1、北京市宣武區(qū)北京市宣武區(qū) 2009-2010 學年度第一學期期末質量檢測學年度第一學期期末質量檢測 高高 三三 數(shù)數(shù) 學（理科）學（理科） 2010.1 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共 8 頁.全卷滿分 150 分. 考試時間為 120 分鐘. 第第卷（選擇題卷（選擇題 共共 40 分）分） 一、選擇題（本大題共有一、選擇題（本大題共有 8 個小題，每小題個小題，每小題 5 分，共分，共 40 分；在每個小題給出的四個選項中，有且只分；在每個小題給出的四個選項中，有且只 有一個是符合題目要求的）有一個是符合題目要求的） 1.設集合，全集，則集合的元素個數(shù)有 （ 4, 3,

2、2, 1a5, 4, 3bbaubacu ） a 個1b個2c個 3d個 4 2. “”是“直線與直線互相垂直”的 （ 2a03: 2 1 yaxl14: 2 xyl ） 3.下列結論正確的是 ( ) 4.從 45 名男生和 15 名女生中按分層抽樣的方法，選出 8 人參加國慶活動.若此 8 人站在同一排，則 不同的排法種數(shù)為 （ ） a 2 15 6 45c c b 8 8 2 15 6 45 acc c 3 15 5 45c cd 8 8 3 15 5 45 acc 5.如圖，設是圖中邊長為 4 的正方形區(qū)域，是內函數(shù)圖象下方ded 2 xy 的點構成的區(qū)域向中隨機投一點，則該點落入中的概

3、率為 （ de ） a充分不必要條件b必要不充分條件 c充要條件d既不充分也不必要條件 a 使成立,rx012 2 xx b ，都有成立0 x2 lg 1 lg x x c函數(shù) 2 2 1 2 2 yx x 的最小值為2 d02x時，函數(shù) 1 x x 有最大值為y 2 3 a 5 1 b 4 1 c 3 1 d 2 1 12 題圖 6.設函數(shù)，其中，則導數(shù)的取值范圍是 14 2 cos 3 sin3 23 xxxxf 6 5 0， 1 f （ ） a 63，b 343，c 634，d 3434， 7. 如圖，正方體 1111 abcdabc d的棱長為，線段 11 b d上有一個點 e，且，則

4、四棱錐21 1 ed 的體積為 ( ) dbeda 1 8. 已知函數(shù)和都是定義在上的偶函數(shù)，當時，.則當)(xf2xfr2, 2x )(xgxf 時，的解析式為 （ ）24, 24nnxnz xf a )(xgb )2(nxgc )4(nxgd )4(nxg 第第卷卷 （非選擇題（非選擇題 共共 110 分）分） 二、填空題（本大題共二、填空題（本大題共 6 個小題，每小題個小題，每小題 5 分，共分，共 30 分；把答案填在相應的位置上）。分；把答案填在相應的位置上）。 9.已知的展開式中二項式系數(shù)之和為 16，則 ；設 為虛數(shù)單位，復數(shù)的 n x3ni n i1 運算結果為 . 10.

5、已知非零向量滿足：，且，則向量a與向量b的夾角= _ . ba,ba2bab 11.如果點 p 在不等式組 所確定的平面區(qū)域內,點 012 02 022 y yx yx q 在圓上，那么1)3(3 2 2 yx |pq|的最小值為_. 12.執(zhí)行如圖程序框圖，若輸出的值為y 11， 則輸入的值為_.x a 22b 2 c24 d 3 24 13 題圖 13.如圖,已知和所在平面互相垂直， abcbcd ， 0 90bcdabcaab bbc ，且，則三棱錐的ccd 1 222 cbabcda 外接球的表面積為 . 14.用三個字母組成一個長度為個字母的字符串，要求由開始，相鄰兩個字,1n*)(

6、nn 母不同. 例如時，排出的字符串可能是或；時排出的字符串可能是，1n2n， (如圖).若記這種個字符串中，排在最后一個的字母仍是的所有字符串的種數(shù)為，1n ， 可知，；則 _ ；數(shù)列的前項之和 . n a2, 0 21 aa 4 a n an2 n aaaa 2321 三、解答題（本大題共三、解答題（本大題共 6 個小題，共個小題，共 80 分；解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）分；解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 15.（本小題共 13 分） 已知三個內角, ,a b c的對邊分別為, ,a b c, ，且.abcbabsin230 acab （）求a的度數(shù)； （）若，求的

