1、第一章三角形的證明1. 等腰三角形（二）一、學生知識狀況分析在八年級上冊第七章 平行線的證明，學生已經感受了證明的必要性， 并通過平行線有關命題的證明過程，習得了一些基本的證明方法和基本規(guī)范，積累了一定的證明經驗；在七年級下，學生也已經探索得到了有關三角形全等和等腰三角形的有關命題；而前一課時，學生剛剛證明了等腰三角形的性質，這為本課時拓展等腰三角形的性質、研究等要三角形的判定定理都做了很好的鋪墊。二、教學任務分析本節(jié)將利用前一課時所證明的等腰三角形的性質定理，進一步研究等腰三角形的一些特殊性質，探索等邊三角形的性質。為此，確定本節(jié)課的教學目標如下：1知識目標：探索發(fā)現猜想證明等腰三角形中相等

2、的線段，進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性；2能力目標：經歷“探索發(fā)現猜想證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；在命題的變式中，發(fā)展學生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學生的學習能力和思維能力，提高學生學習的主體性；在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質：對稱性，發(fā)展學生的幾何直覺；3情感與價值觀要求鼓勵學生積極參與數學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲體驗數學活動中的探索與創(chuàng)造，感受數學的嚴謹性4教學重、難點重點：經歷“探索發(fā)現一一猜想證明”的過程，能夠用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的一些結論三、教學過程

3、分析本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課；第二環(huán)節(jié)：自主探究；第三環(huán)節(jié)：經典例題變式練習；第四環(huán)節(jié)：拓展延伸、探索等邊三角形性質；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習及時鞏固；第六環(huán)節(jié)：探討收獲課時小結。第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課活動內容： 在回憶上節(jié)課等腰三角形性質的基礎上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段 ( 如角平分線、中線、高等 ) ，你能發(fā)現其中一些相等的線段嗎 ?你能證明你的結論嗎 ?活動目的： 回顧性質，既為后續(xù)研究判定提供了基礎；同時，直接提出新的問題，過渡自然，引入本課研究內容，而新的問題是原有性質的一個自然拓廣，有助于提高學生提出問題的能力。第二環(huán)節(jié)：自主探究活動內容

4、： 在等腰三角形中自主作出一些線段 ( 如角平分線、中線、高等 ) ，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明?；顒幽康模?讓學生再次經歷“探索發(fā)現猜想證明”的過程，進一步體會證明的必要性，并進行證明，從中進一步體會證明過程，感受證明方法的多樣性。活動效果與注意事項： 活動中，教師應注意給予適度的引導，如可以漸次提出問題：你可能得到哪些相等的線段？你如何驗證你的猜測？你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程；還可以有哪些證明方法？通過學生的自主探究和同伴的交流，學生一般都能在直觀猜測、測量驗證的基礎上探究出：等腰三角形兩個底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；a等腰三角形腰上的

5、中線相等并對這些命題給予多樣的證明。e如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等” ，學生得到了下面的證明方法：已知：如圖，在 abc中， ab=ac，bd、ce是 abc的角平分線31求證： bd=cebd42c證法 1： ab=ac， abc=acb(等邊對等角 ) 11 1=2 abc，2=2 abc， 1=2在 bdc和 ceb中，acb=abc， bc=cb， 1=2 bdc ceb(asa)bd=ce(全等三角形的對應邊相等)證法 2：證明： ab=ac， abc=acb又 3=4在 abc和 ace中，3=4， ab=ac， a=a abd ace(asa)bd=ce(全等三角形的對應

6、邊相等) 在證明過程中，學生思路一般還較為清楚，但畢竟嚴格證明表述經驗尚顯不足，因此，教學中教師應注意對證明規(guī)范提出一定的要求，因此，注意請學生板書其中部分證明過程，借助課件展示部分證明過程；可能部分學生還有一些困難，注意對有困難的學生給予幫助和指導。第三環(huán)節(jié)：經典例題變式練習活動內容 ：提請學生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？并在學生思考的基礎上，研究課本“議一議”：在課本圖 1 4 的等腰三角形 abc中，11(1) 如果 abd= abc， ace= acb呢?由此，你能得到一個什么結論34?11(2) 如果 ad= ac，ae= ab，那么2211bd

