1、21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關系,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：,x=,(b2-4ac 0),算一算,（1）x2-7x+12=0,(2)x2+3x-4=0,(3) 2x2+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,3,4,12,7,1,-3,- 4,- 4,-1,-2,一元二次方程的根與系數(shù)的關系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2=,（韋達定理）,注：能用根與系數(shù)的關系的前提條件為b2-4ac0,韋達（15401603）,韋達是法國十六世紀最有影響的數(shù)學家之一。第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做

2、了改進。 他生于法國的普瓦圖。年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會的議員，在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數(shù)學研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關系的結論稱為“韋達定理”）。 韋達在歐洲被尊稱為“代數(shù)學之父”。,一元二次方程根與系數(shù)關系的證明：,X1+x2=,+,=,=,X1x2=,=,=,=,如果方程x2+px+q=0的兩根是 x1 ，x2，那么x1+x2= , x1x2=,P,q,推論,解：,我能行

3、1,原方程可化為：,二次項不是1，可以先把它化為1,原方程可化為：,想一想，還有其他方法嗎？,還可以把 代入方程的兩邊，求出,解：,又,我能行2,解：,我能行3,所求的方程是：,解：,我能行4,即：,或：,（1）下列方程兩根的和與兩根的積各是多少？,知識在于積累,開啟 智慧,知識在于積累,（4）求一個一元二次方程，使它的兩個根分別為：,；,根與系數(shù)關系小結,1、已知方程的一個根求另一個根及未知數(shù),（也可以用根的定義求解）,對于一元二次方程 的兩根,2、求關于兩根的代數(shù)式的值,如:兩根的平方和、兩根的倒數(shù)和等,3、以x1、x2 為根的一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,拓廣探索

4、,1、當k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。,解：設方程兩根分別為x1,x2(x1x2)，則x1-x2=1, (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根與系數(shù)的關系得x1+x2= , x1x2=,解得k1=9,k2= -3,當k=9或-3時，由于0，k的值為9或-3。,2、設x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值。,拓廣探索,解：由方程有兩個實數(shù)根，得,即-8k+40,由根與系數(shù)的關系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k