1、1,第四章 地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論,2,4.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系 地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)(或稱元素): 長半軸 短半軸 橢圓的扁率 橢圓的第一偏心率 橢圓的第二偏心率 通常用a ,3,為簡化書寫，還常引入以下符號(hào),橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系,4,4.2 橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 4.2.1 各種坐標(biāo)系的建立 1、大地坐標(biāo)系 大地經(jīng)度B 大地緯度L 大地高H,5,2、空間直角坐標(biāo)系 坐標(biāo)原點(diǎn)位于總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心；Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子

2、午面與赤道面的交點(diǎn)G；Y軸與此平面垂直，且指向東為正。 地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。,常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系,6,3、子午面直角坐標(biāo)系 設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L，在過P點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x, y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用L, x, y表示。,常用坐標(biāo)系及其關(guān)系,7,4、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系 設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點(diǎn)建立地心緯度坐標(biāo)系; 以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長與輔助圓相交點(diǎn)，則OP與x軸夾角稱為P點(diǎn)的歸化緯度u。,常用坐標(biāo)系及其關(guān)系,8,常用坐標(biāo)系及其關(guān)系,5、大地極坐標(biāo)系 M是橢球面上一點(diǎn)，M

3、N是過M的子午線，S為連接MP的大地線長，A為大地線在M點(diǎn)的方位角。 以M為極點(diǎn)； MN為極軸； P點(diǎn)極坐標(biāo)為（S, A),9,常用坐標(biāo)系及其關(guān)系,4.2.2 坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系 子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系,10,常用坐標(biāo)系及其關(guān)系,令: pn=N,11,常用坐標(biāo)系及其關(guān)系,空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,12,常用坐標(biāo)系及其關(guān)系,空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系,在橢球面上的點(diǎn)：,不在橢球面上的點(diǎn)：,13,常用坐標(biāo)系及其關(guān)系,由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo),14,B、u、 之間的關(guān)系 B和u之間的關(guān)系,常用坐標(biāo)系及其關(guān)系,15,常用坐標(biāo)系及其關(guān)系,U、之間的關(guān)系,、之間的關(guān)系,大地緯

4、度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)B=45時(shí),16,4.3 橢球面上的幾種曲率半徑 過橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作 法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。 子午圈曲率半徑,17,橢球面上幾種曲率半徑,18,橢球面上幾種曲率半徑,19,卯酉圈曲率半徑(N) 卯酉圈:過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。 麥尼爾定理: 假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角

5、的余弦。,橢球面上幾種曲率半徑,20,橢球面上幾種曲率半徑,21,卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn): 卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。,橢球面上幾種曲率半徑,22,主曲率半徑的計(jì)算 以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。,橢球面上幾種曲率半徑,23,橢球面上幾種曲率半徑,24,橢球面上幾種曲率半徑,25,26,任意法截弧的曲率半徑,橢球面上幾種曲率半徑,27,任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律: 不僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)，而且還與過該點(diǎn)的法截弧的方位角A有關(guān)。 當(dāng)時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午

6、圈曲率半徑的，即； 當(dāng)90時(shí)，為卯酉圈曲率半徑，即。主曲率半徑M及N分別是的極小值和極大值。 當(dāng)A由090時(shí)，之值由，當(dāng)A由 90180時(shí)，值由N，可見值的變化是以 90為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。,橢球面上幾種曲率半徑,28,平均曲率半徑 橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑 R 等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。,橢球面上幾種曲率半徑,29,M，N，R的關(guān)系,橢球面上幾種曲率半徑,30,對(duì)于克拉索夫斯基橢球,橢球面上幾種曲率半徑,31,4.4 橢球面上的弧長計(jì)算 子午線弧長計(jì)算公式,32,橢球面上的弧長計(jì)算,33,橢球面上幾種曲率半徑,34,如果以B90代入，則得子午橢

