1、第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及均值和方差,最新考綱,考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破,知識(shí)鏈條完善,解題規(guī)范夯實(shí),知識(shí)鏈條完善 把散落的知識(shí)連起來(lái),【教材導(dǎo)讀】 1.隨機(jī)變量和函數(shù)有何聯(lián)系和區(qū)別? 提示:聯(lián)系:隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射,隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射,函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射,隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域,隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域. 區(qū)別:隨機(jī)變量的自變量是試驗(yàn)結(jié)果,而函數(shù)的自變量是實(shí)數(shù). 2.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)是什么? 提示:隨機(jī)變量的各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率在0,1上且取所有值的概率之和等于1. 3.離散型隨機(jī)變量方差的意義是什么? 提示:隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度

2、,方差越大偏離程度越大.,知識(shí)梳理,1.離散型隨機(jī)變量的概念與分布列 (1)隨機(jī)變量:一般地,如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,可以用一個(gè)變量來(lái)表示,那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.通常用大寫(xiě)拉丁字母X,Y,Z(或小寫(xiě)希臘字母,)等表示,而用小寫(xiě)拉丁字母x,y,z(加上適當(dāng)下標(biāo))等表示隨機(jī)變量取的可能值.所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量,稱(chēng)為 . (2)離散型隨機(jī)變量的分布列:若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x,x,x,X取每一個(gè)值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi以表格的形式表示如下:,離散型隨機(jī)變量,將上表稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列.有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單,也用等式P(

3、X=xi)=pi,i=1,2,n表示X的分布列.,(3)離散型隨機(jī)變量概率分布列的性質(zhì): pi0,i=1,2,n;,p1+p2+pn= .,1,2.離散型隨機(jī)變量的均值 (1)概念:一般地:若離散型隨機(jī)變量X的分布列為,則稱(chēng)E(X)= 為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,(2)性質(zhì):若Y=aX+b,其中X是隨機(jī)變量,a,b是常數(shù),隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是E(X),則E(Y)= .,aE(X)+b,3.離散型隨機(jī)變量的方差 (1)概念:離散型隨機(jī)變量X的分布列為,(2)性質(zhì):D(aX+b)=a2D(X).,4.兩點(diǎn)分布和超幾

4、何分布 (1)兩點(diǎn)分布的分布列、均值和方差,若X服從成功概率為p的兩點(diǎn)分布,則均值E(X)=p,方差D(X)=p(1-p).,為超幾何分布列,如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布.,對(duì)點(diǎn)自測(cè),1.拋擲甲、乙兩顆骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和為X,那么X=4表示的基本事件是( ) (A)一顆是3點(diǎn),一顆是1點(diǎn) (B)兩顆都是2點(diǎn) (C)一顆是3點(diǎn),一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn) (D)甲是3點(diǎn),乙是1點(diǎn)或甲是1點(diǎn),乙是3點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn),D,解析:甲是3點(diǎn),乙是1點(diǎn)與甲是1點(diǎn),乙是3點(diǎn)是試驗(yàn)的兩個(gè)不同結(jié)果,故選D.,C,2.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為,則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大

5、于7”的概率為( ) (A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51,解析: P(X7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.,3.投擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,則X的期望E(X)=.,解析:X的分布列為,所求的均值為E(X)=-10.5+10.5=0.,答案:0,4.若隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P(X=c)=1,其中c為常數(shù),則其方差D(X)= .,解析:E(X)=c1=c,D(X)=(c-c)21=0.,答案:0,5.一盒中有12個(gè)乒乓球,其中9個(gè)新的,3個(gè)舊的,從盒子中任取3個(gè)球來(lái)用,用完即為舊的,用完后裝回盒中,

6、此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(X=4)的值為.,答案:,考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí),離散型隨機(jī)變量的分布列,考點(diǎn)一,【例1】 (2015天津卷)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手,且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”,求事件A發(fā)生的概率;,(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.,【即時(shí)訓(xùn)練】 從集合1,2,3,4,5的所有非空子集中,等可能地取出一個(gè),記所取出

7、的非空子集的元素個(gè)數(shù)為,求的分布列.,離散型隨機(jī)變量的均值(高頻考點(diǎn)),考點(diǎn)二,考查角度1:求離散型隨機(jī)變量的均值,【例2】 (2016天津卷)某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng).已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì). (1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;,(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,反思?xì)w納 求離散型隨機(jī)變量均值的步驟:(1)理解隨機(jī)變量X的意義,寫(xiě)出X可能取得的全部值; (2)求X的每個(gè)值的概率;(3)寫(xiě)出X的分布列;(4)

