1、1,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗,擬 合,2,實驗?zāi)康?實驗內(nèi)容,2、掌握用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。,1、直觀了解擬合基本內(nèi)容。,1、擬合問題引例及基本理論。,4、實驗作業(yè)。,2、用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。,3、應(yīng)用實例,3,擬 合,2.擬合的基本原理,1. 擬合問題引例,4,擬 合 問 題 引 例 1,求600C時的電阻R。,設(shè) R=at+b a,b為待定系數(shù),5,擬 合 問 題 引 例 2,求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).,作半對數(shù)坐標(biāo)系(semilogy)下的圖形,MATLAB(aa1),6,曲 線 擬 合 問 題 的 提 法,已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個點（xi,yi) i=1,n, 尋

2、求一個函數(shù)（曲線）y=f(x), 使 f(x) 在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。,y=f(x),i 為點（xi,yi) 與曲線 y=f(x) 的距離,7,擬合與插值的關(guān)系,函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。,實例：下面數(shù)據(jù)是某次實驗所得，希望得到X和 f之間的關(guān)系？,MATLAB(cn),問題：給定一批數(shù)據(jù)點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面,解決方案：,若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。,若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點，

3、就是插值問題；,8,最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：,9,曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的基本思路,第一步:先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1） 其中 a1,a2, am 為待定系數(shù)。,第二步: 確定a1,a2, am 的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則）： 使n個點（xi,yi) 與曲線 y=f(x) 的距離i 的平方和最小 。,記,問題歸結(jié)為，求 a1,a2, am 使 J(a1,a2, am) 最小。,10,線性最小二乘法的求解：預(yù)備知識,超定方程組：方程個數(shù)大于未知量個數(shù)的方程

4、組,超定方程一般是不存在解的矛盾方程組。,如果有向量a使得 達(dá)到最小， 則稱a為上述超定方程的最小二乘解。,11,線性最小二乘法的求解,定理：當(dāng)RTR可逆時，超定方程組（3）存在最小二乘解，且即為方程組 RTRa=RTy 的解：a=(RTR)-1RTy,所以，曲線擬合的最小二乘法要解決的問題，實際上就是求以下超定方程組的最小二乘解的問題。,12,線性最小二乘擬合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中函數(shù)r1(x), rm(x)的選取,1. 通過機理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定 f(x)；,2. 將數(shù)據(jù) (xi,yi) i=1, n 作圖，通過直觀判斷確定 f(x)：,13,用MATLAB解

5、擬合問題,1、線性最小二乘擬合,2、非線性最小二乘擬合,14,用MATLAB作線性最小二乘擬合,1. 作多項式f(x)=a1xm+ +amx+am+1擬合,可利用已有程序:,a=polyfit(x,y,m),2. 對超定方程組,3.多項式在x處的值y可用以下命令計算： y=polyval（a，x）,15,例 對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項式擬合,16,1）輸入以下命令： x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; R=(x.2) x ones(11,1)； A=Ry,MATLAB(zxec1),解法1

6、用解超定方程的方法,2）計算結(jié)果： = -9.8108 20.1293 -0.0317,17,1）輸入以下命令： x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出數(shù)據(jù)點和擬合曲線的圖形,2）計算結(jié)果： = -9.8108 20.1293 -0.0317,解法2用多項式擬合的命令,MATLAB(zxec2),18,1. lsqcurvefit 已知數(shù)據(jù)點： xdata=（xdata1，xdat

7、a2，xdatan）， ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）,用MATLAB作非線性最小二乘擬合,Matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的,可參考例題.,lsqcurvefit用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù) F(x,xdata)=（F（x，xdata1），F(xiàn)（x，xdatan）T 中的參變量x(向量),使得,19,輸入格式為: (1) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata); (2) x

8、=lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options); (3) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options,grad); (4) x, options = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); (5) x, options,funval = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); (6) x, options,funval, Jacob = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,);,說明：x = lsqcurvefit (fun,x

9、0,xdata,ydata,options);,20,lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù) f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T 中的參量x，使得 最小。 其中 fi（x）=f（x，xdatai，ydatai） =F(x,xdatai)-ydatai,2. lsqnonlin,已知數(shù)據(jù)點： xdata=（xdata1，xdata2，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）,21,輸入格式為： 1） x=lsqnonlin（fun，x0）； 2） x= lsqnonlin （fun，x0，options）； 3） x= lsqnonli

