1、 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù) : 先求收斂半徑,再討論, 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù),通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,直接用比值法或根值法,處的斂散性 .,求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法,例5 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：,解 1考慮級(jí)數(shù) 及 ，容易得到，收,斂域分別 及 ，故原級(jí)數(shù)的收斂域,為 ,易知一般項(xiàng)趨于零，注意到,因,即得級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為 ,當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為 是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，,上述級(jí)數(shù)變?yōu)?故數(shù)列 當(dāng) 時(shí)單調(diào)減少，從而由交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法,知此時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，由于,當(dāng) 時(shí)，,故此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散因此原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,解: 因,故收斂區(qū)間為,級(jí)數(shù)收斂;,一般項(xiàng),不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散;,分析: 級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)

2、用公式求收斂半徑,可由比值審斂法求收斂半徑.,例6.,解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù),極限不存在, 原級(jí)數(shù) =, 其收斂半徑,注意:, 求部分和式極限,求和, 映射變換法,逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分,對(duì)和式積分或求導(dǎo),直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和, 再代值,求部分和等, 初等變換法: 分解、套用公式,（在收斂區(qū)間內(nèi)）, 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和,冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法,常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù),例7 求下列函數(shù)的和函數(shù)：,解 法1,1 ； 2 ,為 ，設(shè)其和函數(shù)為 ，則,易求出級(jí)數(shù)的收斂域,根據(jù)冪級(jí)數(shù)性質(zhì)，有,因此,法2,顯然 x = 0 時(shí)上式也正確,故和函數(shù)為,而在,x0,級(jí)數(shù)發(fā)散,記

3、,則,法1 顯然冪級(jí)數(shù) 收斂域?yàn)?， 當(dāng),時(shí)，令,故,因 ，且 ，故,法2,顯然 x = 0 時(shí), 和為 0 ;,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有,x = 1 時(shí),級(jí)數(shù)也收斂 .,即得,例8. 求冪級(jí)數(shù),法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?法2,先求出收斂區(qū)間,則,設(shè)和函數(shù)為, 直接展開(kāi)法, 利用泰勒公式,函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法,(1) f (x) 展開(kāi)成,的冪級(jí)數(shù)，,(2) f (x) 展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù),“ f (x) 展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)”步驟：,第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;,第二步 寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ;,第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi),是否為0.,如果為零，,則函數(shù) f (x) 在收斂區(qū)間內(nèi)展開(kāi)成 x 的冪級(jí),數(shù)為, 間接展開(kāi)法, 利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì),2