǒng)的頻率特性為，即將傳遞函數(shù)中的s用代替。證明如下。假設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 輸入 時(shí)， 經(jīng)拉氏反變換

2、，有： 穩(wěn)態(tài)后，則有： 其中： 將與 寫成指數(shù)形式：則： 與輸入 比較得：幅頻特性 相頻特性 所以是頻率特性函數(shù)。5-3 頻率特性的幾何表示有幾種方法？簡述每種表示方法的基本含義。答 頻率特性的幾何表示一般有3種方法。幅相頻率特性曲線（奈奎斯特曲線或極坐標(biāo)圖）。它以頻率 為參變量，以復(fù)平面上的矢量來表示的一種方法。由于與對(duì)稱于實(shí)軸，所以一般僅畫出 的頻率特性即可。對(duì)數(shù)頻率特性曲線（伯德圖）。此方法以幅頻特性和相頻特性兩條曲線來表示系統(tǒng)的頻率特性。橫坐標(biāo)為 ，但常用對(duì)數(shù) 分度。對(duì)數(shù)幅頻特性的縱坐標(biāo)為，單位為dB。對(duì)數(shù)相頻特性的縱坐標(biāo)為 ，單位為“?！保ǘ龋：投际蔷€性分度。橫坐標(biāo)按分度可以擴(kuò)大頻

3、率的表示范圍，幅頻特性采用可給作圖帶來很大方便。對(duì)數(shù)幅相頻率特性曲線（尼柯爾斯曲線）。這種方法以為參變量，為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)。5-4 什么是典型環(huán)節(jié)？答 將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)基于根的形式進(jìn)行因式分解，可劃分為以下幾種類型，稱為典型環(huán)節(jié)。比例環(huán)節(jié)k(k0) ；積分環(huán)節(jié)；微分環(huán)節(jié)s；慣性環(huán)節(jié)；一階微分環(huán)節(jié) ；延遲環(huán)節(jié)；振蕩環(huán)節(jié)；二階微分環(huán)節(jié) ；不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。典型環(huán)節(jié)頻率特性曲線的繪制是系統(tǒng)開環(huán)頻率特性繪制的基礎(chǔ)，為了使作圖簡單并考慮到工程分析設(shè)計(jì)的需要，典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線常用漸近線法近似求取。5-5 什么是最小相位系統(tǒng)及非最小相位系統(tǒng)？最小相位系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是什么？答 在s平面上，開環(huán)零、極點(diǎn)

4、均為負(fù)實(shí)部的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)；反之，開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)中具有正實(shí)部的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是：相位滯后最小，并且幅頻特性與相頻特性有惟一的確定關(guān)系。如果知道最小相位系統(tǒng)的幅頻特性，可惟一地確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。5-6 什么是頻率特性的極坐標(biāo)圖？什么是奈奎斯特（Nyquist）軌跡、Nyquist圖？答 在s平面上，當(dāng)s=0到 時(shí)， 變化的軌跡稱為系統(tǒng)頻率特性的極坐標(biāo)圖取根平面上的封閉圍線包圍全部右半 平面，此封閉圍線由整個(gè)虛軸（從s=- 到s=+ ）和右半平面上半徑為無窮大的半圓軌跡組成。這一封閉圍線稱作奈奎斯特軌跡，如圖5-2所示。圖5-2 Nyquist軌跡圖5-

5、3 Nyquist圖當(dāng)s沿Nyquist軌跡變化時(shí)，即s=-j到 變化時(shí)s=+j，在開環(huán)傳遞函數(shù)平面上對(duì)應(yīng)的軌跡稱為Nyquist圖，如圖5-3所示。5-7 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的主要內(nèi)容是什么？簡述頻率穩(wěn)定判據(jù)的主要特點(diǎn)。答 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線圖，判定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的判據(jù)。具體如下。反饋控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s的右半平面的個(gè)數(shù)（不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)）：Z=N+P式中P為系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)；N為系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖順時(shí)針環(huán)繞(-1,j0)的次數(shù)。這里，系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖可根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖 ，然后做出它關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱部分即可。N=0，則系統(tǒng)穩(wěn)定；N0 ，

