1、流體運動學,研究流體的運動規(guī)律（速度、加速度、變形等運動參數(shù)的變化規(guī)律），由于不涉及力，故對理想流體、粘性流體均適用。,研究流體運動的兩種方法 流體質點的加速度、質點導數(shù) 流體運動的基本概念 連續(xù)性方程 流體微元的運動分析 有旋運動和無旋運動 速度勢函數(shù) 流函數(shù) 幾種簡單的平面勢流 勢流疊加原理 幾個常見的勢流疊加的例子,1.拉格朗日法（隨體法）,t0時，坐標a、b、c作為該質點的標志 x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t),速度：,加速度：,物理概念清晰，但處理問題十分困難,研究流體運動的兩種方法,著眼于流體質點，設法描述出每個流體質點 自始至終的運動

2、過程，即它的位置隨時間變化的規(guī)律,2.歐拉法（局部法、當?shù)胤ǎ?某瞬時，整個流場各空間點處的狀態(tài),以固定空間、固定斷面或固定點為對象，應采用歐拉法,著眼點不是流體質點而是空間點，所謂空間點是指固定 在參考坐標系上的點,它不隨時間變更自己的位置,1.流體質點的加速度,同理,流體質點的加速度、質點導數(shù),2.質點導數(shù),對質點的運動要素A：,時變導數(shù),位變導數(shù),時變加速度,位變加速度,流體質點的物理量對于時間的變化率稱為該物理量的 質點導數(shù)。,1.恒定流與非恒定流,（1）恒定流,（2）非恒定流,所有運動要素A都滿足,2.均勻流與非均勻流,（1）均勻流,（2）非均勻流,流體運動的基本概念,例：速度場 求

3、（1）t=2s時，在(2，4)點的加速度； （2）是恒定流還是非恒定流； （3）是均勻流還是非均勻流。,（1） 將t=2，x=2，y=4代入得 同理,解：,（2） 是非恒定流,（3） 是均勻流,3.流線與跡線,（1）流線某瞬時在流場中所作的一條空間曲線，曲線上各點速度矢量與曲線相切,流線微分方程： 流線上任一點的切線方向與該點速度矢量一致,性質：一般情況下不相交、不折轉,流線微分方程,流線的性質 (1)一般情況下流線不能相交。因為空間每一點只能有一個速度方向,所以不能有兩條流線同時通過一點。但在速度為零或無限大的空間點上例外,前者稱為駐點,后者稱為奇點,(注意奇點的出現(xiàn)全是人們采用了簡化模型后

4、的結果,在實際流場中奇點是不存在的)。 (2)流場中的每一空間點都有流線通過,由這些流線形成流譜。 (3)流線的形狀及位置,在穩(wěn)態(tài)流動時不隨時間變化,在非穩(wěn)態(tài)流動中,一般來說要隨時間而變化。,（2）跡線質點運動的軌跡,跡線微分方程：對任一質點,跡線微分方程,例：速度場ux=a，uy=bt，uz=0（a、b為常數(shù)） 求:（1）流線方程及t=0、1、2時流線圖； （2）跡線方程及t=0時過（0，0）點的跡線。,解：（1）流線： 積分：,o,y,x,c=0,c=2,c=1,t=0時流線,o,y,x,c=0,c=2,c=1,t=1時流線,o,y,x,c=0,c=2,c=1,t=2時流線,流線方程,（2

5、）跡線： 即,跡線方程（拋物線）,o,y,x,注意：流線與跡線不重合,例：已知速度ux=x+t，uy=y+t 求：在t=0時過（1，1）點的流線和跡線方程。,解：（1）流線： 積分： t=0時，x=1，y=1c=0,流線方程（雙曲線）,（2）跡線：,由t=0時，x=1，y=1得c1=c2=0,跡線方程（直線）,（3）若恒定流：ux=x，uy=y 流線 跡線,注意：恒定流中流線與跡線重合,4.流管與流束,流管在流場中任意取不與流線重合的封閉曲線，過曲線上各點作流線，所構成的管狀表面,5.過流斷面在流束上作出與流線正交的橫斷面,1,2,注意：只有均勻流的過流斷面才是平面,例：,1,2,1處過流斷面

