1、第四章,振動與波動,一些振動現(xiàn)象,一些振動現(xiàn)象,一些振動現(xiàn)象,一些振動現(xiàn)象,演示程序,t,x,一些振動現(xiàn)象,4-1 簡諧運(yùn)動,振動的定義,機(jī)械振動 電磁振動 ,任一物理量(如位移、電 流等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化,紀(jì)念國際遠(yuǎn)程通訊展覽會在柏林舉行并紀(jì)念電視技術(shù)100周年,4-1 簡諧運(yùn)動,振動分類,3、受迫振動外界作用力下的振動,1、自由振動沒有能量的輸入與輸出,2、阻尼振動振幅減少的振動（介質(zhì)阻尼和輻射阻尼）,4、隨機(jī)振動用概率統(tǒng)計的方法研究,本章主要研究自由振動，而自由振動中最基本的振動是簡諧振動，它是其它一切振動的基礎(chǔ)。,本章主要研究自由振動，而自由振動中最基本的振動是簡諧振動，它是其它

2、一切振動的基礎(chǔ)。,4.1.1 簡諧運(yùn)動的描述,一. 簡諧振動的定義,二. 描述簡諧振動的特征量,1. 振幅 A物體離開平衡 位置的最大距離,2. 周期T 和圓頻率,T 2， = 1/T (Hz) = 2 (1/s),3. 相位,(1) 、( t + )是 t 時刻的相位,(2) 、 是t =0時刻的相位 初相,相位是確定物體振動狀態(tài)的物理量，不同的相反映不同的態(tài),旋轉(zhuǎn)矢量的長度,旋轉(zhuǎn)矢量與參考方向x 的夾角,旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的方向,旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的角速度,振動位相,振動圓頻率,振幅 A,逆時針,4.1.2簡諧振動與旋轉(zhuǎn)矢量,1、旋轉(zhuǎn)矢量的構(gòu)造,M,M 點(diǎn)在x 軸上投影 P點(diǎn) 的運(yùn)動規(guī)律,M,P,x,

3、M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,例1、(1) X0 -A； （2）在平衡位置向X軸正方向運(yùn)動； （3）在 X012 A 處向X軸負(fù)方

4、向運(yùn)動； （4）在 ,處向正 方向運(yùn)動。試用旋轉(zhuǎn)矢量 法確定相應(yīng)的相位。,解,（1）,X,o,X,（2）,例1、(1) X0 -A； （2）在平衡位置向X軸正方向運(yùn)動； （3）在 X012 A 處向X軸負(fù)方向運(yùn)動； （4）在 ,處向正 方向運(yùn)動。試用旋轉(zhuǎn)矢量法 確定相應(yīng)的相位。,稱振動 2 超前振動 1,振動1滯于后振動 2,0,二、位相差,旋轉(zhuǎn)矢量確定相位差,兩矢量之間的夾角,兩振動同步,1,2,0,二、位相差, = (2k+1) , ( k =0,1,2,),0,兩振動反相,速度也是簡諧振動,V比 x 領(lǐng)先/2,2.加速度,加速度也是簡諧振動與x反相,三.簡諧振動的速度、加速度,1.速度,

5、x,v,a-t曲線,例2. 一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t = 0時, 位移為6 cm，且向x 軸正方向運(yùn)動。求1、振動方程。2、t = 0.5 s時，質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。3、如果在某時刻質(zhì)點(diǎn)位于x = -6 cm，且向 x 軸負(fù)方向運(yùn)動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。,解：,(1)設(shè)簡諧振動表達(dá)式為,已知：A =12 cm , T = 2 s ，,初始條件：,t = 0 時， x0 = 0.06 m , v0 0,振動方程,初始條件：,t = 0 時， x0 = 0.06 m , v0 0,2、t = 0.5 s時，質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度,3、如果在某時刻質(zhì)點(diǎn)位

6、于x = -6 cm，且向 x 軸負(fù)方向運(yùn)動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。,(2) 設(shè)在某一時刻 t1 x = - 0.06 m,代入振動方程,設(shè)在某一時刻 t2 x = 0,旋轉(zhuǎn)矢量法確定時間,4.1.3 簡諧振動的動力學(xué)方程（特征）,一. 簡諧振動的動力學(xué)方程(以水平彈簧振子為例),1. 受力特點(diǎn): 線性恢復(fù)力 (F= -kx),2. 動力學(xué)方程,固有(圓)頻率,決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì),x(t)=Acos( t+),由初始條件求振幅和相位,x(t)=Acos( t+),4.1.4.簡諧振動的能量(以水平彈簧振子為例),1.簡諧振動系統(tǒng)的能量特點(diǎn),(1)動能,(2)勢能,(3) 機(jī)械能,