6、系統(tǒng)不穩(wěn)定。主要特點(diǎn)：應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響。易于研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈氏判據(jù)稍加推廣還可以用來分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5-8 什么是系統(tǒng)的幅穩(wěn)定裕度、相穩(wěn)定裕度？其各自的物理含義是什么？答 幅值裕度GM 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)相頻特性為180du時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性幅值的倒數(shù)稱為幅值裕度，所對(duì)應(yīng)的頻率 稱為相角交界頻率。即滿足 相位裕計(jì)劃經(jīng)濟(jì)PM 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值為1時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的相角與180du的和稱為相角裕度，所對(duì)應(yīng)的頻率 稱為系統(tǒng)截止頻率（剪切頻率）。即：滿足 PM0，則系統(tǒng)穩(wěn)定，反之為不穩(wěn)定。幅穩(wěn)定裕度的分貝(dB

7、)形式及相穩(wěn)定裕度通常用R和r來表示。幅值裕度GM說明 當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益大為原來的GM倍時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定（為維持閉環(huán)穩(wěn)定K所能增大的最大倍數(shù)）。相位裕度PM說明 當(dāng)系統(tǒng)對(duì)頻率為的信號(hào)的相角滯后再增大PM度時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。5-9 試簡要敘述如何繪制極坐標(biāo)圖。答 首先將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性函數(shù)分解為下列兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：PM0 及 確定幅相曲線的起始點(diǎn)與終止點(diǎn)和曲線的基本形狀。起始點(diǎn)為： 終止點(diǎn)為： 其中為系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益， 和 分別為開環(huán)傳遞函數(shù)具有正實(shí)部的極點(diǎn)和零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。對(duì)于最小相位系統(tǒng)： 由上可知，起始點(diǎn)位置與系統(tǒng)型號(hào)有關(guān)，終止點(diǎn)相角與分子和分母多項(xiàng)式次數(shù)的差值有關(guān)。對(duì)實(shí)際系

8、統(tǒng)總有 。確定曲線是否穿越實(shí)軸和虛軸。令，得到，若為實(shí)數(shù)，則曲線穿越實(shí)軸，若為復(fù)數(shù)，則曲線不穿越實(shí)軸。令，得到，若為實(shí)數(shù)，則曲線穿越虛軸，若為復(fù)數(shù)，則曲線不穿越虛軸。對(duì)于含有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，開環(huán)幅相特性應(yīng)作相應(yīng)補(bǔ)充：從開環(huán)幅相曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)起，用虛線逆時(shí)針補(bǔ)畫半徑為的圓弧。5-10 如何繪制Bode圖。答 將開環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)進(jìn)行分解，并將轉(zhuǎn)折頻率從小到大的順序排列為。繪制起始低頻漸近線，即的左邊部分。起始低頻漸近線為一直線，其斜率為-20v，取決于系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。并且通過點(diǎn)，即漸近線或其延長線在處的值為。漸近線斜率在頻率處發(fā)生改變，變化的數(shù)值決于對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的種類。同樣，在后面的

9、各轉(zhuǎn)折頻率處，漸近線斜率都相應(yīng)改變。在每個(gè)相鄰轉(zhuǎn)折頻率間，漸近線為一直線。根據(jù)誤差曲線求是得各典型環(huán)節(jié)的修正量，加到漸近曲線上，并通過各修正點(diǎn)作光滑曲線。5-11 什么是系統(tǒng)頻率特性的諧振峰值？什么是帶寬頻率和系統(tǒng)帶寬？對(duì)于二階系統(tǒng)，上述指標(biāo)及截止頻率 、相位裕度r與阻尼系數(shù) 的關(guān)系是什么？對(duì)于高階系統(tǒng)，幅值裕度和相位裕度及諧振峰值是如何確定的？答 系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性幅值的最大值稱為諧振峰值。當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性的輸出幅值 下降為輸入幅值 的0.707倍時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率稱為帶寬頻率。頻率范圍稱為系統(tǒng)帶寬。對(duì)于典型的二階系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)，相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：諧振峰值： 諧振頻率： 帶寬頻率： 截止

