1、第四章 流體動力學(xué)基礎(chǔ),對運動流體的應(yīng)力狀態(tài)作進一步分析，定義應(yīng)力張量，并給出應(yīng)力張量和變形率張量之間的聯(lián)系。建立不可壓縮流體運動微分方程 N-S 方程。 對理想流體運動微分方程 歐拉方程在恒定條件下沿流線積分得到恒定元流的能量方程 伯努利方程，進而推廣到總流，得到恒定總流的能量方程。 將動量守恒定律用于恒定總流得到恒定總流的動量方程。,三大守恒定律,恒定總流三大方程,水力學(xué)課程重點,41 運動流體的應(yīng)力狀態(tài),42 流體運動微分方程,43 恒定總流的能量方程,44 恒定總流的動量方程,45 求解恒定總流問題的幾點說明,第四章 流體動力學(xué)基礎(chǔ),41 運動流體的應(yīng)力狀態(tài),靜止流體（不論理想或?qū)嶋H流

2、體）,運動理想流體,p,P= - pn,p ：動壓強,p ：靜壓強,dx,dy,dz,py,pn,n,M,靜止流體,運動理想流體,靜止流體和運動理想流體中的四面體微元運動方程中質(zhì)量力（含慣性力）比起表面力是高階無窮小，當(dāng)四面體微元趨于一點，即可得證,運動實際流體,應(yīng)力四要素：點、面、側(cè)、分量方向。,一點處的應(yīng)力 pn 取決于作用面法向，所以腳標(biāo)中須加上 n,pn,分量形式,腳標(biāo)含義：前一個表示作用面方向；后一個表示應(yīng)力分量之投影方向。,法向為 x 軸正方向的作用面上的應(yīng)力在 y 方向的分量。（切應(yīng)力）,法向為 x 軸正方向的作用面上的應(yīng)力在 x 方向的分量。（法應(yīng)力）,應(yīng)力分量,主對角線上的三

3、個元素是法應(yīng)力分量，其它是切應(yīng)力分量。,應(yīng)力張量,法應(yīng)力為正表示受拉,有了應(yīng)力張量 P ，任意方位作用面上的應(yīng)力都可知道，為：,例如法向為 n 的作用面上應(yīng)力的 y 方向的分量,任意方位作用面上的應(yīng)力,應(yīng)力張量主對角線上三個元素之和是坐標(biāo)變換中的不變量，即其值不隨坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動而改變，任意三個相互垂直的作用面上的法應(yīng)力之和都是相同的。,流體的動壓強,流體的動壓強由場點唯一對應(yīng)，而與作用面的方位無關(guān)。所以運動流體中存在一動壓強場，它是數(shù)量場。要注意 p 并非任意方位作用面上真正的壓應(yīng)力,定義,流體的動壓強,廣義牛頓內(nèi)摩擦定律,牛頓內(nèi)摩擦定律,推廣,各向同性的不可壓縮牛頓流體的應(yīng)力和變形速率之間存在

4、線性關(guān)系,廣義牛頓內(nèi)摩擦定律,42 流體運動微分方程,理論基礎(chǔ)是動量守 恒定律，討論在歐 拉觀點下進行。,按照歐拉觀點表述動量守恒定律：單位時間控制體內(nèi)動量的增加必等于單位時間凈流入控制體的動量加上控制體內(nèi)流體所受合力。,一. 以應(yīng)力表示的流體運動微分方程,凈流入前后這一對表面的 x 方向的動量為,同理可知，在單位時間里，沿著 y 方向和 z 方向凈流入左右和上下兩對表面的 x 方向的動量分別為,和,作用于六面體表面沿 x 方向的表面力有： 前后一對面元法向力,左右一對面元切向力,-pzx,上下一對面元切向力,相加得沿 x 方向的總表面力,dx,dz,dy,-pyx,-pxx,單位時間微元內(nèi)