10、n （fun，x0，options，grad）； 4） x，options= lsqnonlin （fun，x0，）； 5） x，options，funval= lsqnonlin （funx0，）；,說明：x= lsqnonlin （fun，x0，options）；,22,例2 用下面一組數(shù)據(jù)擬合 中的參數(shù)a，b，k,該問題即解最優(yōu)化問題：,23,MATLAB(fzxec1),1）編寫M-文件 curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=

11、k;,2）輸入命令 tdata=100:100:1000 cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39, 6.50,6.59; x0=0.2,0.05,0.05; x=lsqcurvefit (curvefun1,x0,tdata,cdata) f= curvefun1(x,tdata),F(x，tdata)= ，x=(a，b，k),解法1. 用命令lsqcurvefit,24,3）運算結(jié)果為： f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0.006

12、3 x = 0.0063 -0.0034 0.2542,4）結(jié)論：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.2542,25,MATLAB(fzxec2),解法 2 用命令lsqnonlin f(x)=F(x,tdata,ctada)= x=（a，b，k）,1）編寫M-文件 curvefun2.m function f=curvefun2(x) tdata=100:100:1000; cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90, 6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)- cdat

13、a,2）輸入命令: x0=0.2,0.05,0.05; x=lsqnonlin(curvefun2,x0) f= curvefun2(x),函數(shù)curvefun2的自變量是x，cdata和tdata是已知參數(shù)，故應(yīng)將cdata tdata的值寫在curvefun2.m中,26,3）運算結(jié)果為 f =1.0e-003 *(0.2322 -0.1243 -0.2495 -0.2413 -0.1668 -0.0724 0.0241 0.1159 0.2030 0.2792 x =0.0063 -0.0034 0.2542,可以看出,兩個命令的計算結(jié)果是相同的.,4）結(jié)論：即擬合得a=0.0063 b

14、=-0.0034 k=0.2542,27,MATLAB解應(yīng)用問題實例,1、電阻問題,2、給藥方案問題,*3、水塔流量估計問題,28,一室模型：將整個機體看作一個房室，稱中心室，室內(nèi)血藥濃度是均勻的?？焖凫o脈注射后，濃度立即上升；然后迅速下降。當(dāng)濃度太低時，達(dá)不到預(yù)期的治療效果；當(dāng)濃度太高，又可能導(dǎo)致藥物中毒或副作用太強。臨床上，每種藥物有一個最小有效濃度c1和一個最大有效濃度c2。設(shè)計給藥方案時，要使血藥濃度 保持在c1c2之間。本題設(shè)c1=10，c2=25(ug/ml).,一種新藥用于臨床之前，必須設(shè)計給藥方案.,藥物進(jìn)入機體后血液輸送到全身，在這個過程中不斷地被吸收、分布、代謝，最終排出體

15、外，藥物在血液中的濃度，即單位體積血液中的藥物含量，稱為血藥濃度。,29,要設(shè)計給藥方案,必須知道給藥后血藥濃度隨時間變化的規(guī)律。從實驗和理論兩方面著手：,給藥方案,1. 在快速靜脈注射的給藥方式下，研究血藥濃度（單位體積血液中的藥物含量）的變化規(guī)律。,t,問題,2. 給定藥物的最小有效濃度和最大治療濃度，設(shè)計給藥方案：每次注射劑量多大；間隔時間多長。,分析,理論：用一室模型研究血藥濃度變化規(guī)律,實驗：對血藥濃度數(shù)據(jù)作擬合，符合負(fù)指數(shù)變化規(guī)律,3.血液容積v, t=0注射劑量d, 血藥濃度立即為d/v.,2.藥物排除速率與血藥濃度成正比，比例系數(shù) k(0),模型假設(shè),1. 機體看作一個房室，室

16、內(nèi)血藥濃度均勻一室模型,模型建立,在此，d=300mg，t及c（t）在某些點處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v,用線性最小二乘擬合c(t),MATLAB(lihe1),計算結(jié)果：,用非線性最小二乘擬合c(t),給藥方案 設(shè)計,設(shè)每次注射劑量D, 間隔時間,血藥濃度c(t) 應(yīng)c1 c(t) c2,初次劑量D0 應(yīng)加大,給藥方案記為：,2、,1、,計算結(jié)果：,給藥方案：,c1=10,c2=25 k=0.2347 v=15.02,34,故可制定給藥方案：,即: 首次注射375mg， 其余每次注射225mg， 注射的間隔時間為4小時。,35,估計水塔的流量,2、解題思路,3、算法設(shè)計與編程,1、問