7、圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧長約為10 002 137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長約為40 008 549.995m。即一象限子午線弧長約為10 000km，地球周長約為40 000km。 為求子午線上兩個(gè)緯度B及間的弧長，只需按(11.42)式分別算出相應(yīng)的X及X，而后取差：，該即為所求的弧長。 當(dāng)弧長甚短(例如X40km，計(jì)算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午圈的曲率半徑M ,橢球面上的弧長計(jì)算,35,由子午弧長求大地緯度 迭代解法: 平行圈弧長公式,橢球面上的弧長計(jì)算,36,橢球面上的弧長計(jì)算,子午線弧長和平行圈弧長變化的比較,37,4.5 大地線 兩點(diǎn)

8、間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在球面上是兩點(diǎn)間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢? 它應(yīng)是大地線。 相對(duì)法截線,38,相對(duì)法截線,大地線,39,相對(duì)法截線的特點(diǎn): 當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，正反法截線則合二為一。 在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A，B，C三個(gè)點(diǎn)處所測得的角度(各點(diǎn)上正法截線之夾角)將不能構(gòu)成閉合三角形。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單一的大地線代替相對(duì)法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。,大地線,40,大地線,大地線的定義和性質(zhì),橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫大地線。,41,大地線的性質(zhì): 大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線

9、，而且位于相對(duì)法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角 在橢球面上進(jìn)行測量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。 長度差異可忽略,方向差異需改化。,大地線,42,大地線的微分方程和克萊勞方程,大地線的微分方程,43,大地線的微分方程,44,大地線的微分方程,大地線的克萊勞方程,在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù) ,45,當(dāng)大地線穿越赤道時(shí) 當(dāng)大地線達(dá)極小平行圈時(shí) 由克萊勞方程可以寫出,46,4.6 將地面觀測值歸算至橢球面 觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢

10、球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。 歸算的兩條基本要求： 以橢球面的法線為基準(zhǔn)； 將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。 將地面觀測的水平方向歸算至橢球面 將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為三差改正。 ,47,垂線偏差改正 以測站A為中心 作出單位半徑的 輔助球,u是垂線 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分別以,表示， M是地面觀測目標(biāo)m在球 面上的投影。垂線偏差對(duì)水平方向的影響是(R-R1),地面觀測值歸算至橢球面,48,標(biāo)高差改正,地面觀測值歸算至橢球面,49,截面差改正,地面觀測值歸算至橢球面,50

11、,將地面觀測的長度歸算至橢球面 基線尺量距的歸算 將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，可以認(rèn)為它是基線平均高程面上的長度，以表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長度S。 1.垂線偏差對(duì)長度歸算的影響,地面觀測值歸算至橢球面,51,2.高程對(duì)長度歸算的影響,地面觀測值歸算至橢球面,52,電磁波測距的歸算,地面觀測值歸算至橢球面,53,地面觀測值歸算至橢球面,54,大地測量主題解算,4.7.1 大地主題解算的一般說明 主題解算分為: 短距離(400km) 中距離(1000km) 長距離(1000km以上),55,1.以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，直接在地球橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算。 主

12、要特點(diǎn)：解算精度與距離有關(guān)，距離越長，收斂越慢，因此只適用于較短的距離 典型解法：高斯平均引數(shù)法,大地測量主題解算,56,2.以白塞爾大地投影為基礎(chǔ) 1)按橢球面上的已知值計(jì)算球面相應(yīng)值，即實(shí)現(xiàn)橢球面 向球面的過渡； 2)在球面上解算大地問題； 3)按球面上得到的數(shù)值計(jì)算橢球面上的相應(yīng)數(shù)值，即實(shí)現(xiàn)從圓球向橢球的過渡。 典型解法：白塞爾大地主題解算 特點(diǎn)：解算精度與距離長短無關(guān)，它既適用于短距離解算，也適用于長距離解算?？蛇m應(yīng)20 000km或更長的距離，這對(duì)于國際聯(lián)測，精密導(dǎo)航，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈發(fā)射等都具有重要意義。,大地測量主題解算,57,4.7.2 勒讓德級(jí)數(shù)式 為了計(jì)算 的級(jí)數(shù)展開式，關(guān)鍵問題是

