1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題,第8課時 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,1利用正弦定理，余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題 2高考題型主要考查與距離、角度、高度、幾何等有關(guān)的實際問題近幾年主要是以解答題形式出現(xiàn)，難度不高，所以，在備考中，重在熟練對正、余弦定理的運用,【命題預(yù)測】,1解與三角形有關(guān)的實際問題時，要注意對仰角、俯角、方位角、方向角、鉛直平面等術(shù)語的理解 與角度有關(guān)的實際問題，除了仍要合理應(yīng)用正、余弦定理和三角形知識外，還要注意弄清仰角、俯角、方向角、方位角等有關(guān)術(shù)語解決這類問題的基本步驟： (1)弄清題意，作出示意

2、圖，標(biāo)明相關(guān)角度和長度；(2)選用正確的定理或三角公式求解；(3)作答,【應(yīng)試對策】,2解決與高度有關(guān)的實際問題的基本步驟： (1)準(zhǔn)確理解題意和相關(guān)名詞、術(shù)語；(2)畫出示意圖，標(biāo)出已知條件；(3)分析與問題有關(guān)的一個或幾個三角形，結(jié)合直角三角形的知識和正、余弦定理正確求解 射影定理：在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A； cbcosAacos B.,【知識拓展】,1實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線 的角叫仰角， 在水平線 的角叫俯角(如圖) (2)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角， 如B點的方位角為(如

3、圖),上方,下方,2ABC的面積公式有 (1)S aha(ha表示a邊上的高)； (2)S absin C (R為外接圓半徑)； (3)S r(abc)(r為內(nèi)切圓半徑),1在ABC中，若A120，AB5，BC7，則ABC的面積S_. 解析：由余弦定理BC2AB2AC22ABACcos 120， 解得AC3，因此ABC的面積S ABACsin 120 . 答案：,2 如圖，A、B兩點間隔有一小山，現(xiàn)選定能直接到達點A、B的C點，并測得AC60 m，BC160 m，ACB60，則A、B兩點間的距離為_m. 解析：AB 140(m) 答案：140,3(2010濟寧一中調(diào)研)某人坐在火車上看風(fēng)景，他

4、看見遠(yuǎn)處有一座寶塔在與火車前進方向成30角的直線上，1分鐘后，他看這寶塔在與火車前進方向成45角的直線上，設(shè)火車的速度是100 km/h，則寶塔到鐵路線的垂直距離等于_km.,解析：如圖，BCA=4530=15，AB= (km)， AC= sinABC= (km)， 所以寶塔到鐵路線的垂直距離=AC sin 30 = (km) 答案：,4某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離d1與第二輛車與第三輛車的距離d2之間的大小關(guān)系為_ 解析：由正弦定理， 在BCP中， 在DCP中， 由于，BCPDCP，/得

5、， ，又PBPD，d1d2. 答案：d1d2,5在ABC中，若A60，b1，SABC ，則 的值為_ 解析：SABC ，即 bcsin A ， c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A13， a ， 答案：,【例1】要測量河對岸兩點A、B之間的距離，選取相距 km的C、D兩點，并測得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45， 求A、B之間的距離 思路點撥：作出草圖，綜合運用正、余弦定理,解：如圖所示，在ACD中， ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= (km) 在BCD中，BCD=45，BDC=75， CBD=60.BC= .ABC中，由余弦定理，得 AB2= =3+

6、2+ - =5，AB= (km)A、B之間的距離為 km.,變式1：如圖所示，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者 在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點C，測出 AC的距離為50 m，ACB=45，CAB=105后， 就可以計算A、B兩點的距離為m. 解析：由題意知ABC=30由正弦定理 AB= (m) 答案：50,【例2】某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30，求塔高,思路點撥：依題意畫圖，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進，CD=40米，此時DBF=45，從C到D沿途測塔的仰角，只有B到測試點的距離最短時，仰角才最大，這是因為tan A

7、EB= ，AB為定值，BE最小時，仰角最大要求出塔高AB，必須先求BE，而要求BE，須先求BD(或BC),解：由上圖所示，過B作BECD于點E，由題意知在E點測得塔的最大仰角30.在BCD中，CD=40，BCD=30，DBC=135， 由正弦定理，得 ，BD= 在RtBED中，BDE=180-135-30=15. BE=BDsin 15= = 在RtABE中，AEB=30， AB=BEtan 30= (米)故所求的塔高為 米,變式2：如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選定塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB. 解：在BC

8、D中，CBD， 由正弦定理得 所以BC . 在RtABC中，ABBCtan ACB .,當(dāng)我們將所求距離或角度的問題轉(zhuǎn)化為一個求三角形的邊和角的問題時，若選擇的三角形條件不夠，這時，我們通常尋找其他的三角形作為解這個三角形的支持，為我們解這個三角形提供必要的條件也就是需要我們聯(lián)合幾個三角形多次應(yīng)用兩個定理解決問題，這需要我們首先畫出簡要的示意圖，分析所求和條件的關(guān)系，尋求它們直接或間接的聯(lián)系,【例3】 在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處( -1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10 海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的