10、頻率： 相位裕度： 典型二階系統(tǒng)的幅值裕度為 。對(duì)于高階系統(tǒng)，工程上常用圖解法近似確定幅值裕度和相位裕度，諧振峰值則由下述經(jīng)驗(yàn)公式確定：超調(diào)量： 調(diào)節(jié)時(shí)間： 5-12 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，當(dāng)系統(tǒng)的輸入時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為，試計(jì)算參數(shù)K和T的數(shù)值。分析：根據(jù)題意，應(yīng)首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，然后根據(jù)頻率特性的定義來求解。解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：由系統(tǒng)頻率特性的 定義知：即 即 因此有： 5-13 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，試?yán)L制對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線： 。分析：要畫出系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性，必須首先熟悉各典型環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式及Bode圖形狀，注意

11、各典型環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率的確定。解 轉(zhuǎn)折頻率為： 起始低頻漸近線通過點(diǎn)： 時(shí)， 所以：起始低頻漸近線斜率為，并且通過點(diǎn) (0.1,60)；當(dāng)漸近線到達(dá)時(shí)，斜率由變?yōu)?；當(dāng)漸近線到達(dá)時(shí)，斜率由變?yōu)椤Ｏ到y(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-8所示。 轉(zhuǎn)折頻率為： 當(dāng) 時(shí)， 所以：起始低頻漸近線斜率為，并且通過點(diǎn) (1,-20)；當(dāng)漸近線到達(dá)時(shí)，斜率由變?yōu)?；?dāng)漸近線到達(dá)時(shí)，斜率由變?yōu)椋划?dāng)漸近線到達(dá)時(shí)，斜率由變?yōu)?。系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-9所示。圖5-8 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線圖5-9 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線5-14 設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試畫出開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖 ，并確定曲線與實(shí)軸是否相交，如果相交，試確定相交點(diǎn)

12、處的頻率和相應(yīng)的幅值。用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 開環(huán)系統(tǒng)是由兩個(gè)積分環(huán)節(jié)、兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)組成的。開環(huán)系統(tǒng)頻率特性為： 確定起點(diǎn)和終點(diǎn)：時(shí)， 時(shí)， 組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)均為最小相位環(huán)節(jié)，當(dāng) 時(shí)， 的角度從-180單調(diào)地減小到-360，所以幅相曲線與實(shí)軸無交點(diǎn)。系統(tǒng)的概略極坐標(biāo)圖如圖5-10所示。圖5-10 極坐標(biāo)圖由于系統(tǒng)型次為 ，應(yīng)補(bǔ)畫圓弧，由 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)起逆時(shí)針補(bǔ)作半徑為無窮大的 的圓弧。根據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，位于S右半平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù) ，由圖可知P=0，N=1+2 ，則：Z=P+N=2系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-15 已知系統(tǒng)方塊圖如圖5-11所示：圖 5-11 方塊圖試

13、用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定K的取值范圍。分析：首先應(yīng)畫出極坐標(biāo)圖及Nyquist圖，然后用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。畫極坐標(biāo)圖時(shí)，頻率特性函數(shù)既要寫出其幅值和相角表達(dá)式，又要寫出其實(shí)部和虛部表達(dá)式。解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：當(dāng) 時(shí)， 與虛軸的交點(diǎn)為：令 ，此時(shí)有 ，說明曲線不穿越虛軸。與實(shí)軸的交點(diǎn)為：令 ，此時(shí)有 ，說明曲線穿越實(shí)軸，此時(shí)，。由此可畫出 的極坐標(biāo)圖如圖5-12所示。由極坐標(biāo)圖可進(jìn)一步畫出Nyquist圖如圖5-13所示。圖5-12 極坐標(biāo)圖 圖5-13 Nyquist圖由于系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)型次為 ，應(yīng)補(bǔ)畫圓弧，由 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)起逆時(shí)針