13、推求各階導(dǎo)數(shù)。,大地測量主題解算,58,一階導(dǎo)數(shù)：,二階導(dǎo)數(shù)：,大地測量主題解算,59,三階導(dǎo)數(shù),大地測量主題解算,60,大地測量主題解算,61,大地測量主題解算,62,大地測量主題解算,63,4.7.3 高斯平均引數(shù)正算公式 高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)的基本思想： 首先把勒讓德級(jí)數(shù)在 P點(diǎn)展開改在大地線長度中點(diǎn)M展開，以使級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點(diǎn) M 的復(fù)雜性，將 M 點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的 m 點(diǎn)來代替，并借助迭代計(jì)算便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。,大地測量主題解算,64,(1)建立級(jí)數(shù)展開式:,大地測量主題解算,65,同理可得:,(2),大

14、地測量主題解算,66,大地測量主題解算,67,大地測量主題解算,(3)由大地線微分方程依次求偏導(dǎo)數(shù):,68,大地測量主題解算,69,大地測量主題解算,70,同理可得：,大地測量主題解算,71,注意： 從公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進(jìn)行公式的計(jì)算。 除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問題解算，其計(jì)算經(jīng)緯計(jì)算精度可達(dá)到0.0001”, 方位角計(jì)算精度可達(dá)到0.001”。,72,4.7.4 高斯平均引數(shù)反算公式 高斯平均引數(shù)反算公式可以依正算公式導(dǎo)出: 上述兩式的主式為:,73,74,已知： 求得：,75,4.7.5 白塞爾大地

15、主題解算方法,白塞爾法解算大地主題的基本思想: 以輔助球面為基礎(chǔ),將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔助球面的相應(yīng)三角形,由三角形對(duì)應(yīng)元素關(guān)系,將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進(jìn)行大地主題解算，最后再將球面上的計(jì)算結(jié)果換算到橢球面上。 這種方法的關(guān)鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應(yīng)元素之間的關(guān)系式,同時(shí)也要解決在球面上進(jìn)行大地主題解算的方法。,76,在球面上進(jìn)行大地主題解算 球面上大地主題正算: 已知 求解 球面上大地主題反算: 已知 求解,77,1、球面三角元素間的相互關(guān)系,78,球面上大地主題正解,79,球面上大地主題反解方法,80,2 、橢球面和球面上坐標(biāo)關(guān)

16、系式,81,在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:,82,白塞爾提出如下三個(gè)投影條件： 1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧 2.大地線和大圓弧上相應(yīng)點(diǎn)的方位角相等； 3.球面上任意一點(diǎn)緯度等于橢球面上相應(yīng)點(diǎn)的歸化緯度。,83,84,以上為白塞爾微分方程.,85,3 、白塞爾微分方程的積分,86,87,積分得到下式：,88,反算: 正算: 迭代法: 直接法:,89,適合于反算: 適合于正算: 迭代法: 直接法:,90,91,將三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)用倍角函數(shù)代替，合并同類項(xiàng)，積分。截去4倍角項(xiàng)，其值小于0.0001秒。,92,正算： 反算：,93,4 白塞爾法大地主題正算步驟,1.計(jì)算起點(diǎn)的歸化緯

17、度 2.計(jì)算輔助函數(shù)值，解球面三角形可得: 3. 按公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)A,B,C以及,94,4.計(jì)算球面長度 迭代法: 直接法:,95,5.計(jì)算經(jīng)度差改正數(shù) 6.計(jì)算終點(diǎn)大地坐標(biāo)及大地方位角,96,97,5 白塞爾法大地主題反算步驟,1.輔助計(jì)算,98,2.用逐次趨近法同時(shí)計(jì)算起點(diǎn)大地方位角、球面長度及經(jīng)差 ，第一次趨近時(shí)，取。,99,計(jì)算下式,重復(fù)上述計(jì)算過程2. 3. 計(jì)算大地線長度S 4. 計(jì)算反方位角,100,101,102,4.8 地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念,1、地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程,所謂地圖數(shù)學(xué)投影，簡略地說來就是將橢球面上元素(包括坐標(biāo)，方位和距離)按一定的數(shù)學(xué)法則投影