6、,2處過流斷面,流束流管內的流體,6.元流與總流,元流過流斷面無限小的流束 總流過流斷面為有限大小的流束，它由無數(shù)元流構成,7.流量,體積流量 質量流量 不可壓縮流體,8.斷面平均流速,實質：質量守恒,1.連續(xù)性方程的微分形式,o,y,x,z,dmx,dmx,dx,dy,dz,dt時間內x方向： 流入質量 流出質量 凈流出質量,連續(xù)性方程,同理：,dt時間內，控制體總凈流出質量：,由質量守恒：控制體總凈流出質量，必等于控制體內由于 密度變化而減少的質量，即,連續(xù)性方程的微分形式,不可壓縮流體 即,例：已知速度場 此流動是否可能出現(xiàn)？,解：由連續(xù)性方程：,滿足連續(xù)性方程，此流動可能出現(xiàn),例：已知

7、不可壓縮流場ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0處uz=0，求uz。,解：由 得,積分,由z=0，uz=0得c=0,2.連續(xù)性方程的積分形式,A1,A2,1,2,v1,v2,在dt時間內，流入斷面1的流體質量必等于流出斷面2的流體質量，則,連續(xù)性方程的積分形式,不可壓縮流體,分流時,合流時,剛體平移、旋轉 流體平移、旋轉、變形（線變形、角變形）,平移,線變形,旋轉,角變形,流體微元的運動分析,流體微元的速度：,1.平移速度：ux，uy，uz,2.線變形速度：,x方向線變形,是單位時間微團沿x方向相對線變形量（線變形速度）,同理,存在各質點在連線方向的速度梯度是產(chǎn)生線變形的原因,3.旋

8、轉角速度：角平分線的旋轉角速度,逆時針方向的轉角為正 順時針方向的轉角為負,是微團繞平行于oz軸的旋轉角速度,同理,微團的旋轉：,4.角變形速度：直角邊與角平分線夾角的變化速度,微團的角變形：,存在不在質點連線方向的速度梯 度是產(chǎn)生旋轉和角變形的原因,是微團在xoy平面上的角變形速度,同理,例：平面流場ux=ky，uy=0（k為大于0的常數(shù)），分析流場運動特征,解：流線方程： 線變形： 角變形： 旋轉角速度：,x,y,o,（流線是平行與x軸的直線族）,（無線變形）,（有角變形）,（順時針方向為負）,例：平面流場ux=ky，uy= kx （k為大于0的常數(shù)），分析流場運動特征,解：流線方程：,（

9、流線是同心圓族）,線變形：,（無線變形）,角變形：,（無角變形）,旋轉角速度：,（逆時針的旋轉）,剛體旋轉流動,1.有旋流動,2.無旋流動,即：,有旋流動和無旋流動,例：速度場ux=ay（a為常數(shù)），uy=0，流線是平行于x軸的直線，此流動是有旋流動還是無旋流動？,解： 是有旋流,x,y,o,ux,相當于微元繞瞬心運動,例：速度場ur=0 ，u=b/r（b為常數(shù)），流線是以原點為中心的同心圓，此流場是有旋流動還是無旋流動？,解：用直角坐標：,x,y,o,r,ux,uy,u,p,是無旋流（微元平動）,小結：流動作有旋運動或無旋運動僅取決于每個流體 微元本身是否旋轉，與整個流體運動和流體微 元運動