7、面積. 2 3 coscosbca6aabc 16. （本小題共 13 分） 如圖正三棱柱，,，若為棱中點. 111 cbaabc 2 1 aa2abnab （）求證：平面； 1 accnb1 （）求與平面所成的角正弦值. 11c acnb1 17. （本小題共 13 分） 某單位舉辦 2010 年上海世博會知識宣傳活動，進行現(xiàn)場抽獎盒中裝有 9 張大小相同的 精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案；抽獎規(guī)則是： 參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎卡 片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行 （i）活動開始后，一位參加者問

8、：盒中有幾張“海寶”卡？主持人答：我只知道，從盒中抽 取兩張都是“世博會會徽”卡的概率是，求抽獎者獲獎的概率； 18 5 （）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎，用表示獲獎的人數(shù)，求的分布列及的值,ed 18.（本小題共 13 分） 已知二次函數(shù)的圖像經過坐標原點，且滿足，設函數(shù))(xg12)() 1(xxgxg ,其中為非零常數(shù)) 1ln()()(xxmgxfm (i)求函數(shù)的解析式；)(xg (ii)當 時，判斷函數(shù)的單調性并且說明理由；02m)(xf (iii)證明：對任意的正整數(shù),不等式恒成立n 23 111 ln(1) nnn 19.（本小題共 14 分） 已知直線 ：與圓 c：相交于兩點l1

9、 kxy1)3()2( 22 yxba, （）求弦的中點的軌跡方程；abm （）若為坐標原點，表示的面積，求的最大o)(ksoab 1 3 )()( 2 2 k kskf)(kf 值. 20. （本小題共 14 分） 已知函數(shù)，為正整數(shù) 55 5 )( x xfm （）求和的值；)0() 1 (ff)1 ()(xfxf （）若數(shù)列的通項公式為（），求數(shù)列的前項和； n a)( m n fanmn, 2 , 1 n am m s （）設數(shù)列滿足：，設， n b 2 1 1 b nnn bbb 2 1 1 1 1 1 1 1 21 n n bbb t 若（）中的滿足對任意不小于 3 的正整數(shù) n，

10、恒成立，試求 m s57774 nm ts m 的最大值. 北京市宣武區(qū)北京市宣武區(qū) 20092010 學年度第一學期期末質量檢測學年度第一學期期末質量檢測 高三數(shù)學高三數(shù)學（理理）參考答案及評分標準參考答案及評分標準 2010.1 一、選擇題：本大題共有一、選擇題：本大題共有 8 個小題，每小題個小題，每小題 5 分，共分，共 40 分；在每個小題給出的四個選項中有且僅有分；在每個小題給出的四個選項中有且僅有 一個是符合題目要求的一個是符合題目要求的. 題號12345678 答案cadbcadc 二、填空題：本大題共有二、填空題：本大題共有 6 個小題，每小題個小題，每小題 5 分，共分，共

11、 30 分；請把答案寫在相應的位置上分；請把答案寫在相應的位置上. 題號91011121314 答案 4, 4 3 2 1225 , 6 3 142 n 三、解答題：本大題共有三、解答題：本大題共有 6 個小題，共個小題，共 80 分；解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟分；解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 15.（本小題滿分 13 分） 解：（），babsin323 由正弦定理知：,babsinsin32sin3 是三角形內角，b ,從而有， 0sinb 2 3 sina ，0 acab = .6 分a o 60 （）將()bac代入得： 2 3 coscosbca , 2 3 c

12、oscoscaca 利用兩角和與差的余弦公式展開得：； 4 3 sinsinca 2 1 sinc 相應的有：= , c o 30 的面積為.13 分abc36 16. （本題滿分 13 分） 證明：（）連結和交于點，連 1 bc 1 cboon 是正三棱柱， 111 cbaabc 為的中點.又為棱中點,o 1 bcnab 在中,又,平面, 1 abc 1 / acnocnb1平面no 1 ac cnb1 平面；6 1 accnb1 分 （）建如圖所示空間直角坐標系， ，0 , 0 , 0n 0 , 2, 1 1 b3, 0 , 0c ， 0 , 2, 1 1 a)3,2, 0( 1 c ，3