14、補(bǔ)作半徑為無窮大的的圓弧。根據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，討論如下：當(dāng)k=1時(shí)， 過(-1,j0) 點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)k0時(shí)， P=1,N=-1,Z=N+P=0，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)K0時(shí)， P=1,N=+1,Z=N+P=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例5-5 設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求當(dāng)系統(tǒng)剪切頻率 時(shí)的開環(huán)增益K值。分析：明確剪切頻率的概念及純滯后環(huán)節(jié)的模值為1。解 根據(jù)剪切頻率的定義知：即 因?yàn)?，所以 5-16 設(shè)某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的前向通道的傳遞函數(shù)為 ，試：計(jì)算系統(tǒng)的剪切頻率 及相位裕度 ；計(jì)算系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的相對(duì)諧振峰值 及諧振頻率 。分析：明確系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的相對(duì)諧振峰值 及諧振頻率 與系統(tǒng)自然

15、頻率 及阻尼比 的關(guān)系以及 和 的求取。解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 開環(huán)頻率特性為： 對(duì)于 有： 求解上式得： 根據(jù)相角裕度的定義，得： 計(jì)算及。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ，將其與二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行比較，可得二階系統(tǒng)的自然頻率及阻尼比為：已知二階系統(tǒng)的及與參數(shù) 及 的關(guān)系為：由此求得： 5-17 已知最小相位開環(huán)系統(tǒng)的漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-14所示，試：求取系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；利用穩(wěn)定裕度判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性；如果要求系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度，試確定開環(huán)放大倍數(shù)應(yīng)改變的倍數(shù)。圖5-14 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線分析：系統(tǒng)一定是最小相位系統(tǒng)，否則，不能越位根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。解 系統(tǒng)

16、開環(huán)傳遞函數(shù)的基本形式為： 由于開環(huán)頻率特性起始低頻漸近線通過(0.1,40) 點(diǎn)，則：所以： 開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為：系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性為：令 求解截止頻率 ，只有 在其所屬頻率范圍 內(nèi)，所以：故系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。由于： 若要求 ，即 ，解得 。若要求系統(tǒng)的相穩(wěn)定裕度為，設(shè)為開環(huán)放大倍數(shù)需改變的倍數(shù)，則應(yīng)為截止頻率。則系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為：屬于 的頻率范圍，所以有：5-18 某控制系統(tǒng)的方塊圖如圖5-15及Bode圖如圖5-16所示。圖5-16中給出有無純滯后兩種情況下的兩條相頻特性，系統(tǒng)的幅穿頻率為 ，開環(huán)放大倍數(shù)為 。試求：有純滯后和無純滯后兩種情況下的相穩(wěn)定裕度；若系統(tǒng)有純滯后時(shí)，保證相穩(wěn)

17、定裕度為40，開環(huán)放大倍數(shù)應(yīng)改變的倍數(shù)？圖5-15 方塊圖解 由圖可知： 由圖5-16可知，若系統(tǒng)有純滯后時(shí)，保證相穩(wěn)定裕度為40 ，則幅穿頻率應(yīng)為 ，設(shè)開環(huán)放大倍數(shù)應(yīng)增大 倍，則系統(tǒng)的幅頻特性為：顯然，在范圍內(nèi)，所以 即： 圖5-16 Bode圖5-19 設(shè)反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖5-17所示，開環(huán)增益K=500，S右半平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0，試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。圖5-17 開環(huán)幅相曲線分析：根據(jù)系統(tǒng)的幅相曲線，應(yīng)首先確定系統(tǒng)的型次。另外注意：無論K如何變化，過-180的臨界頻率不會(huì)變化。即當(dāng)K改變時(shí)，系統(tǒng)穿越頻率不變，僅是幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)沿負(fù)實(shí)軸移動(dòng)。解 設(shè)： 由圖5-17可知，幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的臨界頻率分別為，因此有：當(dāng)K=500時(shí) 其中 。當(dāng)K變化時(shí)，系統(tǒng)的臨界頻率不會(huì)變，僅是幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)沿負(fù)實(shí)軸移動(dòng)，設(shè)K分別為 時(shí)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn) 和 分別位于(-1,J0)點(diǎn)，即：求解： 當(dāng)K變化時(shí)，奈氏曲線的四種形式如圖5-18(a)、(b)、(c) 、(d)所示：由于系統(tǒng)，故從的起點(diǎn)，逆時(shí)針補(bǔ)作半徑為無窮大的的圓弧。根據(jù)奈氏判據(jù)可判定系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。當(dāng)0K10時(shí)，P=0,N=0,Z=0，系統(tǒng)