18、到平面上，研究這個(gè)問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。,投影變換的基本概念,103,2 、地圖投影的變形 1.長度比 : 長度比m就是投影面上一段無限小的微分線段ds，與橢球面上相應(yīng)的微分線段dS二者之比。 不同點(diǎn)上的長度比不相同，而且同一點(diǎn)上不同方向的長度比也不相同,投影變換的基本概念,104,2.主方向和變形橢圓 投影后一點(diǎn)的長度比依方向不同而變化。其中最大及最小長度比的方向，稱為主方向。 在橢球面的任意點(diǎn)上，必定有一對(duì)相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。這兩個(gè)方向就是長度比的極值方向，也就是主方向。,投影變換的基本概念,105,投影變換的基本概念,以定點(diǎn)為中心，以長度比的數(shù)值為向徑

19、，構(gòu)成以兩個(gè)長度比的極值為長、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。,106,3.投影變形 1）長度變形,投影變換的基本概念,107,2）方向變形,投影變換的基本概念,108,3）角度變形： 角度變形就是投影前的角度u 與投影后對(duì)應(yīng)角度u之差,投影變換的基本概念,109,4）面積變形：P-1 4.8.3 地圖投影的分類 1.按變形性質(zhì)分類 1）等角投影：投影前后的角度不變形，投影的長度比與方向無關(guān)，即某點(diǎn)的長度比是一個(gè)常數(shù)，又把等角投影稱為正形投影。 2）等積投影：投影前后的面積不變形. 3）任意投影：既不等角，又不等積.,投影變換的基本概念,110,2.按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類 1）方位投影 取一平面與橢

20、球極點(diǎn)相切， 將極點(diǎn)附近區(qū)域投影在該 平面上。緯線投影后為以 極點(diǎn)為圓心的同心圓，而 經(jīng)線則為它的向徑，且經(jīng) 線交角不變。,Light Source,投影變換的基本概念,111,2）圓錐投影: 取一圓錐面與橢球某條緯線相切，將緯圈附近的區(qū)域投影于圓錐面上，再將圓錐面沿某條經(jīng)線剪開成平面。,投影變換的基本概念,112,3）圓柱(或橢圓柱)投影 取圓柱(或橢圓柱)與橢球赤道相切，將赤道附近區(qū)域投影到圓柱面(或橢圓柱面)上，然后將圓柱或橢圓柱展開成平面。,投影變換的基本概念,113,3.按投影面和原面的相對(duì)位置關(guān)系分類 1)正軸投影：圓錐軸(圓柱軸)與地球自轉(zhuǎn)軸相重合的投影，稱正軸圓錐投影或正軸圓柱

21、投影。 2)斜軸投影：投影面與原面相切于除極點(diǎn)和赤道以外的某一位置所得的投影。 3)橫軸投影：投影面的軸線與地球自轉(zhuǎn)軸相垂直，且與某一條經(jīng)線相切所得的投影。比如橫軸橢圓柱投影等。 除此之外，投影面還可以與地球橢球相割于兩條標(biāo)準(zhǔn)線，這就是所謂割圓錐，割圓柱投影等。,投影變換的基本概念,114,4.9 高斯平面直角坐標(biāo)系 1、 高斯投影概述 控制測量對(duì)地圖投影的要求 （1）采用等角投影(又稱為正形投影) （2）長度和面積變形不大 （3）能按高精度的、簡單的、同樣的計(jì)算公式把各區(qū)域聯(lián)成整體 高斯投影描述,高斯平面直角坐標(biāo)系,115,高斯平面直角坐標(biāo)系,想象有一個(gè)橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一

22、條子午線(此子午線稱為中央子午線或軸子午線)相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面 。,116,投影帶：以中央子午線為軸，兩邊對(duì)稱劃出一定區(qū)域作為投影范圍； 1）分帶原則 （1）限制長度變形使其不大于測圖誤差； （2）帶數(shù)不應(yīng)過多以減少換帶計(jì)算工作。,我國規(guī)定按經(jīng)差6和3進(jìn)行投影分帶。,高斯平面直角坐標(biāo)系,2）分帶方法,117,高斯平面直角坐標(biāo)系,6帶: 自0子午線起每隔經(jīng)差6自西向東分帶，依次編號(hào)1，2，3，60。我國6帶中央子午線的經(jīng)度，由73起每隔6而至135，共計(jì)11帶，帶號(hào)用n表示，中

