1、2.3函數(shù)的奇偶性與周期性,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,1.函數(shù)的奇偶性,f(-x)=f(x),y軸,f(-x)=-f(x),原點(diǎn),知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,2.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì) (1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|). (2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. (3)在公共定義域內(nèi)有:奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù). (4)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=0.,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1

2、,3.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù):T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則需滿足的條件:T0; 對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè),那么這個(gè)就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函數(shù)y=f(x)(xR)的一個(gè)周期,則nT(nZ,且n0)也是函數(shù)f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,f(x+T)=f(x),最小的正數(shù),最小正數(shù),知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,4.函數(shù)周期性的常用結(jié)論 對(duì)函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a. (4)若f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則

3、T=2a. (5)若f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則T=4a. (6)若函數(shù)的圖象關(guān)于兩條直線x=a,x=b對(duì)稱,則T=2|a-b|. (7)若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對(duì)稱,則T=2|a-b|. (8)若函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)M(b,0)對(duì)稱,則T=4|a-b|.,2,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)函數(shù)y=x2,x(0,+)是偶函數(shù). () (2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0. () (3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱;若函數(shù)y=f(x+b

4、)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱. () (4)若函數(shù)f(x),g(x)是定義域相同的偶函數(shù),則F(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù). () (5)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若f(x)在區(qū)間(-,0)內(nèi)是減函數(shù),則f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)是增函數(shù). () (6)若T為y=f(x)的一個(gè)周期,則nT(nZ)是函數(shù)f(x)的周期. (),答案,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,2.已知f(x)=ax2+bx是定義在區(qū)間a-1,2a上的偶函數(shù),則a+b的值是(),答案,解析,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,3.定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y=x3,

5、y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是() A.4B.3C.2D.1,答案,解析,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,4.(教材習(xí)題改編P39T6)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x(1+x),則當(dāng)x0時(shí),f(x)=.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,5.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)=2x3+x2,則f(2)=.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù).定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件. 2.若

6、函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在x=0處有定義,則有f(0)=0. 3.根據(jù)周期函數(shù)的定義,函數(shù)的周期應(yīng)是一個(gè)非零常數(shù).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例1判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=x3-x;,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 因?yàn)楹瘮?shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù). (3)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 當(dāng)x0時(shí),-x0,此時(shí)f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x

7、). 故對(duì)于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x).即函數(shù)f(x)為奇函數(shù).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例2設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是() A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 思考判斷函數(shù)的奇偶性要注意什么?,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得判斷函數(shù)奇偶性的方法: (1)定義法.利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價(jià)形式: =1(f(x)0)判斷函數(shù)的奇偶性. (2)圖象法.利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性判斷函數(shù)

8、的奇偶性. (3)性質(zhì)法.設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,則在它們的公共定義域上,有下面結(jié)論:,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(),D,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,B錯(cuò),y=ex是非奇非偶函數(shù); C錯(cuò),y=cos x是偶函數(shù); D中,令y=f(x),f(-x)=e-x-e-(-x)=-(ex-e-x)=-f(x), D為奇函數(shù),故選D.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(4)已知函數(shù)g(x)是定義在區(qū)間-2,2上的偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),g(x)單調(diào)遞減,若g(1-m)g(m),求m的取值范圍. 思考函數(shù)的奇偶性

9、有哪幾個(gè)方面的應(yīng)用?,答案,例3(1)若f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)=x3-8,則x|f(x-2)0=() A.x|-22B.x|04 C.x|x2,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,經(jīng)檢驗(yàn),a=1時(shí),f(x)為偶函數(shù),解析:(1)當(dāng)x=2時(shí),有f(2)=0,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-2)=0,作出f(x)的大致圖象,由圖象可知,當(dāng)-22,即04時(shí),有f(x-2)0,故選B.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得函數(shù)奇偶性應(yīng)用的類型及解法 (1)求函數(shù)值 將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解. (2)求解析式 先將待求區(qū)間上的自

