1、初中數(shù)學(xué)（北師大版） 八年級(jí) 上冊,第一章勾股定理,知識(shí)點(diǎn)一勾股定理的逆定理及其簡單應(yīng)用,2一定是直角三角形嗎,例1已知ABC的三邊長分別為a,b,c,有下列各組條件,判斷ABC的形狀. (1)a=41,b=40,c=9; (2)a=m2-n2,b=m2+n2,c=2mn(mn0).,2一定是直角三角形嗎,解析(1)b2+c2=402+92=1 681,而a2=412=1 681, a2=b2+c2, ABC是直角三角形,且A是直角. (2)mn0,m2+n22mn,m2+n2m2-n2, 而a2+c2=(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =(m2+n2)2=

2、b2, ABC是直角三角形,且B是直角.,2一定是直角三角形嗎,知識(shí)點(diǎn)二勾股數(shù),2一定是直角三角形嗎,例2下列幾組數(shù)中,是勾股數(shù)的有() 0.6,0.8,1;32,42,52;6,8,10;,. A.1組B.2組C.3組D.4組,解析中的數(shù)不是整數(shù);中,(32)2+(42)2(52)2;中,6,8,10剛好是勾股數(shù)3,4,5的2倍.故只有是一組勾股數(shù).,答案A,2一定是直角三角形嗎,題型一利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀 例1已知三角形的三邊長a,b,c滿足關(guān)系式(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0,試判斷此三角形的形狀.,解析因?yàn)?a-5)2+|b-12|+c2-26c+

3、169=0, 所以(a-5)2+|b-12|+(c-13)2=0. 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得(a-5)2=0,|b-12|=0,(c-13)2=0. 所以a=5,b=12,c=13. 又因?yàn)閍2+b2=52+122=169=132=c2, 所以此三角形是以c為斜邊長的直角三角形.,點(diǎn)撥先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值,再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀.,2一定是直角三角形嗎,2一定是直角三角形嗎,解析連接AC.因?yàn)锳BC=90, 所以ABC是直角三角形. 在RtABC中,根據(jù)勾股定理得AC2=AB2+BC2, 即AC2=4002+3002,所以AC=500 m. 在ACD中,AC2+CD

4、2=5002+1 2002=1 3002=AD2, 所以ACD是直角三角形. 所以S四邊形ABCD=SABC+SACD=300400+5001 200=360 000(m2). 因此種植的草皮的面積為360 000 m2.,2一定是直角三角形嗎,易錯(cuò)點(diǎn)勾股定理逆定理的運(yùn)用 例若ABC的三邊長為a,b,c,且滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0,則ABC是 () A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形,解析由題意得a-b=0或a2+b2-c2=0,故a=b或a2+b2=c2.即ABC是等腰三角形或直角三角形.,答案D,易錯(cuò)警示注意對(duì)“或”的理解.,2一定是直

5、角三角形嗎,知識(shí)點(diǎn)一勾股定理的逆定理及其簡單應(yīng)用 1.已知ABC的三邊長分別為5,12,13,則ABC的面積為() A.30B.60 C.78D.無法確定,答案A52+122=132,ABC是直角三角形,兩直角邊長分別為5和12,SABC=512=30.,2一定是直角三角形嗎,2.(2017廣西防城港期中)ABC中,如果三邊滿足關(guān)系BC2=AB2+AC2,則ABC的直角是() A.CB.A C.BD.不能確定,答案BBC2=AB2+AC2, ABC是直角三角形,BC是斜邊,A=90. 故選B.,2一定是直角三角形嗎,3.(2017天津紅橋期中)如圖1-2-1,四邊形ABCD中,AB=4 cm,

6、BC=3 cm,CD=12 cm,DA=13 cm,且ABC=90,則四邊形ABCD的面積為() 圖1-2-1 A.6 cm2B.30 cm2C.24 cm2D.36 cm2,2一定是直角三角形嗎,2一定是直角三角形嗎,知識(shí)點(diǎn)二勾股數(shù) 4.下列四組數(shù):(1)0.6,0.8,1;(2)5,12,13;(3)8,15,17;(4)4,5,6,其中是勾股數(shù)的組數(shù)為() A.1B.2C.3D.4,答案B(1)中0.6,0.8不是整數(shù);(2)中52+122=132;(3)中82+152=172;(4)中42+5262.故有2組勾股數(shù).,2一定是直角三角形嗎,5.能夠成為直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為