7、=ce嗎 ?如果 ad= ac，ae= ab 呢?由此你得到什么33結論 ?活動目的： 提高學生變式能力、問題拓廣能力，發(fā)展學生學習的自主性。活動注意事項與效果 ：教學中應注意對學生的引導，因為學生先前這樣的經驗 比較少，可能學生一時不知如何研究問題，教師可以引導學生思考：把底角二等份的線段相等如果是三等份、四等份結果如何呢 ?從而引出“議一議” 。由于課堂時間有限，如果學生全部解決上述問題，時間不夠，可以在引導學生提出上述這些問 題的基礎上，讓學生證明其中部分問題，而將其余問題作為課外作業(yè)，延伸到課外；當然，也可以對不同的學生提出不同的要求，如普通學生僅僅證明其中部分問題，而要求部分學優(yōu)生解

8、決所有的問題，甚至要求這部分學優(yōu)生思考“還可以提出哪些類似問題，你是如何想到這些問題的” 。在學生解決問題的基礎上，教師還應注意揭示蘊含其中的思想方法。下面是學生的課堂表現：1 生 在等腰三角形 abc中，如果 abd= abc，那么 bd=ce這和證明等腰三角形兩底 3角的角平分線相等類似證明如下：ab=ac， abc= acb(等邊對等角 ) 11又 abd= abc, ace= acb,33 abd= ace在 bdc和 ceb中， abd= ace，bc=cb， acb=abc, bdc ceb(asa)bd=ce(全等三角形的對應邊相等)11 生 如果在 abc中， ab=ac, a

9、bd= abc， ace=acb，那么 bd=ce也是成立44的因為 ab=ac，所以 abc= acb，利用等量代換便可得到 abd=ace， bdc與 ceb全等的條件就能滿足，也就能得到 bd=ce由此我們可以發(fā)現：在 abc中， ab=ac， abd=11nabc， ace= acb，就一定有 bd=ce成立n 生 也可以更直接地說：在 abc中， ab=ac， abd=ace，那么 bd=ce 師 這兩位同學都由特殊結論猜想出了一般結論請同學們把一般結論的證明過程完整地書寫出來 ( 教師可巡視指導 ) 下面我們來討論第 (2)問，請小組代表發(fā)言1111 生 在 abc中，ab=ac，

10、如果 ad=ac，ae= ab，那么 bd=ce；如果 ad=ac，ae= ab，2233那么 bd=ce由此我們得到了一個更一般的結論：在11abc中， ab=ac，ad=ac，ae= ab，nn那么 bd=ce證明如下：ab=ac11又 ad= ac， ae= ab，nnad=ae在 adb和 aec中，ab=ac， a= a， ad=ae， adb aec(sas)bd=ce(全等三角形的對應邊相等) 生 一般結論也可更簡潔地敘述為：在abc中，如果 ab=ac，ad=ae，那么 bd=ce 師 這里的兩個問題都是由特殊結論得出更一般的結論，這是我們研究數學問題常用的一種思想方法，它會使

11、我們得到意想不到的效果例如通過對這兩個問題的研究，我們可以發(fā)現等腰三角形中，相等的線段有無數組這和等腰三角形是軸 對稱圖形這個性質是密不可分的第四環(huán)節(jié)：拓展延伸，探索等邊三角形性質活動內容： 提請學生在上面等要三角形性質定理的基礎上，思考等邊三角形的特殊性質：等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60.已知：如圖，abc 中， ab=bc=ac 求證： a= b= c=60.證明：在abc 中， ab=ac ， b= c( 等邊對等角 ) 同理： c= a ， a= b= c（等量代換）又 a+ b+ c180 （三角形內角和定理） ， a= b= c60 活動效果 ：學生一般都能得到這些定理的證明，能規(guī)范地寫出對于“等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60”的證明過程：第五環(huán)節(jié)：隨堂練習及時鞏固活動內容： 在探索得到了等邊三角形的性質的基礎上，讓學生獨立完成以下練習。1.如圖 ,已知 abc 和 bde 都是等邊三角形 .a求證 :ae=cdebcd活動意圖：在鞏固等邊三角形的性質的同時， 進一步掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規(guī)范證明的書寫格式。第六環(huán)節(jié)：探討收獲課時小結本節(jié)課我們通過觀察探索、發(fā)現并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結論歸納出一般結