8、由均值定義求出E(X).,考查角度2:離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用,【例3】 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702588 在微信群中搶紅包已成為一種娛樂(lè),甲、乙兩人經(jīng)常在微信群中搶紅包. (1)已知甲在A微信群中發(fā)現(xiàn)某位“微友”發(fā)放的4個(gè)紅包中1元的紅包有2個(gè)、2元和3元的紅包各有1個(gè).若該微信群中恰有三人在線(xiàn),且每個(gè)紅包都被搶走,每人不限制搶得紅包的個(gè)數(shù),求甲搶得紅包的總錢(qián)數(shù)為4的概率;,反思?xì)w納 求解離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望時(shí),一定要明確每個(gè)變量的取值所對(duì)應(yīng)的事件發(fā)生的過(guò)程,這樣才能判斷事件的性質(zhì),進(jìn)而選用相應(yīng)的概率模型求其概率.,離散型隨機(jī)變量的方差,考點(diǎn)三,【例4】 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702589 如圖,

9、A,B兩點(diǎn)由5條連線(xiàn)并聯(lián),它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過(guò)信息的最大量依次為2,3,4,3,2,現(xiàn)將從中任取三條線(xiàn)且在單位時(shí)間內(nèi)都通過(guò)最大信息量的總量記為X.求X的均值和方差.,反思?xì)w納 計(jì)算離散型隨機(jī)變量的方差關(guān)鍵是先求分布列,只要知道了分布列,就可以求出均值進(jìn)而根據(jù)公式求出方差.,超幾何分布及其應(yīng)用【高頻考點(diǎn)】,考點(diǎn)四,考查角度1:利用超幾何分布模型求概率,【例5】 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702591 在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊,用表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率等于 的是() (A)P(=2)(B)P(2) (C)P(=4)(D)P(4),考查角度2:求超幾何分

10、布的均值,【例6】 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702593 在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)某10張券中有一等獎(jiǎng)券1張,可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品;有二等獎(jiǎng)券3張,每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品;其余6張沒(méi)有獎(jiǎng),某顧客從此10張券中任抽2張,求: (1)該顧客中獎(jiǎng)的概率;,(2)該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X(元)的概率分布列和期望E(X).,反思?xì)w納 超幾何分布是非常重要的一個(gè)概率分布,它具有極為廣泛的應(yīng)用,其基本特點(diǎn)是總體有A,B兩類(lèi)元素(如男女、正品次品等)組成,從總體中不放回的取出一定數(shù)目的元素,其中含有一類(lèi)元素的個(gè)數(shù)即服從超幾何分布.超幾何分布中隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率是古典概型,使用古典概型的公式進(jìn)行計(jì)算.,備選例題,【

11、例題】 某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣(mài)不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理. (1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,nN)的函數(shù)解析式;,(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得表:,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率. 若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差;,解: (2)由題意知,日需求量n與對(duì)應(yīng)概率如表,由題意知X=60,70,80.且P(X=60)=P(n=14)=0.1,P(X=70)=P(n=15)

12、=0.2, P(X=80)=P(n16)=0.7,所以X的分布列為,X的數(shù)學(xué)期望E(X)=600.1+700.2+800.7=76.X的方差 D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.,若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說(shuō)明理由.,解: 答案一:花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝.理由如下: 當(dāng)花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花時(shí), 用Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),則 Y=55,65,75,85,P(Y=55)=P(n=14)=0.1, P(Y=65)=P(n=15)=0.2,P(Y=75)=P(n=16)=0.16, P(Y=85)

13、=P(n17)=0.54.所以Y的分布列為,所以E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4, D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+ (85-76.4)20.54=112.04. 綜上知D(X)D(Y)且相差較大,雖然E(X)E(Y)但相差不大, 所以一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤(rùn)波動(dòng)相對(duì)較小, 且平均獲利基本相同,故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花.,答案二:花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,理由如下: 若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),則Y的分布列為,Y的期望為E(Y)=550.1+650.2+7

14、50.16+850.54=76.4, 可知E(Y)E(X),故購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤(rùn),故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花.,解題規(guī)范夯實(shí) 把典型問(wèn)題的解決程序化,求解概率綜合題的解題步驟,【典例】 (12分)(2015陜西卷)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開(kāi)車(chē)單程所需時(shí)間為T(mén),T只與道路暢通狀況有關(guān),對(duì)其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:,(1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望E(T); (2)劉教授駕車(chē)從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開(kāi)老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘的概率.,審題突破,解:(1)由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為,滿(mǎn)分展示:,以頻率估計(jì)概率得T的分布列為,從而E(T)=250.2+300.3+350.4+400.1 =32(分鐘). 4分,(2)設(shè)T1,T2分別表示往、返所需時(shí)間,T1,T2的取值相互獨(dú)立,且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘”, 由于講座時(shí)間為50分鐘, 所以事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過(guò)70分鐘”. P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240