23、央子午線的經(jīng)度用表示。 帶號(hào)及中央子午線經(jīng)度的關(guān)系： ,3帶: 自東經(jīng)1.5子午線起，每隔3設(shè)立一個(gè)投影帶， 依次編號(hào)為1，2，3， ， 120帶；中央子午線經(jīng)度依次為3, 6, 9, , 360。,帶號(hào)及中央子午線經(jīng)度的關(guān)系：,118,.5帶或任意帶: 工程測量控制網(wǎng)也可采用.5帶或任意帶，但為了測量成果的通用，需同國家6或3帶相聯(lián)系。,n=L/3(四舍五入) 3,高斯平面直角坐標(biāo)系,119,高斯平面直角坐標(biāo)系,例：某控制點(diǎn) P 點(diǎn),按3帶：,按6帶：,120,在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為

24、橫坐標(biāo)軸。,高斯平面直角坐標(biāo)系,121,6帶與3帶的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別 6帶：從 0子午線起劃分，帶寬6 ，用于中小比例尺（1：25000以下）測圖； 3帶：從 1.5子午線起劃分，帶寬3，用于大比例尺（如1：10000）測圖。 3帶是在6帶的基礎(chǔ)上劃分的，6帶的中央子午線及分帶子午線均作為3帶的中央子午線，其奇數(shù)帶的中央子午線與6帶中央子午線重合，偶數(shù)帶與分帶子午線重合。,高斯平面直角坐標(biāo)系,122,高斯平面直角坐標(biāo)系,國家統(tǒng)一坐標(biāo),在我國x坐標(biāo)都是正的，y坐標(biāo)的最大值(在赤道上)約為330km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，規(guī)定在橫坐標(biāo)上加上500 000m。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)。這種坐標(biāo)稱

25、為國家統(tǒng)一坐標(biāo)。,例如： Y=19 123 456.789m 該點(diǎn)位在19帶內(nèi)，橫坐標(biāo)的真值：首先去掉帶號(hào)，再減去 500 000m，最后得 y = -376 543.211(m)。,123,高斯平面直角坐標(biāo)系,分帶存在的問題？邊界子午線兩側(cè)的控制點(diǎn)與地形圖位于不同的投影帶內(nèi)，使得地形圖不能正確拼接，采用帶重疊的方法解決此問題。,124,高斯投影特點(diǎn)： 正形投影，保證了投影的角度的不變性，圖形的相似性以及在某點(diǎn)各方向上的長度比的同一性。 由于采用了同樣法則的分帶投影，這既限制了長度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡便公式和數(shù)表進(jìn)行由于變形引起的各項(xiàng)改正的計(jì)算，并且?guī)c帶間的互相換算也能用

26、相同的公式和方法進(jìn)行。,高斯平面直角坐標(biāo)系,125,2、橢球面元素化算到高斯投影面,126,3) 將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。這是通過計(jì)算方向的曲率改化即方向改化來實(shí)現(xiàn)的。,橢球面三角系歸算到高斯投影面的計(jì)算,1）將起始點(diǎn)P的大地坐標(biāo)(L，B)歸算為高斯平面直角坐標(biāo) x,y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù) x,y反算B，L，這項(xiàng)工作統(tǒng)稱為高斯投影坐標(biāo)計(jì)算。 2）將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊PK的坐標(biāo)方位角，這是通過計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改化實(shí)現(xiàn)的。,127,因此將橢球面三角系歸算到平面上，包括坐標(biāo)、曲率改化、距離改化和子午線收斂

27、角等項(xiàng)計(jì)算工作。,當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫?，以及為將各投影帶?lián)成統(tǒng)一的整體，還需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。,4) 將橢球面上起算邊PK的長度S歸算到高斯平面上的直線長度s。這是通過計(jì)算距離改化實(shí)現(xiàn)的。,128,正形投影的一般條件,4.9.2 正形投影的一般條件 1、長度比的通用公式,129,正形投影的一般條件,130,正形投影的一般條件,將上述兩式代入（4-334）式，整理，令,131,正形投影的一般條件,132,正形投影的一般條件,2、柯西.黎曼條件,133,正形投影的一般條件,正形條件m與A無關(guān)，即滿足：,134,正形投影的一般條件,則有：,柯西-黎曼條件,135,正形投影的一般條件,考