13、, 0 , 0nc 0 , 2, 1 1 nb 設平面的法向量為 n n，cnb1),(zyx ，即，令，得 n n， 0 0 1 nnb nnc 02 03 yx z 2y)0 ,2, 2( ，),3, 0 , 1 ( 11 ca 6 6 26 2 ,cos 11 11 11 can can can 與平面所成的角正弦值為.13 分 11c acnb1 6 6 17. （本題滿分 13 分） 解：（i）設“世博會會徽”卡有張，由，得，n 18 5 2 9 2 c cn 5n 故“海寶”卡有 4 張，抽獎者獲獎的概率為；6 分 6 1 2 9 2 4 c c （）的分布列為；) 6 1 , 4

14、(b)4 , 3 , 2 , 1 , 0() 6 5 () 6 1 ()( 4 4 kckp kkk 01234 p 40 0 4 ) 6 5 () 6 1 ( c 31 1 4 ) 6 5 () 6 1 ( c 22 2 4 ) 6 5 () 6 1 ( c 13 3 4 ) 6 5 () 6 1 ( c 04 4 4 ) 6 5 () 6 1 ( c ，13 分 3 2 6 1 4e 9 5 ) 6 1 1 ( 6 1 4d 18.（本題滿分 13 分） 解：（）設，的圖象經過坐標原點，所以 c=0.cbxaxxg 2 )()(xg 12)() 1(xxgxg12) 1() 1( 22 x

15、bxaxxbxa 即：1)2()2( 22 xbaxbaxbaax a=1,b=0, ；分 2 )(xxg （）函數(shù)的定義域) 1ln()( 2 xmxxf 為，1, 1 122 1 1 2)( 2 x mxmx x mxxf 令，122)( 2 mxmxxk1 2 ) 2 1 (2)( 2 m xmxk1 2 ) 2 1 ()( max m kxk ，在上恒成立，02m01 2 )( max m xk0122)( 2 mxmxxk1, 即，當時,函數(shù)在定義域上單調遞減分0)( xf02m( )f x1, （iii）當時，令 1m 2 ( )ln(1).f xxx 332 ( )( )ln(1

16、),h xxf xxxx 則在上恒正， 32 3(1) ( ) 1 xx h x x 0, 在上單調遞增，當時，恒有.，)(xh0,0,x( )(0)0h xh 即當時，有，0,x 32 ln(1)0,xxx 23 ln(1)xxx 對任意正整數(shù)，取得n 1 x n 23 111 ln(1) nnn 分 19.（本題滿分 1分） 解：（）直線 與軸的交點為 n（0，1），圓心 c（2，3），設 m（，），lyxy 與所在直線垂直，（，mnmc1 2 31 x y x y )20 xx且 當時不符合題意，當時，符合題意，0 x2x3y 中點的軌跡方程為：，.6ab0342 22 yxyx 4 7

17、7 4 77 x 分 （）設，),(),( 2211 yxbyxa ，且， onaonboab sss 1on 12 2 1 xxons oab 將代入方程得,1 kxy1)3()2( 22 yx07)1 (4)1 ( 22 xkxk ， 2 21 1 )1 (4 k k xx 2 21 1 7 k xx 4=， 21 2 21 2 12 2 4)(xxxxxxs oab 22 2 )1 ( 121232 k kk =，0 分 1 3 )()( 2 2 k kskf 22 ) 1( 8 k k 由，得,0 ) 1( ) 3 3 )( 3 3 (24 )( 32 k kk kf 3 3 k0 3 74 3 74 k 時，的最大值為.4 3 3 k)(kf 2 33 分 20. （本題滿分 1分） 解：（）=1； 51 5 55 5 )0() 1 ( ff =1；)1 ()(xfxf 55 5 55 5 1 xxx x x 555 55 55 5 分 （）由（）得 ,即) 11 ( 1)1 ()(mk m k f m k f ,