7、勾股數(shù),觀察下面的幾組勾股數(shù): 由勾股數(shù)3、4、5有32=9=4+5=212+5; 由勾股數(shù)5、12、13有52=25=12+13=223+13; 由勾股數(shù)7、24、25有72=49=24+25=234+25; 由勾股數(shù)9、40、41有92=81=40+41=245+41. 可以發(fā)現(xiàn),在一組勾股數(shù)中,當(dāng)最小的數(shù)為奇數(shù)時(shí),它的平方恰好等于另外兩數(shù)之和,用關(guān)于n的代數(shù)式表示第n組的勾股數(shù)應(yīng)為、.,2一定是直角三角形嗎,答案2n+1;2n(n+1);2n2+2n+1,解析題中4個(gè)式子中的第1個(gè)數(shù)分別有如下的特點(diǎn):3=21+1,5=22+1,7=23+1,9=24+1.這幾個(gè)式子中,等號(hào)右邊的第2個(gè)數(shù)

8、1、2、3、4分別為相應(yīng)的勾股數(shù)的組序號(hào),由此可以知道第n組的最小數(shù)為2n+1.題中各式右邊加號(hào)前后的數(shù)分別為相應(yīng)勾股數(shù)的第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù),觀察規(guī)律可以知道,各勾股數(shù)的最小數(shù)的平方恰好等于另外兩個(gè)數(shù)之和.因此,設(shè)第n組的最小數(shù)為2n+1,第2個(gè)數(shù)為2n(n+1),即2n(n+1).由于最小數(shù)的平方恰好等于另外兩個(gè)數(shù)之和,所以第3個(gè)數(shù)為(2n+1)2-2n(n+1) =2n2+2n+1.,2一定是直角三角形嗎,1.下列長度的線段中,能構(gòu)成直角三角形的是() A.4,5,6B.1,1,2C.6,8,10D.5,20,23,答案C因?yàn)?2+5262,12+1222,62+82=102,52+202

9、232,所以長度為6,8,10的線段能構(gòu)成直角三角形.,2一定是直角三角形嗎,2.五根小木棒,其長度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形,其中正確的是(),答案CC選項(xiàng)中,滿足152+202=252,72+242=252, 有兩個(gè)直角三角形.,2一定是直角三角形嗎,3.如果a,b,c是一組勾股數(shù),且a,b,c沒有大于1的公因數(shù),那么我們稱這一組勾股數(shù)為基礎(chǔ)勾股數(shù),如:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41都是基礎(chǔ)勾股數(shù).觀察這些基礎(chǔ)勾股數(shù),你發(fā)現(xiàn)各數(shù)組中的勾與股及其積各有何特點(diǎn)?勾、股、弦三者的積有何特點(diǎn)?寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)果.,解析勾與股必為一奇一偶,

10、勾與股的積能被4整除,勾、股、弦三者的積能被60整除.,2一定是直角三角形嗎,1.(2017安徽滁州全椒期中)已知ABC中,a、b、c分別為A、B、 C的對(duì)邊,則下列條件:a=4,b=7,c=8;a2b2c2=132;A BC=345;A=2B=2C.其中能判斷ABC是直角三角形的有() A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè),2一定是直角三角形嗎,答案Ca2+b2=,c2=,a2+b2=c2,此三角形 是直角三角形; a2b2c2=132,設(shè)a2=x(x0),則b2=3x,c2=2x,x+2x=3x,a2+ c2=b2,此三角形是直角三角形;ABC=345,設(shè)A=3x,則B=4x,C=5x,A+B

11、+C=180,3x+4x+5x=180,解得x=15,A=45,B=60,C=75,此三角形不是直角三角形; A=2B=2C,設(shè)B=C=x,則A=2x,x+x+2x=180,解得x=45,A=2x=90,此三角形是直角三角形.故選C.,2一定是直角三角形嗎,2.設(shè)一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊上的高為h,斜邊長為c,則以c+h,a+b,h為邊長的三角形是() A.直角三角形B.銳角三角形 C.鈍角三角形D.不能確定,答案A利用等面積法可確定ab=ch,則(a+b)2+h2=a2+2ab+b2+h2=c2+ 2ch+h2=(c+h)2,所以以c+h,a+b,h為邊長的三角形是直角

12、三角形,故選A.,2一定是直角三角形嗎,3.閱讀以下解題過程: 已知a,b,c為ABC的三邊長,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷ABC的形狀. 錯(cuò)解:a2c2-b2c2=a4-b4, c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2), c2=a2+b2. ABC為直角三角形. (1)上述解題過程,從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫出該步的代號(hào); (2)錯(cuò)誤的原因是; (3)本題正確的結(jié)論是.,2一定是直角三角形嗎,答案(1)(2)不能確定a2-b2是否為0(3)等腰三角形或直角三角形,解析c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),由c2(a2-b2)-(a2-b2)(a2+b2)=