10、變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式. (3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值. (4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性 利用奇偶性可畫出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知f(x)滿足對(duì)任意xR,f(-x)+f(x)=0,且當(dāng)x0時(shí),f(x)=ex+m(m為常數(shù)),則f(-ln 5)的值為() A.4B.-4C.6D.-6 (2)(2018安徽合肥月

11、考)已知函數(shù)f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,則f(-a)的值為() A.3B.0C.-1D.-2 (3)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,f(2)=0,若f(x-1)0,則x的取值范圍是.,(4)設(shè)a,bR,且a2,若定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg 是奇函數(shù),則a+b的取值范圍為.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解析:(1)由題意知函數(shù)f(x)是奇函數(shù).因?yàn)閒(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-ln 5)=-f(ln 5)=-eln 5+1=-5+1=-4,故選B. (2)設(shè)F(x)=f(x)-1=x3+sin x,顯然F(x

12、)為奇函數(shù), 又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1, 從而f(-a)=0.故選B. (3)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)=f(|x|). 所以f(x-1)0可化為f(|x-1|)f(2). 又f(x)在區(qū)間0,+)內(nèi)單調(diào)遞減, 所以|x-1|2,解得-2x-12,即-1x3.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(4)因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-b,b)內(nèi)是奇函數(shù),例4(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3x-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1x3時(shí),f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)等于 () A.

13、335B.336C.1 678D.2 012 (2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)=- ,當(dāng)2x3時(shí),f(x)=x,則f(105.5)=. 思考函數(shù)的周期性主要的應(yīng)用是什么?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解析:(1)f(x+6)=f(x),函數(shù)f(x)的周期T=6. 當(dāng)-3x-1時(shí),f(x)=-(x+2)2; 當(dāng)-1x3時(shí),f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1.,又f(2 016)=f(

14、0)=0, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)=336.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,函數(shù)f(x)的周期為4. f(105.5)=f(427-2.5) =f(-2.5)=f(2.5). 22.53,f(2.5)=2.5. f(105.5)=2.5.,解題心得利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題,轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的相應(yīng)問題進(jìn)行求解.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).若當(dāng)x-3,0時(shí),f(x)=6-x,則f(919)=. (2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若對(duì)于x

15、0,都有f(x+2)=- ,且當(dāng)x0,2)時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(-2 013)+f(2 015)=.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例5(1)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且f(x+1)=-f(x),若f(x)在區(qū)間-1,0上是減函數(shù),則f(x)在區(qū)間1,3上是() A.增函數(shù)B.減函數(shù) C.先增后減的函數(shù)D.先減后增的函數(shù),(2)(2018全國,文12)已知f(x)是定義域?yàn)?-,+)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=() A.-50B.0C.2D.50 思考解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性

16、、周期性綜合問題的策略有哪些?,D,C,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解析: (1)由f(x)在-1,0上是減函數(shù),又f(x)是R上的偶函數(shù),故f(x)在0,1上是增函數(shù). 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期. 結(jié)合以上性質(zhì),畫出f(x)的部分草圖,如圖所示.,由圖象可以觀察出,f(x)在1,2上為減函數(shù),在2,3上為增函數(shù).故選D.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(2)f(-x)=f(2+x)=-f(x), f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x). f(x)的周期為4.f(x)為奇函數(shù),f

17、(0)=0. f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0), f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略: (1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反. (2)周期性與奇偶性結(jié)合.此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的定義域內(nèi)求解. (3)周期性、奇偶性與單調(diào)

18、性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,再利用奇偶性和單調(diào)性求解.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,答案,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,則f(2 014)的值為() A.2B.0C.-2D.2,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解析:(1)g(-x)=f(-x-1),-g(x)=f(x+1). 又g(x)=f(x-1), f(x+1)=-f(x-1). f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),則f(x)是以4為周期的周期函數(shù), f(2 018)=f(2)=2.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,令f(x)=0,則x2-x+1=1,解得x=1. 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù), f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5), f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0, 又函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù), 函數(shù)f(x)在區(qū)間0,6上的零點(diǎn)為0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9個(gè), 故選D.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,1.正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,必須把握好兩個(gè)問題:(1)“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)”的必要不充分條件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x