7、簡諧振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒,演示程序,簡諧振動的三種表示方法描述,解：, 例4 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程.,b,自然長度,mg,b,0,x,平衡位置,自然長度,自然 長度,b,平衡 位置,x,任意位置時小球所受到的合外力為：,可見小球作諧振動。由,得：,mg - kb = 0,mg,F,0,X,當(dāng),得,例5：,k=?,k2,(c),l,l2,1,k1,k1,(a),k2,F,k2,k1,(b),k=?,F,例5：,k=?,k1,(a),k2,F,(a),k2,k1,(b),k=?,F,

8、(b),結(jié)論,串聯(lián),并聯(lián),材料應(yīng)變,t = 0時,以及振動方程。,求：, 例 6 一諧振動的振動曲線如圖所示。,x,1.0,0,t,解：,t =1時,x,1.0,t,例 7：有一單擺，長為l=1.0m,小球質(zhì)量為m=10g,初始時該小球在擺角00.06rad處，以角速度 00.2rad/s 向平衡位置運(yùn)動。試求：（1）、圓頻率，頻率，周 期。 （2）、角振幅和初相。 （3）、寫出小球的振動方程。,mg,+,L,轉(zhuǎn),動,正,方,向,解：由轉(zhuǎn)動定律：,m,mg,+,L,轉(zhuǎn),動,正,方,向,拓展問題-復(fù)擺振動周期,同學(xué)們研究,例8. 質(zhì)量為m的比重計，放在密度為 的液體中。已知比重計圓管的直徑為d。

9、試證明，比重計推動后，在豎直方向的振動為簡諧振動。并計算周期。,解：,取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),平衡時：,浮力：,其中V 為比重計的排水體積,0,0,x,x,例 一臺鐘的等效擺長為 l =0.995m，擺錘可以上下移動以調(diào)節(jié)周期。該鐘每天快1分27秒，假設(shè)將此擺當(dāng)作質(zhì)量集中在擺錘中心的一個單擺來考慮，則應(yīng)將擺錘向下移動多少距離才能使鐘走得準(zhǔn)確？,解：,一天24小時擺動的次數(shù)為,由式（1）、（2）得,一天產(chǎn)生的總誤差,4-2-1 簡諧振動的合成,一. 兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成,1.分振動,x1=A1cos( t+ 1),2.合振動,x2=A2cos( t+ 2),x = x1+ x2,x =

10、A cos( t+ ),合振動是簡諧振動,3.兩種特殊情況,(1) 若兩分振動同相,則 A=A1+A2 , 兩分振動相互加強(qiáng),2.合振動,(k=0,1,2,),x =A cos( t+ ),合振動是簡諧振動,3.兩種特殊情況,2.合振動,(2) 若兩分振動反相,則A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱,(k=0,1,2,),如 A1=A2 , 則 A=0,旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動,x1=A1cos( t+ 1),x2=A2cos( t+ 2),二. 同方向N個同頻率的簡諧振動的合成,R,二. 同方向N個同頻率的簡諧振動的合成,例9 . 兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示) 1、求合振動的振幅。2、求

11、合振動的振動方程。,解：,同學(xué)們練習(xí),例10：三個同方向同頻率的諧振動,試用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動的方程,解：三個對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示,2.合振動,合振動不是簡諧振動,x = x1+ x2,三. 同方向不同頻率的簡諧振動的合成,1.分振動,x1=Acos 1 t x2=Acos 2t,當(dāng) 2 1時 2- 1 2+ 1,其中,隨緩變,隨快變,合振動可看作振幅緩變的簡諧振動,2.合振動,x = x1+ x2,合振動頻率,振幅部分,合振動可看作振幅緩變的簡諧振動,振幅,拍頻（振幅變化的頻率）,兩個同方向不同頻率簡諧運(yùn)動的合成(視頻),頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運(yùn)動的合成，其合振動的振幅時而