10、的軌跡無關。,無旋有勢,1.速度勢函數(shù),類比：重力場、靜電場作功與路徑無關勢能 無旋條件： 由全微分理論，無旋條件是某空間位置函數(shù)(x,y,z)存在的充要條件 函數(shù)稱為速度勢函數(shù)，無旋流動必然是有勢流動,速 度 勢 函 數(shù),由函數(shù)的全微分： 得：,（ 的梯度）,2.拉普拉斯方程,由不可壓縮流體的連續(xù)性方程 將代入得 即拉普拉斯方程,為拉普拉斯算子， 稱為調和函數(shù) 不可壓縮流體無旋流動的連續(xù)性方程,注意：只有無旋流動才有速度勢函數(shù)，它滿足拉普拉斯方程,3.極坐標形式（二維）,不可壓縮平面流場滿足連續(xù)性方程：,即：,由全微分理論，此條件是某位置函數(shù)（x，y）存在的充要條件,函數(shù)稱為流函數(shù),有旋、無

11、旋流動都有流函數(shù),流函數(shù),由函數(shù)的全微分： 得：,流函數(shù)的主要性質： （1）流函數(shù)的等值線是流線；,證明：,流線方程,（2）兩條流線間通過的流量等于兩流函數(shù)之差；,證明：,（3）流線族與等勢線族正交；,斜率：,斜率：,等流線,等勢線,利用（2）、（3）可作流網(wǎng),（4）只有無旋流的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程,證明：,則：,將,代入,也是調和函數(shù),得：,在無旋流動中,例：不可壓縮流體，ux=x2y2，uy= 2xy，是否滿足連續(xù)性方程？是否無旋流？有無速度勢函數(shù)？是否是調和函數(shù)？并寫出流函數(shù)。,解：,（1） 滿足連續(xù)性方程,（2） 是無旋流,（3）無旋流存在勢函數(shù)：,?。▁0，y0）為（0，0）,（4

12、） 滿足拉普拉斯方程， 是調和函數(shù),（5）流函數(shù),取（x0，y0）為（0，0）,1.均勻平行流 速度場（a,b為常數(shù)） 速度勢函數(shù) 等勢線 流函數(shù) 流線,u,x,y,o,1,1,2,3,2,3,幾種簡單的平面勢流,當流動方向平行于x軸,當流動方向平行于y軸,如用極坐標表示：,1,1,2,2,1,1,2,2,2.源流與匯流（用極坐標）,（1）源流：,1,1,2,2,o,3,4,ur,源點o是奇點r0 ur,速度場 速度勢函數(shù) 等勢線 流函數(shù) 流線 直角坐標,（2）匯流 流量,1,1,2,2,o,3,4,匯點o是奇點r0 ur,（3）環(huán)流勢渦流（用極坐標）,注意：環(huán)流 是無旋流！,速度勢函數(shù),流函

13、數(shù),速度場,環(huán)流強度,逆時針為正,1,1,2,2,o,3,4,u,也滿足 同理，對無旋流：,勢流疊加原理,勢 流 疊 加 原 理,（1）半無限物體的繞流（用極坐標）,模型：水平勻速直線流與源流的疊加（河水流過橋墩） 流函數(shù)： 速度勢函數(shù)： 即視作水平流與源點o的源流疊加,u0,S,幾個常見的勢流疊加的例子,作流線步驟： 找駐點S：,將代入（舍去） 將代入 得駐點的坐標：,u0,S,o,rs,（1）,（2）,由（2）,由（1）,將駐點坐標代入流函數(shù)，得,則通過駐點的流線方程為,給出各值，即可由上式畫出通過駐點的流線,流線以為漸進線,外區(qū)均勻來流區(qū)；內區(qū)源的流區(qū)（“固化”、半體）,（2）等強源匯流（用極坐標直角坐標）,模型：源流與匯流疊加（電偶極子）,x,y,o,a,a,r,r1,r2,P(x,y),1,2,q,-q,勢函數(shù),流函數(shù),源流和匯流的疊加,當a0，q，2qa常數(shù)M,偶極流,利用三角函數(shù)恒等式、級數(shù)展開，化簡