28、慮到F=0，E=G，長度比公式簡化為,136,把 代入（4-347），考慮下式,正形投影的一般條件,137,柯西-黎曼條件的另一種解釋方法,正形投影的一般條件,138,正形投影的一般條件,如果點(diǎn)在子午線上：L=常數(shù)，dl=0,如果點(diǎn)在平行圈上：B=常數(shù) dB=0,139,正形投影的一般條件,三角形ABB與ACC相似,140,高斯投影坐標(biāo)正算,4.9.3 高斯投影坐標(biāo)正反算公式,1、高斯投影坐標(biāo)正算公式 高斯投影必須滿足以下三個(gè)條件： (1)中央子午線投影后為直線； (2)中央子午線投影后長度不變； (3)投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。,高斯投影坐標(biāo)正算公式推導(dǎo)如下：,141,高斯投影坐標(biāo)正

29、算,1) 由第一個(gè)條件可知，由于地球橢球體是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體，即中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對(duì)稱于中央子午線。 x為l的偶函數(shù)，而y則為l的奇函數(shù)。,2) 由第三個(gè)條件正形投影條件,142,由恒等式兩邊對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，建立求解待定系數(shù)的遞推公式,高斯投影坐標(biāo)正算,143,高斯投影坐標(biāo)正算,m0=? ) 由第二條件可知，位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo) x 應(yīng)該等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午弧長。,即當(dāng) l=0 時(shí),144,高斯投影坐標(biāo)正算,145,高斯投影坐標(biāo)正算,將各系數(shù)代入，略去高次項(xiàng)，精度為0.001m,146,高斯投影坐標(biāo)反算,2、高斯投影坐標(biāo)反算公式 在高斯投影坐標(biāo)反算時(shí)，原面是高斯

30、平面，投影面是橢球面，已知的是平面坐標(biāo) (x, y)，要求的是大地坐標(biāo) (B，L)，相應(yīng)地有如下投影方程：,同正算一樣，對(duì)投影函數(shù)提出三個(gè)條件。,147,高斯投影坐標(biāo)反算,1) 由第一個(gè)條件可知,2) 由第三個(gè)條件，正形條件,148,高斯投影坐標(biāo)反算,149,高斯投影坐標(biāo)反算,3) 由第二條件,依次求各系數(shù),因?yàn)?所以,150,高斯投影坐標(biāo)反算,151,高斯投影坐標(biāo)反算,152,高斯投影幾何解釋,3、高斯投影正反算公式的幾何解釋,153,高斯投影幾何解釋,154,高斯投影的特點(diǎn),高斯投影的特點(diǎn) (1)當(dāng)l等于常數(shù)時(shí)，隨著B的增加x值增大，y值減?。粺o論B值為正或負(fù)，y值不變。這就是說，橢球面上

31、除中央子午線外，其他子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時(shí)還對(duì)稱于中央子午線和赤道。,155,高斯投影的特點(diǎn),(2)當(dāng)B等于常數(shù)時(shí)，隨著l的增加，x值和y值都增大。所以在橢球面上對(duì)稱于赤道的緯圈，投影后仍成為對(duì)稱的曲線，同時(shí)與子午線的投影曲線互相垂直凹向兩極。 (3)距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，長度變形也愈大。,156,4.9.4高斯投影坐標(biāo)計(jì)算算例,1) WGS84 (6378137 , 298.257223563) A001 2463376.6502 49592.0721 2) GDZ80 (6378140,298.257) A001 2463377.7973

