1、第五章 貝賽爾（Bessel）函數(shù),特殊函數(shù)之一,1 Bessel方程的導(dǎo)出,5.1 Bessel方程及Bessel函數(shù),引例：設(shè)有半徑為R的圓形薄盤，上、下兩面絕熱，圓盤邊界上的溫度始終保持為零度，且初始溫度分布已知，求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)律。,該問題的數(shù)學(xué)模型為：,用分離變量法求解。令,代入方程得,考慮到邊界條件，有,轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)系，問題變成,亥姆霍茲方程,再用分離變量法,第二個方程變形為,令代入方程得,求解固有值問題,得固有值及固有函數(shù)分別為,將代入方程得,再由邊界條件知，,故有下列固有值問題,又,只要能夠求解該固有值問題，本節(jié)提出的熱傳導(dǎo)問題就解決了。下面先研究該固有值問題中的方程。

2、,稱為階Bessel方程,一般的有v階Bessel方程,2. Bessel函數(shù)Bessel方程的解,用廣義冪級數(shù)法求解該方程。由常微分方程理論，設(shè)方程的解為,于是,各階導(dǎo)數(shù)為,代入Bessel方程，整理，得,于是由冪級數(shù)展式的唯一性，有,不妨取,其中是一個任意常數(shù)，為了簡化，取,注：,是一個廣義函數(shù)：,當(dāng)v是正整數(shù) n時,回到原問題,這時,這樣就得到了Bessel方程的一個特解,記為，即,稱為v階第一類Bessel函數(shù)（級數(shù)）。,稱為-v階第一類Bessel函數(shù)（級數(shù)）。,當(dāng)時可得Bessel方程的另一個解，即,由冪級數(shù)收斂性判定知，這兩個級數(shù)在實數(shù)域內(nèi)均絕對收斂。,若構(gòu)造,Bessel方程的

3、通解如何得到呢？,情形：當(dāng)v 不是整數(shù)時， 與 線性無關(guān)，于是Bessel方程的通解為,則稱為第二類Bessel函數(shù)，而與線性無關(guān)，故通解又可寫成,情形：當(dāng) v是正整數(shù)n（包括零）時， 與 線性相關(guān)，于是需找到與線性無關(guān)的函數(shù)，才能得到Bessel方程的通解。,定義,即可滿足要求。,此時,下面說明與的線性相關(guān)性：,由于當(dāng),而當(dāng)，于是有,故與的線性相關(guān)。,例1驗證是方程的解。,分析：滿足Bessel方程,證明：因,代入方程，得,性質(zhì)1 有界性,性質(zhì)2 奇偶性,5.2 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)v為正整數(shù)n時,性質(zhì)3 遞推性,推導(dǎo)：,于是得遞推公式：,推導(dǎo)：,于是得遞推公式：,例 求下列微積分,同理有遞

4、推公式：,性質(zhì) 半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù),1 固有值問題的解 5.1問題的繼續(xù),5.3 正整數(shù)階Bessel函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,上節(jié)要解決的固有值問題,經(jīng)前面討論之后，可得方程的通解為,2 Bessel函數(shù)的零點,由如上幾個函數(shù)零點的布局結(jié)構(gòu)，可推知,有無窮多個單重實零點，并關(guān)于原點對稱分布，故 有無窮多個正零點，記為,與的零點是相間分布的，且 即的最小正零點比的小。,即圖形隨著趨于 以為周期的函數(shù)。,這時,故固有值為,固有函數(shù)系為,在前面的介紹中，故有函數(shù)系均正交，此處如何？, 固有函數(shù)系的正交性,證明略。,結(jié)論：n階Bessel函數(shù)系在上帶權(quán)正交，即,且,結(jié)論：若在內(nèi)分段連續(xù)，且則必能展成如下形

5、式的級數(shù),其中, Fourier-Bessel級數(shù),Fourier-Bessel級數(shù),Fourier-Bessel系數(shù),解：設(shè),由正交性知,而,所以,解：設(shè),由正交性知,而,所以, Bessel函數(shù)的應(yīng)用,例1求解下列熱傳導(dǎo)問題,用分離變量法。令，代入方程，得,均勻圓盤的熱傳導(dǎo)，無熱源,邊界溫度為零,初始溫度與角度無關(guān)，于是內(nèi)部溫度分布也與角度無關(guān),方程通解為,固有函數(shù)為,可歸納出固有值問題：,于是固有值為,階Bessel方程,另一方程解為,由疊加原理有,由初值條件知,此時,經(jīng)計算得,故原問題的解為,例2(圓柱形域內(nèi)的電勢) 有導(dǎo)體壁構(gòu)成的空圓柱，高為h，半徑為b，上底的電勢為U，側(cè)面和下底的

6、電勢為零，試求圓柱體內(nèi)部的電勢。,用分離變量法。令 ，代入方程，得,解：采用柱坐標(biāo)系，數(shù)學(xué)模型為：,方程通解為,固有函數(shù)為,可歸納出固有值問題：,于是固有值為,階Bessel方程,另一方程解為,由疊加原理有,由條件 知,由Bessel函數(shù)系的正交性，知,兩式聯(lián)立求解得：,故原問題的解為,R=0.2,h=0.8,U=2時解的圖形（li2.m),help bessel BESSEL Bessel functions of various kinds. Bessel functions are solutions to Bessels differential equation of order N

7、U: 2 2 2 x * y + x * y + (x - nu ) * y = 0 There are several functions available to produce solutions to Bessels equations. These are: BESSELJ(NU,Z) Bessel function of the first kind BESSELY(NU,Z) Bessel function of the second kind BESSELI(NU,Z) Modified Bessel function of the first kind BESSELK(NU,

8、Z) Modified Bessel function of the second kind BESSELH(NU,K,Z) Hankel function AIRY(K,Z) Airy function,例如函數(shù)作圖：,function hanshutu x=0:0.05:50; y1=besselj(0,x); y2=besselj(1,x); y3=besselj(2,x); y4=besselj(3,x); plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4),LD= ; N=10; j=1; yy=inline(besselj(0,xx),xx) for k=1:N while(besselj(0,j)*besselj(0,j+1)0) j=j+1; end q=fzero(yy,j); j=j+1; LD=LD,q; k=k+1; end,0階：LD=2.4048 5.5201 8.6537 11.7915 14.930