5、x 方向動量的增加為,根據(jù)動量守恒原理,動量增加,流入動量,質(zhì)量力,表面力,0,由連續(xù)方程知,左邊等于,整理得,方程組不封閉,以應(yīng)力表示的流 體運動微分方程,二. 不可壓縮粘性流體的運動微分方程N-S方程,0,不 可 壓,拉普拉斯算子,對跟隨其后的量求調(diào)和量,矢量形式,方程組封閉,三.理想流體的運動微分方程歐拉方程,矢量形式,流體靜止時，只受質(zhì)量力、壓差力的作用，運動方程退化為歐拉平衡方程,四. 流體動力學(xué)定解問題和解法概述,微分形式流體運動方程連同連續(xù)方程，形成對流體運動的基本控制方程組，是求解流速場和壓力場的理論基礎(chǔ)。四個方程可求四個未知量：p 和 u ，方程組是封閉的。但由于運動方程是二

6、階偏微分方程，其中的位變慣性力（常稱為對流項）是非線性的，解析求解非常困難。,基本微分方程組,忽略粘性，作理想流體假設(shè)，從流動的維數(shù)上作簡化，都是常見的手段。如果流動是有勢流動，解析處理就有更多的便利條件。后面我們就將分門別類地對各種流動進行求解方法的討論。,解法概述,只有在極少數(shù)簡單流動的情況下，N-S 方程才有解析解。而絕大部分流動都不能直接對 N-S 方程解析求解，我們只能抓住問題的主要方面，作相應(yīng)的簡化，才能進行進一步的解析處理。,各種簡化都是在基本方程的基礎(chǔ)上進行的，所以深入理解方程中各項的物理意義是非常重要的。,邊界條件是指運動方程的解在流場的邊界上必須滿足的運動學(xué)和動力學(xué)條件。常

7、見的邊界條件有：固壁條件和液體的自由表面條件。,初始條件和邊界條件,流動共性,體現(xiàn)個性,初始條件是對非恒定流動指定初始時刻流場的速度和壓強分布。,理想流體的固壁條件稱為可滑移條件，即流體不能穿越固壁，但可有切向相對運動，所以,液體的自由表面動力學(xué)條件為自由表面上壓強為常數(shù)（大氣壓）。,實際（粘性）流體的固壁條件稱為不可滑移條件，即附著在固壁上的流體質(zhì)點與固壁不能有相對運動，所以,注：以上 u 和 U 分別表示附著在固壁上的流體質(zhì)點與固壁上相應(yīng)點的速度。,u=U,*,五. 理想流體的運動微分方程的積分,運用上面得到的運動微分方程求解各種流動問題時，需要對運動方程進行積分，但由于數(shù)學(xué)上的困難，目前

8、還無法在一般情況下進行。下面先討論在恒定條件下理想流體運動方程沿流線的積分。,理想流體,恒定流動,+,+,（dx,dy,dz) 是流線上沿流動方向一段弧長，與跡線重合。,上式左邊可改寫為：,質(zhì)量力有勢，勢函數(shù) W ，即,右邊后三項為,不可壓縮流體，密度為常數(shù),最終原等式可寫成,則右邊前三項是力勢函數(shù) W 的全微分,或,在理想流體的恒定流動中，同一流線上各點的值是一個常數(shù)。其中 W 是力勢函數(shù)， 是不可壓縮流體的密度。從推導(dǎo)過程看，積分是在流線上進行的，所以不同的流線可以有各自的積分常數(shù)，將它記作 Cl ，稱為流線常數(shù)。,上式的積分為,伯 努 利 積 分,結(jié)論,這是水力學(xué)中普遍使用的方程。,重力

9、場中的伯努利積分,伯努利積分可寫為,或,對同一流線上任意兩點 1 和 2 利用伯努利積分，即有,1,2,z,u,o,伯努利方程,o,流線,以上討論了伯努利積分, 其成立的條件是：理想，恒定，不可壓，質(zhì)量力有勢。現(xiàn)在再加無旋（有勢）條件，導(dǎo)出理想流體運動方程的歐拉積分。,理想,恒定,無旋,+,+,任意方向的弧長,歐拉積分,或,不可壓,積分,質(zhì)量力有勢,在理想流體的恒定有勢流動中，流場中各點的值是一個常數(shù)。其中 W 是力勢函數(shù)， 是不可壓縮流體的密度。,結(jié)論,重力場中的歐拉積分,表面上看，伯努利積分和歐拉積分很相似，但兩者的適用條件和使用范圍是截然不同的。,C：通用常數(shù),43 恒定總流的能量方程,

