1、-利用向量解決空間的角問(wèn)題,3.2立體幾何中的向量方法(三),空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問(wèn)題提供了一種重要的工具和方法，解題時(shí)，可用定量的計(jì)算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問(wèn)題，也是高考的熱點(diǎn)之一。本節(jié)課主要是討論怎么樣用向量的辦法解決空間角問(wèn)題。,用坐標(biāo)法解決立體幾何中問(wèn)題的一般步驟:,1.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； 2.寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)； 3.進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算； 4.寫出幾何意義下的結(jié)論.,異面直線所成角的范圍：,思考：,結(jié)論：,1.兩條異面直線所成的角 (1)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線aa,

2、bb,則a, b所夾的銳角或直角叫a與b所成的角.,求解方法,(2)范圍:,(3)向量求法:設(shè)直線a、b的方向向量為 ,其夾角 為 ,則有,(4)注意:兩異面直線所成的角可以通過(guò)這兩條直線的 方向向量的夾角求得,當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí), 應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角.,例1:,x,z,y,類型1:求異面直線所成的角,解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，設(shè) 則：,所以:,所以 與 所成角的余弦值為,x,z,y,直線與平面所成角的范圍：,思考：,結(jié)論：,直線AB與平面所成的角可看成是向量與平面的法向量所成的銳角的余角，所以有,2.直線與平面所成的角 (1)定義:直線與它在這個(gè)

3、平面內(nèi)的射影所成的角.,(2)范圍:,(3)向量求法:設(shè)直線l 的方向向量為 ,平面的法向量為 ,直線與平面所成的角為 , 與 的夾角為 ,則有,(1)證明:,建立空間直角坐標(biāo)系如圖:,則,類型2:求直線和平面所成的角,解:(2),A,C,B1,D,B,A1,C1,類型2:求直線和平面所成的角,x,z,y,課堂作業(yè)：書P113第9,11題.,變式.如圖,在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在線段BC上是否存在一點(diǎn)E,使PA與平面PDE所成角的大小為450? 若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在說(shuō)明理由。,解:建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:,設(shè)BE=

4、m,則,設(shè) 是二面角 的兩個(gè)面 的法向量,則向量 與 的夾角(或其補(bǔ)角)就是二面角的平面角大小(如圖(2),(1)范圍:,(2)二面角的向量求法:,若AB、CD分別是二面角 的兩個(gè)面內(nèi)與棱 l 垂直的異面直線, 則二面角的大小就是向量 與 的夾角(如圖(1),題型三:二面角,類型3:求平面和平面所成的角,的銳二面角的余弦值.,的銳二面角的余弦值,設(shè)平面,例5：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線 （庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為 和 ,CD的長(zhǎng)為 , AB的長(zhǎng)為 。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。,解：如圖，,化為向量問(wèn)題,根據(jù)向量的加法法則,進(jìn)

5、行向量運(yùn)算,于是，得,設(shè)向量 與 的夾角為 ， 就是庫(kù)底與水壩所成的二面角。,因此,所以,回到圖形問(wèn)題,庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為,例6、如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱 PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF PB交PB于點(diǎn)F。 (1)求證：PA平面EDB；,D,A,B,C,E,P,F,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)DC=1,證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EG.,A,B,C,D,P,E,F,G,例6、如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱 PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EFPB交PB于點(diǎn)F。

6、 (2)求證：PB 平面EFD；,例6、如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱 PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EFPB交PB于點(diǎn)F。 (3)求二面角C-PB-D的大小。,例6、如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱 PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EFPB交PB于點(diǎn)F。 (3)求二面角C-PB-D的大小。,法二:(法向量),易證:AC平面PBD,x=0且-y+z=0,故所求二面角的大小為600,練習(xí)。如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)， （I）求證：AO平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的余弦

7、值； （III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。,解:(I)略 (II)以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，,所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為,是平面ACD的一個(gè)法向量，,所以點(diǎn)E到平面ACD的距離,練習(xí)：,以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,所在直線為z軸. 易求平面AB1C的一個(gè)法向量 故得B1C1與面AB1C所成得 角得余弦為,分析:,練習(xí)2(書P113)、在如圖的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且平面ABCD與平面ABEF互相垂直?；顒?dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記CM=BN= （1）求MN的長(zhǎng)； （2）a為何值時(shí)？MN的長(zhǎng)最??？ （3）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)， 求面MNA與面MNB所成 二面角的余弦值。,A,B,C,D,E,F,M,N,A,B,C,D,M,N,E,x,