1、2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（二）,知識回顧,1.如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？,（1）眾數(shù)：最高矩形下端中點的橫坐標.,（2）中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點的橫坐標.,（3）平均數(shù)：每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標的乘積之和.,知識探究：標準差,樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息. 平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)

2、的中心位置，可能與實際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，因此，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.,數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標準差來描述。,為了表示樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度，通常要求出樣本方差或者它的算術(shù)平方根.,來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，一組數(shù)據(jù)方差越大，則這組數(shù)據(jù)波動越大。,那么我們用它們的平均數(shù)，即,（2）標準差：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標準差，它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量。,計算標準差的算法：,S2 算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差 （i=1，2，n）；,S3 算出 （i=1，2，n）；,S

3、4 算出 （i=1，2，n）這n個數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差s2；,S5 算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標準差s。,（3）方差的運算性質(zhì)：,例1. 計算數(shù)據(jù)5，7，7，8，10，11的標準差.,S5 .,所以這組數(shù)據(jù)的標準差是2.,例2.計算數(shù)據(jù)89，93，88，91，94，90，88，87的方差和標準差。（標準差結(jié)果精確到0.1）,解：,.,所以這組數(shù)據(jù)的方差為5.5，標準差為2.3 .,例3. 從甲、乙兩名學生中選拔一人乘積射擊比賽，對他們的射擊水平進行測試，兩人在相同的條件下各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下 甲7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.

4、 （1）計算甲、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標準差； （2）比較兩人的成績，然后決定選擇哪一人參賽.,（2）由（1）知，甲、乙兩人平均成績相等，但s乙s甲，這表明乙的成績比甲的成績穩(wěn)定一些，從成績的穩(wěn)定性考慮，可以選乙參賽。,（3）標準差和頻率直方圖的關(guān)系,從標準差的定義可知，如果樣本各數(shù)據(jù)都相等，則標準差得0，這表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性；若個體的值與平均數(shù)的差的絕對值較大，則標準差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動幅度也很大，數(shù)據(jù)的離散程度很高，因此標準差描述了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離散程度。,練習1甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水

5、稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。,解：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為 (9.810)2 +(9.910)2+(10.110)2+ (1010)2+(10.210)25=0.02.,乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為 (9.410)2+(10.310)2+(10.810)2+ (9.710)2+(9.810)25=0.24. 因為0.240.02， 所以，由這組數(shù)據(jù)可以認為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。,練習2為了保護學生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差。,解：各組中值分別為165，195，2

6、25，285，315，345，375，由此算得平均數(shù)約為,1651%+19511%+22518%+25520%+28525%+31516%+3457%+3752%=267.9268(天),這些組中值的方差為,1(165268)2+11(195268)2+18(225268)2+20(255268)2+25(285268)2+16 (315268)2+7(345268)2+2(375268)2 100=2128.60(天2).,故所求的標準差約 （天）,答：估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標準差約為46天.,3.(2011年高考江蘇卷6)某老師從星期一到星 期五收到信件數(shù)分別是10，6

7、，8，5，6，則 該組數(shù)據(jù)的方差（ ）,3.2,4.（2011年高考遼寧卷文科19) (本小題滿分12分) 某農(nóng)場計劃種植某種新作物為此對這種作物的兩個品種 (分別稱為品種甲和品種乙)進行田間試驗，選取兩大塊地， 每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中隨機選n小塊 地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙 ()假設n=2，求第一大塊地都種植品種甲的概率： ()試驗時每大塊地分成8小塊即n=8，試驗結(jié)束后得到 品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位kghm2) 如下： 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本 方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應該種植哪一品種? 附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2xa

8、的樣本方差， 其中 為樣本平均數(shù)。,由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均 數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)， 且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選 擇種植品種乙。,5(2011年高考北京卷理科17)本小題共13分 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹。 乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示。 （）如果X=8,求乙組同學植樹棵樹的平均數(shù)和方差； （）如果X9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)為19的概率,解：（1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù) 是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為 方差為,6(2011年高考廣東卷文科17)（本小題滿分13分） 在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分用表示編 號為的同學所得成績，且前5位同學的成績?nèi)缦拢?（1）求第6位同學成績，及這6位同學成績的標準差； （2）從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間中的概率,6.練習：,（3）若k1,k2, k8的方差為3，則2(k13), 2(k23), , 2(k83)的方差為_,4,32,12,A,B,7。在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