10、一. 恒定元流的能量方程,伯努利積分,歐拉方程各項的量綱是單位質(zhì)量流體受力，伯努利積分是歐拉方程的各項取了勢函數(shù)而得來的，即力對位移作積分，力勢函數(shù)是能量量綱，所以伯努利方程表示能量的平衡關(guān)系。,伯努利方程的物理意義,*,伯努利積分,在理想流體的恒定流動中，同一流體質(zhì)點的單位總機械能保持不變。,在理想流體的恒定流動中，位于同一條流線上任意兩個流體質(zhì)點的單位總機械能相等。,拉格朗日觀點,歐 拉 觀 點,位置水頭,壓強水頭,測壓管水頭,速度水頭,總水頭,伯努利方程的幾何意義,伯努利積分各項都具有長度量綱，幾何上可用某個高度來表示，常稱作水頭。,*,伯 努 利 積 分,伯努利方程在流線上成立，也可認(rèn)

11、為在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流體恒定元流的能量方程。,伯努利方程是能量守恒原理在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)，故被稱之為能量方程。,總機械能不變，并不是各部分能量都保持不變。三種形式的能量可以各有消長，相互轉(zhuǎn)換，但總量不會增減。,伯努利方程可理解為：元流的任意兩個過水?dāng)嗝娴膯挝豢倷C械能相等。由于是恒定流，通過元流各過水?dāng)嗝娴馁|(zhì)量流量相同，所以在單位時間里通過各過水?dāng)嗝娴目倷C械能（即能量流量）也相等。,*,*,*,將各項水頭沿程變化的情況幾何表示出來。,水頭線,理想流體恒定元流的總水頭線是水平的。,元流能量方程的應(yīng)用舉例,A,管,代 入,伯努利方程,假 設(shè)、管的存在不擾動原流場。,畢托管利用

12、兩管測得總水頭和測壓管水頭之差速度水頭，來測定流場中某點流速。,實際使用中，在測得 h，計算流速 u 時，還要加上畢托管修正系數(shù)c，即,實用的畢托管常將測壓管和總壓管結(jié)合在一起。,管 測壓管，開口方向與流速垂直。 管 總壓管，開口方向迎著流速。,*,*,思考為什么？,動能,勢能,相互轉(zhuǎn)換,位置勢能,壓強勢能,例子不勝枚舉,二. 恒定總流的能量方程,為把總流能量方程的表達一維化，將測壓管水頭與流速水頭的積分分開考慮。,*,恒定均勻流運動方程中只有重力、壓差力和粘性力（因以后要將能量方程擴展到實際流體，故在此不作理想流體假設(shè)），為,解決測壓管水頭的積分,尋求平均測壓管水頭,考察均勻流的過水?dāng)嗝嫔蠝y

13、壓管水頭的分布情況,或,z 軸為鉛垂向上的坐標(biāo)軸，不能移作別用。,均勻流的流線是平行直線，流速都沿著同一方向，其過水?dāng)嗝媸瞧矫?，取直角坐?biāo)系：x 軸為流速方向， y 軸和 z1 軸在過水?dāng)嗝嫠谄矫嫔希渲?y 軸水平。,*,*,x,o,z,z1,運動方程的分量式,或,或,或,從上面的后兩式可以看出，在過水?dāng)嗝妫╫yz1平面)上,均勻流的過水?dāng)嗝嫔险承粤Φ姆至繛榱?，只有壓差力與重力之間的平衡，所以動水壓強按靜水壓強的規(guī)律分布。,均勻流的過水?dāng)嗝嫔蠝y壓管水頭是常數(shù),只能在同一過水?dāng)嗝嫔蠎?yīng)用上述結(jié)論，因為 x 方向的運動方程里有粘性力項，所以沿著流動方向動水壓強分布不同于靜水壓強，導(dǎo)致不同過水?dāng)嗝?/p>

