1、- 1 -,第三節(jié) 傅里葉級數(shù),三角函數(shù)系及其正交性 函數(shù)展開成傅立葉級數(shù) 一般周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù),- 2 -,一 三角函數(shù)系及其正交性,簡單的周期運動 :,(諧波函數(shù)),( A為振幅,復(fù)雜的周期運動 :,令,得函數(shù)項級數(shù),為角頻率,為初相 ),(諧波迭加),稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).,- 3 -,函數(shù)系,稱為三角函數(shù)系。,定義,設(shè)函數(shù)系,是一簇定義在,上的平方可積的函數(shù)，,如果滿足條件：,1),2),則稱函數(shù)系,是區(qū)間,上正交函,數(shù)系。,- 4 -,同理,由于,- 5 -,因此，,三角函數(shù)系是區(qū)間,上的正交函數(shù)系。,同理，,三角函數(shù)系是區(qū)間,上的正交函數(shù)系。,- 6 -,二 函數(shù)展開

2、成傅立葉級數(shù),1 傅立葉系數(shù),設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且,則由條件,對在,逐項積分,右端級數(shù)可逐項積分,- 7 -,(利用正交性),類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項積分可得,- 8 -,因此,葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為,的傅里葉系數(shù) ;,由公式 確定的,以,的傅里,的傅里葉級數(shù) .,稱為函數(shù),- 9 -,2 傅立葉級數(shù)的收斂性,定理 (收斂定理, 展開定理),設(shè) f (x) 是周期為2的,周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:,1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;,2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則 f (x) 的傅里

3、葉級數(shù)收斂 , 且有,x 為間斷點,其中,( 證明略 ),為 f (x) 的傅里葉系數(shù) .,x 為連續(xù)點,注意: 函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.,- 10 -,例1.,設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在,上的表達式為,解:,S (x)為f (x) 的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)，,求,的表達式,及,在,連續(xù)，,所以,在,連續(xù)，,所以,- 11 -,所以由周期性可知,- 12 -,3 函數(shù)展開成傅立葉級數(shù),例2.,上的表達式為,將 f (x) 展成傅里葉級數(shù).,解:,設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在,1) 以2為周期 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù),在,連續(xù)，

4、,因此其傅立葉級數(shù),收斂到,當(dāng),時，,收斂到,- 13 -,- 14 -,例3. 設(shè),解:,將函數(shù),且,展開成傅立葉級數(shù)。,- 15 -,利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.,當(dāng) x = 0 時, f (0) = 0 , 得,設(shè),- 16 -,已知,又,- 17 -,例4. 設(shè),的表達式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里葉級數(shù).,是周期為2 的周期函數(shù),它在,解:,在,連續(xù)，,因此其傅立葉級數(shù),收斂到,當(dāng),時，,收斂到,- 18 -,- 19 -,2) 定義在,上函數(shù)展開成傅立葉級數(shù),周期延拓,傅里葉展開,上的傅里葉級數(shù),其它,最后在,上討論級數(shù)的收斂性。,- 20 -,例5 將定義

5、在,上函數(shù),展開成傅里葉級數(shù)。,解,在,上滿足收斂定理的條件，,周期延拓，,延拓后的函數(shù)在,處不連續(xù)，,因此其傅立葉級數(shù),在,收斂到,在,上收斂到,并求級數(shù),的和。,- 21 -,令,- 22 -,例6 將定義在,上函數(shù),展開成傅里葉級數(shù)。,解,在,上滿足收斂定理的條件，,周期延拓，,延拓后的函數(shù)在,處不連續(xù)，,其傅立葉,級數(shù)在,收斂到,在,上收斂到,- 23 -,- 24 -,3) 定義在,上函數(shù)展開成正弦、余弦級數(shù),定理 對周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里葉級數(shù)為,周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù) ,它的傅里葉系數(shù)為,正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為,- 25

6、 -,周期延拓 F (x),f (x) 在 0 , 上展成,周期延拓 F (x),余弦級數(shù),奇延拓,偶延拓,正弦級數(shù),f (x) 在 0 , 上展成,- 26 -,例7 將定義在,展成余弦級數(shù),其中E 為正常數(shù) .,解:,上函數(shù),將函數(shù),先進行,偶延拓，,在進行周期延拓，,延拓后函數(shù)在,連續(xù)，,因此展開后的余弦級數(shù)收斂到,- 27 -,- 28 -,例8. 將函數(shù),分別展成正弦級,數(shù)與余弦級數(shù) .,解: 先求正弦級數(shù).,去掉端點, 將 f (x) 作奇周期延拓,注意:,在端點 x = 0, , 級數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù),f (x) = x + 1 的值不同 .,- 29 -,再求余弦級數(shù).,

7、將,則有,作偶周期延拓 ,- 30 -,說明: 令 x = 0 可得,即,- 31 -,三 一般周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù),設(shè)周期為2l 的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為,(在 f (x) 的連續(xù)點處),其中,定理.,- 32 -,證明: 令, 則,令,則,所以,且它滿足收斂,定理條件,將它展成傅里葉級數(shù):,( 在 F(z) 的連續(xù)點處 ),變成,是以 2 為周期的周期函數(shù) ,- 33 -,其中,令,( 在 f (x) 的 連續(xù)點處 ),證畢,- 34 -,說明:,其中,(在 f (x) 的連續(xù)點處),如果 f (x) 為偶函數(shù), 則有,(在 f (x) 的連續(xù)點處),其中,注: 無論哪種情況 ,在 f (x) 的間斷點 x 處, 傅里葉級數(shù),收斂于,如果 f (x) 為奇函數(shù), 則有,- 35 -,例9. 交流電壓,經(jīng)半波整流后負(fù)壓消,失,試求半波整流函數(shù)的,解: 這個半波整流函數(shù),它在,傅里葉級數(shù).,上的表達式為,的周期是,- 36 -,- 37 -,n 1 時,- 38 -,由于半波整流函數(shù) f ( t ),直流部分,說明:,交流部分,由收,斂定理可得,2 k 次諧波的振幅為,k 越大振幅越小,因此在實際應(yīng)用中展開式取前幾項就足以逼近f (x)了.,上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.,- 39 -,例10 將定義在,上函數(shù),展開成