12、加強(qiáng)時而減弱的現(xiàn)象叫拍.,拍現(xiàn)象視頻,例11：第一音叉和第二音叉（f2=438Hz)的標(biāo)準(zhǔn)音叉同時振動，它們每秒產(chǎn)生2個拍頻 。當(dāng)?shù)谝粋€音叉的臂上涂了一層石臘時，拍頻減少。試問第一個音叉的頻率是多少？,解,四 垂直方向簡諧振動的合成*,x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2),合運(yùn)動一般是一個橢圓，橢圓的性質(zhì)在 A1 、A2確定之后, 主要決定于 = 2- 1,1、同頻率簡諧振動,合振動仍為諧振動，振幅為,x,0,合運(yùn)動一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范圍內(nèi)的一個橢圓,橢圓的性質(zhì) (方位、長短軸、左右旋 )在 A1 、A2確定之后, 主要決定于 = 2-

13、 1,用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動合成圖,2 、 兩相互垂直不同頻率的簡諧運(yùn)動的合成,測量振動頻率和相位,李 薩 如 圖,李 薩 如 圖演示,4-2-2 振動的分解*,一、 兩個頻率比為1:2的簡諧運(yùn)動的合成 的特點(diǎn),如果將一系列角頻率是某個基本角頻率（亦稱主頻）的整數(shù)倍的簡諧運(yùn)動疊加，則其合振動仍然是以為角頻率的周期性振動，但一般不再是簡諧運(yùn)動。,一個以為頻率的周期性函數(shù) f (t)，可以用傅里葉級數(shù)的余弦項(xiàng)表示為：,主頻,n 次諧頻,二、傅里葉級數(shù)展開,x,t,T,A,周期信號的頻譜-分立譜,鋸齒波頻譜,分立譜,一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動,四 傅里葉變換,矩形脈沖頻譜分析

14、,正弦脈沖串傅里葉變換演示程序,4-3 阻尼振動、受迫振動和共振*,4-3-1 阻尼振動,振動系統(tǒng)在回復(fù)力和阻力作用下發(fā)生的減幅振動,4-3-1 阻尼振動,振動系統(tǒng)在回復(fù)力和阻力作用下發(fā)生的減幅振動, ：阻尼系數(shù),4-3 阻尼振動、受迫振動和共振*,令,無阻尼時振子的固有頻率,阻尼因子,動力學(xué)方程,4-3-1阻尼振動,阻尼振動方程解討論,振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減幅越迅速。振動周期大于自由振動周期振幅,方程解,1.阻尼較小時,振動特點(diǎn),振動曲線,1.阻尼較小時,是質(zhì)點(diǎn)不作往復(fù)運(yùn)動的一個極限,從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復(fù)運(yùn)動。,阻尼振動方程解討論,2.阻尼較大時,3.臨界

15、阻尼時,a：小阻尼,b：過阻尼,c：臨界阻尼,處于臨界阻尼這種狀態(tài)物體從運(yùn)動到靜止所需的時間是最短的。在靈敏電流計等精密儀表中，為了使人們能較快地進(jìn)行讀數(shù)測量，常使電流計偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)下工作。,臨界阻尼的應(yīng)用,例 . 一物體懸掛在彈簧下作阻尼振動。開始時其振幅為120 mm，經(jīng)過2.4分鐘后，振幅減為60 mm。問：阻尼系數(shù)為多少？,解：,阻尼振動方程,4-3-2 受迫振動和共振*,4-3-2 受迫振動和共振*,系統(tǒng)在周期性的外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動。,1. 受迫振動,設(shè)：,令,方程的解,動力學(xué)方程,4-3-2 受迫振動和共振*,穩(wěn)定后的振動表達(dá)式,受迫振動的頻率與策動力的頻率相等

16、,受迫振動的振幅,受迫振動的初相位,結(jié)論：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅,初相位與外力頻率有關(guān),4-3-2 受迫振動和共振*,共振：當(dāng)策動力的頻率為某一特定值時，受迫振動的振幅將達(dá)到極大值的現(xiàn)象。,2. 共振,共振頻率,共振振幅,0為固有頻率,阻尼系數(shù) 越小，共振角頻率r 越接近于系統(tǒng)的固有頻率 O ，同時共振振幅Ar也越大。,共振振幅,共振頻率,受迫振動的特性曲線演示,1940年，Tacoma Narrows大橋在通車4個月零6天后因大風(fēng)引起扭轉(zhuǎn)振動，又因振動頻率接近于大橋的共振頻率而突然坍塌。,例 一物體放在水平平板上，此板沿水平方向作諧振動，2Hz,物體與板面間的摩擦系數(shù)0.50，問：（1）、要使物體在板上不滑動，振幅的最大值是多少？（2）、若使該板作豎直方向的諧振動，A5Cm,使物體與板保持接觸的最大頻率是多少