14、上測壓管水頭可能是不同的常數(shù)。,漸變流近似于均勻流，所以漸變流過水?dāng)嗝嫔系臏y壓管水頭可視為常數(shù)，任何一點的測壓管水頭都可以當(dāng)作過水?dāng)嗝娴钠骄鶞y壓管水頭。,*,漸變流過水?dāng)嗝嫔蠝y壓管水頭的積分,急變流中同一過水?dāng)嗝嫔系臏y壓管水頭不是常數(shù)，因為急變流中，位變加速度不等于零，過水?dāng)嗝嫔嫌袎翰盍?、重力和慣性力的分量，不再是僅有壓差力和重力相平衡的情況，慣性力也參與進來了，造成斷面測壓管水頭不等于常數(shù)。,漸變流過流斷面上測壓管水頭是常數(shù),2,3,z1,z3,z2,O,O,1,急變流過流斷面上測壓管水頭不是常數(shù),離心力方向,靜水壓強分布,動水壓強分布,靜水壓強分布,動水壓強分布,動壓和靜壓的差提供向心力,

15、 稱為動能修正系數(shù)。它是一個大于 1.0 的數(shù)，其大小取決于斷面上的流速分布。流速分布越均勻，越接近于 1.0；流速分布越不均勻， 的數(shù)值越大。在一般的漸變流中的 值為 1.05-1.10 . 為簡單起見，也常近似地取 =1.0 .,解決速度水頭的積分,*,*,理想不可壓流體恒定總流，流動中無機械能損耗，通過各過水?dāng)嗝娴哪芰苛髁肯嗤蛇B續(xù)方程決定了重量流量 沿程不變，所以在任意兩個分別位于總流的漸變流段中的過水?dāng)嗝?A1 和 A2 有,總流通過漸變流段中過水?dāng)嗝娴哪芰客繛?斷面單位重量流體的總機械能（即總水頭）為,理想不可壓縮流體恒定總流的能量方程,即,A1,A2,*,完成了對恒定總流能

16、量方程的一維化表達,在總流能量方程的上述表達式中斷面平均流速 v 、動能修正系數(shù) 和測壓管水頭 的取值都是由 斷面唯一確定的，條件是過水?dāng)嗝鎽?yīng)處于漸變流段中。,斷面 A1 是上游斷面，斷面 A2 是下游斷面，hw1-2 為總流在斷面 A1 和 A2 之間平均每單位重量流體所損耗的機械能，稱為水頭損失。水頭損失如何確定，將在后面敘述。,采取補上流體在流動過程中機械能損耗的方法，將理想流體的能量方程推廣到實際流體。,實際流體恒定總流的能量方程,分析水力學(xué)問題最常用也是最重要的方程式,總流水頭線的畫法和元流水頭線是相仿的，其中位置水頭線一般為總流斷面中心線。,恒定總流能量方程的幾何表示水頭線,與元流

17、一樣，恒定總流能量方程的各項也都是長度量綱，所以可將它們幾何表示出來，畫成水頭線，使沿流能量的轉(zhuǎn)換和變化情況更直觀、更形象。,*,水力坡度,測壓管水頭線可能在位置水頭線以下，表示當(dāng)?shù)貕簭娛秦?fù)值。,恒定總流能量方程的應(yīng)用條件,（1）流動必須是恒定流，并且流體是不可壓縮的。 （2）作用于流體上的質(zhì)量力只有重力。 （3）所取的上下游兩個斷面應(yīng)在漸變流段中，以符合斷面上測壓管水頭等于常數(shù)這一條件。但在兩個斷面之間流動可以不是漸變流。斷面應(yīng)選在已知條件較多的位置。在漸變流斷面上取任何一點的測壓管水頭值都可作為整個斷面的平均值，為簡便通常取管道中心點或渠道水面點。,先看一個跌水的例子。取頂上水深處為 1-1 斷面，平均流速為 v1，取水流跌落高度處為斷面 2-2 ，平均流速為 v2，認(rèn)為該兩斷面均取在漸變流段中?；鶞?zhǔn)面通過斷面 2-2 的中心點。,三. 能量方程 的應(yīng)用舉例,恒定總流能量方程表明三種機械能相互轉(zhuǎn)化和總機械能守恒的規(guī)律，由此可根據(jù)具體流動的邊界條件求解實際總流問題。,1,1,2,2