9、速度，從B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船應(yīng)沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間 思路點撥：求方向的問題可以考慮轉(zhuǎn)化為 解三角形的求角問題，分析條件可以選擇ABC.,解：設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD=10 t海里，BD=10t海里在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC22ABACcos A（1)2+22-2(1)2cos 120=6， BC= 海里又 sinABC= ABC=45，B點在C點的正東方向上，CBD=90+30=120. 在BCD中，由正弦定理，得,sinBCD= BCD=30，緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛 又在BCD中

10、，CBD=120，BCD=30，D=30， BD=BC，即10t= .t= 小時15分鐘緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘,變式3：(江蘇省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷)如圖，一船由西向東航行，測得某島的方位角為，前進5 km后測得此島的方位角為.已知該島的周圍3 km內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行 (1)若260，問該船有無觸礁的危險？ (2)當(dāng)與滿足什么條件時，該船沒有觸礁的危險,解：(1)如題中圖，設(shè)海島M到直線AB的距離MC為d，則由題意有， ACdtan ，BCdtan ， 由ACBCAB得dtan dtan 5，d 當(dāng)260時，d 3， 所以此時沒有觸礁的危險

11、,(2)要使船沒有觸礁的危險，只要使d3，即 3成立即可 00，tan tan ， 所以當(dāng)與滿足0tan tan 時，該船沒有觸礁的危險,在不同的已知條件下，求三角形面積的問題與解三角形有密切的關(guān)系，通常我們要根據(jù)已知條件，利用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，從而求出三角形的面積 在RtABC中，C90，則ABC的面積S ab.對于任意ABC，已知a、b及C，則ABC的面積S absin C同理三角形的面積還有 S acsin B，S bcsin A.,【例4】在ABC中，若B30，AB2 ，AC2，則ABC的面積是多少 思路點撥：已知兩邊及一邊的對角解三角形時，要注意分類討論,解：由正弦定

12、理得 ，sin C . ABAC，C60或120. 當(dāng)C60時，SABC ACABsin A 22 sin 902 ； 當(dāng)C120時，SABC ACABsin A 22 sin 30 .,4如圖，ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個定點， 正東方向射出的太陽光線與地面成40角，為了使陰影 面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為_ 解析：作CE平面ABD于E，則CDE是太陽光線與地面所成的角，即CDE=40.延長DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則CFD是遮陽棚與地面所成的角，設(shè)為.要使SABD最大，只需DF最大在CFD中， CF為定值， 當(dāng)=50時，DF最大 答案：50,1正弦定理、

13、余弦定理在實際生活中，有著廣泛的應(yīng)用，常見題型有距離問題、高度問題、角度問題以及平面圖形的面積問題等 2解實際應(yīng)用問題，要準(zhǔn)確找出仰角、俯角、方位角，同時要注意與平面幾何結(jié)合，運用正弦定理、余弦定理發(fā)揮題目的隱含條件，從而順利解決問題 3解實際問題時，要注意題目中給出的精確度，合理取近似值.,【規(guī)律方法總結(jié)】,【例5】 (2009北京卷)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、 c， B ，cos A ，b . (1)求sin C的值；(2)求ABC的面積,【高考真題】,分析：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ACB ，即C A，只要再根據(jù)cos A 求出sin A的值，根據(jù)兩角差的正弦公式即可

14、求出sin C的值；(2)相當(dāng)于知道了三角形三個內(nèi)角以及一條邊長，只要再求出一條邊長就可以根據(jù)三角形面積公式求出ABC的面積,規(guī)范解答：(1)因為角A，B，C為ABC的內(nèi)角，且B ，cos A ， 所以C A，sin A .于是sin Csin (2)由(1)知sin A ，sin C 又因為B ，b ，所以在ABC中，由正弦定理得a 于是ABC的面積S absin C,本題初看像是一道純粹的解三角形的題目，實際上是以考查三角恒等變換為主的一道試題，我們在求出第(1)問后就可以根據(jù)正弦定理和三角形面積公式解決問題了 【知識鏈接】 三角形內(nèi)角間的三角函數(shù)關(guān)系 在ABC中，sin Asin(BC)

15、，cos Acos(BC)， ，我們在解題時，要注意這些關(guān)系在解決三角形問題中的應(yīng)用,【命題探究】,【全解密】,在三角形中，當(dāng)已知兩個內(nèi)角的大小或是已知兩個內(nèi)角的三角函數(shù)值時，一定能根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式、余弦公式求出第三個內(nèi)角的大小或其三角函數(shù)值,【方法探究】,本題第(1)問也可以根據(jù)sin Csin(AB)求解，由于cos A ，sin A ， B ，所以sin Csin(AB)sin A cos Bcos Asin B 第(2)問也可以根據(jù)正弦定理 2R(R為ABC的外接圓半徑)，得R1，S absin C 2Rsin A2Rsin Bsin C sin Asin B sin C， 只要將第(1)問的結(jié)果代入即可.,【發(fā)散思維】,1在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c， 證明 分析：此題主要考查正、余弦定理在證明恒等式中的應(yīng)用，由等號左邊的 a2，b2，c2，運用余弦