17、題,36,某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計水的流量，但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的供水量通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時. 水塔是一個高12.2米，直徑17.4米的正園柱按照設(shè)計，水塔水位降至約8.2米時，水泵自動啟動，水位升到約10.8米時水泵停止工作 表1 是某一天的水位測量記錄，試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量,37,38,流量估計的解題思路,擬合水位時間函數(shù),確定流量時間函數(shù),估計一天總用水量,39,擬合水位

18、時間函數(shù) 測量記錄看，一天有兩個供水時段（以下稱第1供水時段和第2供水時段），和3個水泵不工作時段（以下稱第1時段t=0到t=8.97，第2次時段t=10.95到t=20.84和第3時段t=23以后）對第1、2時段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項式擬合，得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，一般在36由于第3時段只有3個測量記錄，無法對這一時段的水位作出較好的擬合,40,2、確定流量時間函數(shù) 對于第1、2時段只需將水位函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即可，對于兩個供水時段的流量，則用供水時段前后（水泵不工作時段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時段流量外推，將第3時段流量包含在第2供水時段內(nèi),41,

19、3、一天總用水量的估計 總用水量等于兩個水泵不工作時段和兩個供水時段用水量之和，它們都可以由流量對時間的積分得到。,42,算法設(shè)計與編程,1、擬合第1、2時段的水位，并導(dǎo)出流量,2、擬合供水時段的流量,3、估計一天總用水量,4、流量及總用水量的檢驗,43,1、擬合第1時段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第1時段各時刻的流量可如下得： 1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多項式擬合第1時段水位，c1輸出3次多項式的系數(shù) 2）a1=polyder（c1）； % a1輸出多項式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）

20、tp1=0：0.1：9； x1=-polyval（a1，tp1）； % x1輸出多項式（系數(shù)為a1）在tp1點的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp1時刻的流量,MATLAB(llgj1),4）流量函數(shù)為：,44,2、擬合第2時段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第2時段各時刻的流量可如下得： 1） c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次多項式擬合第2時段水位，c2輸出3次多項式的系數(shù) 2） a2=polyder(c2)； % a2輸出多項式（系數(shù)為c2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp2=10.9:0.1:21;

21、 x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項式（系數(shù)為a2）在tp2點的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp2時刻的流量,MATLAB(llgj2),4）流量函數(shù)為：,45,3、擬合供水時段的流量 在第1供水時段（t=911）之前（即第1時段）和之后（即第2時段）各取幾點，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時段的流量為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們簡單地只取4個點，擬合3次多項式（即曲線必過這4個點），實現(xiàn)如下： xx1=-polyval（a1，8 9）； %取第1時段在t=8,9的流量 xx2=-polyval（a2，11 12）； %取第2時段在t=11,12的流量 x

22、x12=xx1 xx2； c12=polyfit（8 9 11 12，xx12，3）； %擬合3次多項式 tp12=9：0.1：11； x12=polyval（c12，tp12）； % x12輸出第1供水時段 各時刻的流量,MATLAB(llgj3),擬合的流量函數(shù)為：,46,在第2供水時段之前取t=20，20.8兩點的流水量，在該時刻之后（第3時段）僅有3個水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個數(shù)值擬合第2供水時段的流量如下： dt3=diff（t(22：24)）； %最后3個時刻的兩兩之差 dh3=diff（h(22：24)）； %最后3個水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3；

23、 %t(22)和t(23)的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23)； xx3=-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)； %取t3各時刻的流量 c3=polyfit（t3，xx3，3）； %擬合3次多項式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyval（c3，tp3）；% x3輸出第2供水時段 （外推至t=24）各時刻的流量,MATLAB(llgj4),擬合的流量函數(shù)為：,47,3、一天總用水量的估計 第1、2時段和第1、2供水時段流量的積分之和，就是一天總用水量雖然諸時段的流量已表為多項式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計算如下： y1=0.1*trap

24、z(x1)； %第1時段用水量（仍按高 度計），0.1為積分步長 y2=0.1*trapz(x2)； %第2時段用水量 y12=0.1*trapz(x12)； %第1供水時段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水時段用水量 y=（y1+y2+y12+y3）*237.8*0.01； %一天總用水量（ ） 計算結(jié)果：y1=146.2, y2=266.8, y12=47.4, y3=77.3，y=1250.4,MATLAB(llgjz),48,4、流量及總用水量的檢驗 計算出的各時刻的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗用水量y1可用第1時段水位測量記錄中下降高度968-822=146來檢驗，類似地，y2用1082-822=260檢驗 供水時段流量的一種檢驗方法如下：供水時段的用水量加上水位上升值260是該時段泵入的水量，除以時段長度得到水泵的功率（單位時間泵入的水量），而兩個供水時段水泵的功率應(yīng)大致相等第1、2