1、第四章 線性方程組與向量組的線性相關(guān)性,1 消元法與線性方程組的相容性,1.1 線性方程組的相容性與Cramer,1、線性方程組的表示法,一般地，n個未知量m個方程的線性方程組可以表示為,其中x1,x2, xn 是方程組的 n 個未知量，aij (i =1, 2, , m; j = 1, 2, , n)是第 i 個方程中的第 j 個未知量的系數(shù)， bi (i =1, 2, , m) 是第 i 個方程的常數(shù)項。若記,(1),按矩陣的乘法和矩陣相等的定義，（1）式可以寫成,Ax = b (2),其中mn 矩陣 A 是線性方程組（1）的 系數(shù)矩陣， m(n+1) 矩陣 B= （A，b）是方程組的 增

2、廣矩陣。,設(shè) A 按列分塊為 ，（1）也可表為,(3),2、線性方程組的解,為方程組（1）的解向量，或說 是Ax=b 的解。,顯然，齊次線性方程組總是相容的。那末，非齊次的 線性方程組在什么條件下才相容呢？,3、線性方程組的相容性,當(dāng)線性方程組有解時，就說該方程組是相容的，否則 就說它是不相容的。,若 滿足（4）式，則稱 是齊次線性方程 組的一個非零解。,我們先來看一種特殊的情形，設(shè) m = n，且 |A| 0， 即方陣A可逆，由于其逆是惟一的，所以方程組有惟一解,x = A-1b，,其中,從而,4、 Cramer法則,記Dj為以 b 代替|A|中的第 j 列所得到的行列式,由于bi在Dj中的

3、代數(shù)余子式為Aij，將Dj按第 j 列展開，得,Dj=b1A1j+ b2A2j+ bnAnj, j=1,2,n.,于是,Cramer法則 n個未知數(shù)n個方程的線性方程組Ax=b ， 若|A| 0，則方程組有唯一解,即方程組（1）的惟一解 ， j=1,2,n 。這就是著名的Cramer法則。,其中Dj為以 b 代替|A|中的第 j 列所得到的行列式。,1.2 用消元法解線性方程組,消元法,線性方程組的求解過程是不斷尋求化簡的同解方程組的過程。其實質(zhì)上是對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，使其變成行階梯形矩陣。在該階梯形矩陣非零行所對應(yīng)的方程中，越下面的方程所含的未知量個數(shù)越少。正是利用這一點，最后

4、求出方程組的解。這種求解線性方程組的方法稱之為消元法。,當(dāng)M不等于N時怎么辦？,3、線性方程組的相容性,設(shè)非齊次方程組Ax=b ，其中A=(aij)mn，且R(A)=r。,不妨設(shè)矩陣A的前r列中有r階的非零子式，對增廣矩陣 B=(A,b)施以初等行的換法變換，將非零子式所在的行調(diào)整 到前r行，再經(jīng)過若干次初等行變換將B化為行最簡型矩陣,它所對應(yīng)的與原方程組Ax=b 的同解方程組為,由于初等變換不改變矩陣的秩，所以,R(A) = R(C) = r,從而,顯然，當(dāng)dr+10 時，R(A,b)R(A)，等價方程組中的第r+1個方程是矛盾方程，即等價方程組無解，進而方程組（1）無解。當(dāng)dr+1=0 時

5、，R(A,b)=R(A)= r，若r = n，方程組（1）有唯一解xj=dj (j=1,2,n)。若r n，等價方程組可改寫成,由此可見，任給xr+1，xr+2，xn的一組值，就可以確定x1，x2， ，xr的值，從而得到方程組的一個解。此時方程組有無窮多個解。其解的表達式為,上述表達式稱為方程組的通解， xr+1，xr+2，xn稱 為一組自由的未知量。,綜合以上的討論，得出如下的定理。,定理1.1 n元非齊次線性方程組Ax=b 有解的充分必要 條件是R(A) = R(A,b)。,定理1.2 n元非齊次線性方程組Ax=b 有無窮多解的充分必要條件是R(A) n。,推論1.1 n元非齊次線性方程組Ax=b 有惟一解的充分 必要條件是R(A) =n。,定理1.1主要用于判別方程組Ax=b 是否有解，而定理1.2則主要用于判別相容的線性方程組Ax=b 有多少解。特別當(dāng)b =0時，定理1.2仍然成立。成為判別齊次線性方程組Ax=0 有非零解的條件 。,定理1.3 n元齊次線性方程組Ax=0 有非零解的充分必要條件是R(A) n。,推論1.2 n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組Ax=0 僅有零解的充分必要條件是|A| 0 。,例3 試判明非齊次線性方程組,是否有解？,解 對方程組的增廣矩陣B施以初等行