13、0得到(a2-b2)c2-(a2+b2)=0,a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0,即a=b或a2+b2=c2,三角形ABC為等腰三角形或直角三角形,故從第步開始錯(cuò)誤,其原因是不能確定a2- b2是否為0.,2一定是直角三角形嗎,如圖,某工廠C前面有一條筆直的公路,原來有兩條路AC,BC可以從工廠C到達(dá)公路,經(jīng)測量AC=600 m,BC=800 m,AB=1 000 m,現(xiàn)需要修建一條路,使工廠C到公路的路最短,請(qǐng)你幫工廠C的負(fù)責(zé)人設(shè)計(jì)一種方案,并求出新建的路的長.,2一定是直角三角形嗎,2一定是直角三角形嗎,一、選擇題 1.(2017廣東深圳展華實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中,4,)下列各組數(shù)中,是勾股數(shù)

14、的是() A.12,8,5B.30,40,50 C.9,13,15D.,答案B52+82122,選項(xiàng)A不符合題意;302+402=502,選項(xiàng)B符合題意;92+132152,選項(xiàng)C不符合題意;D中各數(shù)不是正整數(shù),選項(xiàng)D不符合題意.故選B.,2一定是直角三角形嗎,二、解答題 2.(2017廣東深圳錦華實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考,21,)如圖1-2-2,若小方格的邊長為1,請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí): (1)求ABC的面積; (2)判斷ABC是什么形狀,并說明理由. 圖1-2-2,2一定是直角三角形嗎,解析(1)ABC的面積=48-18-23-64=13.故ABC的面積為13. (2)小方格的邊長為1, AC2=12+

15、82=65,AB2=32+22=13,BC2=62+42=52. 在ABC中,AB2+BC2=13+52=65,AC2=65, AB2+BC2=AC2, ABC是直角三角形.,2一定是直角三角形嗎,1.(2017湖北孝感云夢期中,6,)下列幾組數(shù):6,8,10;7,24,25;9,12,15;n2-1,2n,n2+1(n是大于1的正整數(shù)),其中是勾股數(shù)的有() A.1組B.2組C.3組D.4組,答案D62+82=100=102,6、8、10是勾股數(shù);72+242=252, 7,24,25是勾股數(shù);92+122=152,9,12,15是勾股數(shù);(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,n2-1

16、,2n,n2+1(n是大于1的正整數(shù))是勾股數(shù).故選D.,2一定是直角三角形嗎,2.(2017江蘇蘇州吳江期中,14,)三角形的三邊長為a,b,c,且滿足(a+b)2=c2+2ab,則這個(gè)三角形是.,答案直角三角形,解析化簡(a+b)2=c2+2ab,得a2+b2=c2,所以該三角形是直角三角形.,2一定是直角三角形嗎,選擇題 1.(2016四川雅安中考,1,)若三角形的三邊長為下列各組數(shù):5, 12,13;11,12,15;9,40,41;15,20,25,則其中直角三角形有() A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè),答案C52+122=132,112+122152,92+402=412,152

17、+202=252,符合題意.,2一定是直角三角形嗎,2.(2015廣西桂林中考,8,)下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是() A.30,40,50B.7,12,13 C.5,9,12D.3,4,6,答案AA.302+402=502,該組線段能構(gòu)成直角三角形,故正確;B. 72+122132,該組線段不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤;C.52+92122, 該組線段不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤;D.32+4262,該組線段不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤.故選A.,2一定是直角三角形嗎,(2013內(nèi)蒙古包頭中考改編,20,)如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),連接AE、BE、CE,ABECBE.若AE=1,

18、BE=2,CE=3,則BEC=度.,2一定是直角三角形嗎,解析連接EE, ABECBE,AE=CE,BE=BE,ABE=CBE, EBE是直角,EBE是直角三角形,BEE=BEE=45,AE=1,BE=2,BE=2,EC=1.EE2=22+22=8,CE=1,EC=3,EC2=EC2+EE2, EEC是直角三角形,EEC=90,BEC=135.,答案135,2一定是直角三角形嗎,王老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中設(shè)計(jì)了如下數(shù)表:,(1)請(qǐng)你分別觀察a、b、c與n之間的關(guān)系,并用含自然數(shù)n(n1)的代數(shù)式表示a、b、c; (2)猜想:以a、b、c為邊長的三角形是不是直角三角形?請(qǐng)證明你的猜想.,2一定是直角三角形嗎,解析(1)由題表可以得出: n=2時(shí),a=22-1,b=22,c=22+1; n=3時(shí),a=32-1,b=23,c=32+1; n=4時(shí),a=42-1,b=24,c=42+1; a=n2-1,b=2n,c=n2+1. (2)以a、b、c為邊長的三角形是直角三角形. 證明:a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4+2n2+1, c2=(n2+1)2=n4+2n2+1, a2+b2=c2, 以a、b、c為邊長的三角形是直角三角形.,2一定是直角三角形嗎,(2013貴州貴陽中考改編)在ABC中,