32、 49592.0955 3) BJ54 (6378245,298.3) A001 2463420.5657 49592.9084,A001：,157,平面子午線收斂角,4.9.5 平面子午線收斂角公式 1、平面子午線收斂角的定義,158,2、公式推導(dǎo) 1）由大地坐標(biāo)L、B計(jì)算平面子午線收斂角的公式,平面子午線收斂角,159,(1)為l的奇函數(shù)，而且l愈大，也愈大； (2)有正負(fù)，當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以東時(shí)，為正；在西時(shí)，為負(fù)； (3)當(dāng)l不變時(shí)，則隨緯度增加而增大,平面子午線收斂角,160,平面子午線收斂角,2.平面坐標(biāo) x, y 計(jì)算平面子午線收斂角的公式,161,方向改化公式,4.9.6

33、方向改化公式,162,方向改化公式,1、方向改化近似公式的推導(dǎo) 在球面上四邊形ABED的內(nèi)角之和等于360+ 由于是等角投影，所以這兩個(gè)四邊形內(nèi)角之和應(yīng)該相等，即,163,方向改化公式,164,方向改化較精密公式,方向改化公式,165,方向改化公式,166,4.9.7 距離改化公式,167,1) s與D的關(guān)系,168,當(dāng)取最大40，s=50km時(shí)，代入上式得。因此，用D代替s在最不利情況下，誤差也不會(huì)超過1mm。而實(shí)際上，邊長要比50km短得多，此時(shí)誤差將會(huì)更小。所以在應(yīng)用上，完全可以認(rèn)為大地線的平面投影曲線的長度s等于其弦線長度D,169,2、長度比和長度變形,1）用大地坐標(biāo) (B , l)

34、 表示的長度比m的公式,170,2）用平面坐標(biāo) (x , y)表示的長度比m的公式,171,(1)長度比m只與點(diǎn)的位置 (B，l)或 (x ,y) 有關(guān)。 (2)中央子午線投影后長度不變。 (3)當(dāng)y0(或l)時(shí)， m恒大于1。 (4)長度變形(m-1)與y（或l）成比例地增大 ,而對(duì)某一條子午線來說，在赤道處有最大的變形 。,172,3、距離改化公式 將橢球面上大地線長度S描寫在高斯投影面上，變?yōu)槠矫骈L度D。,173,4.9.8 高斯投影的鄰帶坐標(biāo)換算 (1)位于兩個(gè)相鄰帶邊緣地區(qū)并跨越兩個(gè)投影帶(東、西帶)的控制網(wǎng),174,鄰帶換算方法：,(2)在分界子午線附近地區(qū)測圖時(shí)，往往需要用到另一

35、帶的三角點(diǎn)作為控制，因此必須將這些點(diǎn)的坐標(biāo)換算到同一帶中 (3)當(dāng)大比例尺(110 000或更大)測圖時(shí)，特別是在工程測量中，要求采用3帶、1.5帶或任意帶，而國家控制點(diǎn)通常只有6帶坐標(biāo)，這時(shí)就產(chǎn)生了6帶同3帶(或1.5帶、任意帶)之間的相互坐標(biāo)換算問題。,175,4.10 橫軸墨卡托投影和高斯投影簇的概念 4.10.1通用橫軸墨卡托投影概念 UTM (Universal Transverse Mercator Projection)投影屬于橫軸等角割橢圓柱投影 ,它的投影條件是取第3個(gè)條件“中央經(jīng)線投影長度比不等于1而是等于0.9996”，投影后兩條割線上沒有變形，它的平面直角系與高斯投影相同，且和高斯投影坐標(biāo)有一個(gè)簡單的比例關(guān)系，因而有的文獻(xiàn)上也稱它為m00.9996的高斯投影。,176,177,基本公式如下：,178,UTM投影變形的特點(diǎn)： UTM投影的中央經(jīng)線長度比為0.999 6，這是為了使得，處的最大變形值小于0.001而選擇的數(shù)值。兩條割線(在赤道上，它們位于離中央子午線大約(約)處)上沒有長度變形；離開這兩條割線愈遠(yuǎn)變形愈大；在兩條割線以內(nèi)長度變形為負(fù)值；在兩條割線之外長度變形為正值。 UTM投影帶的劃分： UTM投影的分帶是將全球劃分為60個(gè)投影帶，帶號(hào)1，2，3，60連續(xù)編號(hào)，每帶經(jīng)差為，從經(jīng)度180和17之間為起始帶(1帶)，連續(xù)向東編號(hào)。,17