1、核電子學(xué)與核輻射儀器,覃國(guó)秀 Tel:核工系 2011/02/23,本堂課主要內(nèi)容：,信號(hào)與系統(tǒng)-傅里葉變換 1、傅里葉級(jí)數(shù) 2、典型周期信號(hào)的頻譜 3、傅里葉變換 4、典型非周期信號(hào)的頻譜 5、傅里葉變換性質(zhì) 6、周期信號(hào)的傅里葉變換 7、抽樣信號(hào)的頻譜,1、傅里葉級(jí)數(shù),在信號(hào)分析中，為了簡(jiǎn)化信號(hào)特征參數(shù)的提取，經(jīng)常將信號(hào)從時(shí)域表示轉(zhuǎn)移到某一變換域表示，即將信號(hào)進(jìn)行線(xiàn)性變換。 信號(hào)的基本表示方式是以時(shí)間為變量的連續(xù)函數(shù)表示法，在電子技術(shù)中，經(jīng)常用到的是連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換和拉普拉斯變換，以及離散時(shí)間信號(hào)的Z變換。拉普拉斯變換可以看做是傅里葉變換的推廣。而Z變換則

2、是傅里葉變換在離散時(shí)間序列中的普遍化。,時(shí)域與頻域,1、傅里葉級(jí)數(shù),三角形式的傅里葉級(jí)數(shù) 任一周期函數(shù)可用三角函數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)表示。,其中,角頻率：,1、傅里葉級(jí)數(shù),指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 任何一個(gè)周期函數(shù)可用指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)表示。,其中,2、典型周期信號(hào)的頻譜,周期矩形脈沖信號(hào),一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式,2、典型周期信號(hào)的頻譜,周期矩形脈沖信號(hào) 將周期脈沖信號(hào)展開(kāi)成三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，則,2、典型周期信號(hào)的頻譜,周期矩形脈沖信號(hào) 如將f(t)展開(kāi)成指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，則,歐拉公式的應(yīng)用,2、典型周期信號(hào)的頻譜,周期矩形脈沖信號(hào) 將所得到的傅里葉表達(dá)式中各分量的幅度和相位用垂直線(xiàn)段在頻率軸的相應(yīng)位置上標(biāo)示出來(lái)，

3、就是信號(hào)的頻譜圖。,幅度頻譜,相位頻譜,2、典型周期信號(hào)的頻譜,周期脈沖信號(hào)頻譜的特點(diǎn) 1.離散線(xiàn)狀頻譜； 2.譜線(xiàn)的幅度包絡(luò)線(xiàn)按抽樣函數(shù)的規(guī)律變化； 3.譜線(xiàn)幅度變化趨勢(shì)呈收斂狀。,頻譜,將下列信號(hào)在區(qū)間(，-)中展開(kāi)為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù),3、傅里葉變換,當(dāng)周期脈沖信號(hào)的重復(fù)周期T無(wú)限增大時(shí)，其結(jié)果將使周期信號(hào)轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)。若周期T趨于無(wú)限大，譜線(xiàn)的間隔趨于無(wú)限小。這時(shí)離散頻譜變成了連續(xù)頻譜。同時(shí)，由于周期趨于無(wú)限大，使得表示信號(hào)各頻率分量的譜線(xiàn)長(zhǎng)度An也趨向于0（無(wú)窮小）。 從物理概念上考慮，對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行某種形式的分解，其信號(hào)的總能量是不變的。如果將這無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小量相加，仍可等于

4、信號(hào)的能量。而且這些無(wú)窮小量并不是同樣大小的，它們的相對(duì)值之間仍有差別。為了表示這種振幅之間的相對(duì)差別，引入了頻譜密度函數(shù)。,3、傅里葉變換,對(duì)于指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，其復(fù)頻譜為,為了避免T時(shí)，An0，可對(duì)上式兩邊同時(shí)乘以T/2，則,頻譜密度函數(shù)：,（單位頻帶的頻譜值）,3、傅里葉變換,此時(shí)F()為f(t)的頻譜密度函數(shù)，一般為復(fù)函數(shù)。F()各頻率分量的幅度為|F()|d，|F()|稱(chēng)為振幅頻譜密度，()稱(chēng)為相位頻譜。必須注意，|F()|雖然以為變量，但它表示的是單位頻率(每赫茲)中的幅度。 通過(guò)傅氏變換，時(shí)間域里的信號(hào)f(t)變換為頻率域里的函數(shù)F()；通過(guò)反變換，頻域的F()變?yōu)闀r(shí)域的f(t)。

5、因此，信號(hào)通常有兩種表示方法：在時(shí)域里表示為f(t)，在頻域里則表示為F() 。,3、傅里葉變換,傅里葉變換與逆變換,4、典型非周期信號(hào)的頻譜,矩形脈沖信號(hào),4、典型非周期信號(hào)的頻譜,單邊指數(shù)函數(shù),4、典型非周期信號(hào)的頻譜,單位沖激函數(shù),單位沖激信號(hào)的頻譜在整個(gè)頻率范圍內(nèi)均勻分布，這種頻譜常被稱(chēng)為白色譜。,4、典型非周期信號(hào)的頻譜,單位階躍函數(shù),4、典型非周期信號(hào)的頻譜,直流信號(hào),求下列函數(shù)的傅里葉變換，并大致的畫(huà)出其頻譜圖。,5、傅里葉變換性質(zhì),線(xiàn)性 奇偶虛實(shí)性,5、傅里葉變換性質(zhì),時(shí)移特性,信號(hào)幅度頻譜是由信號(hào)波形形狀決定的，與信號(hào)在時(shí)間軸上出現(xiàn)的位置無(wú)關(guān)；而信號(hào)的相位頻譜則是信號(hào)波形形狀

6、和在時(shí)間軸上出現(xiàn)位置共同決定的。,5、傅里葉變換性質(zhì),頻移特性,5、傅里葉變換性質(zhì),尺度變換特性 對(duì)稱(chēng)特性,5、傅里葉變換性質(zhì),微分特性,5、傅里葉變換性質(zhì),積分特性 卷積特性,6、周期信號(hào)的傅里葉變換,正弦、余弦信號(hào)的傅里葉變換 直流信號(hào)的傅里葉變換為： 根據(jù)頻移特性得 的傅里葉變換為：,由上式及歐拉公式得,6、周期信號(hào)的傅里葉變換,周期信號(hào)的傅里葉變換 設(shè)周期為T(mén)的周期信號(hào)f(t)可用傅里葉級(jí)數(shù)表示為,將上式兩邊取傅里葉變換得,求周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。,7、抽樣信號(hào)的頻譜,在許多實(shí)際問(wèn)題中，需要將連續(xù)時(shí)間信號(hào)變換為離散信號(hào)。通常是從連續(xù)信號(hào)f(t)中抽取一系列的離散樣值，稱(chēng)為“抽樣信號(hào)”。,7、抽樣信號(hào)的頻譜,抽樣信號(hào)的頻譜,抽樣信號(hào)：,p(t)為周期序列，則由前面周期信號(hào)的傅里葉變換得,7、抽樣信號(hào)的頻譜,抽樣信號(hào)的頻譜 根據(jù)頻域卷積定理可知，抽樣信號(hào)的傅里葉變換為,函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積,由,得,7、抽樣信號(hào)的頻譜,矩形脈沖抽樣 沖激脈沖抽樣,總結(jié),傅里葉變