1、第三章 隨機(jī)信號(hào)的描述,（Random Signal Representation）,信號(hào)可分為確定性信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)。在數(shù)字信號(hào)處理中，隨機(jī)信號(hào)的處理有重要的意義，因?yàn)殡S機(jī)信號(hào)的普遍存在的，如信號(hào)的任何實(shí)際測(cè)量都會(huì)帶來隨機(jī)干擾。在很多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域，消除隨機(jī)信號(hào)的干擾，提取被掩埋于其中的確定成分是根本的任務(wù)。還因?yàn)殡S機(jī)信號(hào)處理技術(shù)在信號(hào)處理領(lǐng)域作為一種強(qiáng)有力的工具使用。在實(shí)際應(yīng)用中要區(qū)別的是隨機(jī)性與非線性，隨機(jī)信號(hào)與非線性信號(hào)。應(yīng)該注意的是，在信號(hào)處理中作為一種工具使用的偽隨機(jī)數(shù)或偽隨機(jī)信號(hào)，是由計(jì)算機(jī)用非線性算法產(chǎn)生的非線性信號(hào)，“偽”的真實(shí)意義即在于此(貌似隨機(jī)實(shí)為確定)。,第一節(jié) 隨機(jī)信號(hào)

2、（Random Signal）,確定性信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)是信號(hào)處理技術(shù)中涉及的兩大類信號(hào)。所謂確定性信號(hào)，就是其每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的值可以用某個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖表唯一地確定的信號(hào)。所謂隨機(jī)信號(hào)就是不能用一個(gè)確切的數(shù)學(xué)公式來描述，因而也不能準(zhǔn)確地與以預(yù)測(cè)的信號(hào)。換句話來說，隨機(jī)信號(hào)只能用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行描述，只能在一定的準(zhǔn)確性（accuracy）或可信性（confidence）范圍內(nèi)進(jìn)行預(yù)測(cè)。,一、隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì) 1. 隨機(jī)信號(hào)中的任何一個(gè)點(diǎn)上的取值都是不能先驗(yàn)確定的隨機(jī)變量。 以最簡(jiǎn)單的拋硬幣實(shí)驗(yàn)為例，每次拋擲結(jié)果有兩種可能的狀態(tài)，一是硬幣的正面朝上，另一是硬幣的反面朝上。如果把正面朝上用x=+1表示，反面

3、朝上用x=-1表示，連續(xù)地拋擲，可以得到一個(gè)由+1和-1組成的一個(gè)序列x(n)，如圖3-1所示。,圖3-1 拋硬幣得到的隨機(jī)樣本序列,2.隨機(jī)信號(hào)可以用它的統(tǒng)計(jì)平均特征來表征 雖然上述拋硬幣實(shí)驗(yàn)所得到的隨機(jī)序列在任何n點(diǎn)上都無法事先預(yù)料確定的結(jié)果，但人們經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐和深入研究之后發(fā)現(xiàn)，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)或者觀察下，它的結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)某種規(guī)律性。表3-1是歷史上幾位著名學(xué)者的實(shí)驗(yàn)記錄。,由表3-1可以看出，隨著拋擲次數(shù)的增加，比值m/n在1/2附近擺動(dòng)，而且總是在1/2附近擺動(dòng)。這種在個(gè)別實(shí)驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)不確定性，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中其結(jié)果又具有規(guī)律性的現(xiàn)象，稱之為隨機(jī)現(xiàn)象，大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)的固有規(guī)律

4、稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)特征。,二、隨機(jī)過程的普遍存在性 隨機(jī)信號(hào)或隨機(jī)過程(random process)是普遍存在的。一方面，任何確定性信號(hào)經(jīng)過測(cè)量后往往就會(huì)引入隨機(jī)性誤差而使該信號(hào)隨機(jī)化；另一方面，任何信號(hào)本身都存在隨機(jī)干擾，通常把對(duì)信號(hào)或系統(tǒng)功能起干擾作用的隨機(jī)信號(hào)稱之為噪聲。噪聲按功率譜密度劃分可以分為白噪聲（white noise）和色噪聲（color noise），我們把均值為0的白噪聲叫純隨機(jī)信號(hào)（pure random signal）。,第二節(jié) 隨機(jī)信號(hào)的古典表示法,(Classical Statistical Method),對(duì)于一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，雖然我們不能確定它的每個(gè)時(shí)刻的值，但

5、可以從統(tǒng)計(jì)平均的角度來認(rèn)識(shí)它。我們可以知道它在每個(gè)時(shí)刻可能取哪幾種值和取各種值的概率是多少，以及各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上取值的關(guān)聯(lián)性。因此，如果已經(jīng)知道了它的概率分布，我們就認(rèn)為對(duì)這個(gè)隨機(jī)信號(hào)在統(tǒng)計(jì)意義上有了充分的了解。而隨機(jī)過程的各種統(tǒng)計(jì)特征量分別從各個(gè)側(cè)面間接反映了概率分布特性。,一、概率分布函數(shù) 1. 一維概率分布函數(shù) 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量,用來表示它的概率分布函數(shù)，則有： (3-1) 如果的取值是離散的，則用來表示概率密度函數(shù)： (3-2) 表示取某一值的概率。例如前面拋擲硬幣的例子，只有兩種可能的值：1和1，如果1的概率為p，則1的概率為（1p）。兩者之間的關(guān)系為： (3-3) 圖3-2表示了這個(gè)隨

6、機(jī)變量的概率分布函數(shù)及概率密度函數(shù)。,圖3-2拋擲硬幣的概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù),2. 二維概率分布函數(shù) 如果我們要描述一個(gè)隨機(jī)過程中的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)（n1與n2）上的隨機(jī)變量和之間的關(guān)系，可以用二維聯(lián)合概率分布函數(shù)來表示： (3-4) 它表示同的聯(lián)合概率。 二維聯(lián)合概率分布函數(shù)的二階偏微分對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)： (3-5) 它代表取值同時(shí)取值的聯(lián)合概率。 從隨機(jī)變量和的二維聯(lián)合概率密度可以求得和各自的一維概率密度以及條件概率密度。因此二維聯(lián)合概率密度不僅蘊(yùn)涵了一維概率密度，而且蘊(yùn)涵了條件概率密度。 當(dāng)隨機(jī)變量和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)則有： (3-6),3. 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 如果隨機(jī)信號(hào)的概率特性

7、不隨時(shí)間變化而變化，則稱為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。完全平穩(wěn)的要求是非?？量痰?。一般可使用較弱的條件：即用m階平穩(wěn)來描述一個(gè)隨機(jī)過程，階數(shù)越高，越接近平穩(wěn)。 一階平穩(wěn)過程( first order stable process )：信號(hào)的平均值與t無關(guān)的過程叫一階平穩(wěn)過程（m=1）。二階平穩(wěn)過程：二階（m=2）平穩(wěn)過程需滿足：（1）信號(hào)的平均值與t無關(guān)；（2）信號(hào)的均方值與t無關(guān)；（3）信號(hào)的協(xié)方差只是時(shí)間間隔的函數(shù)，而與時(shí)間原點(diǎn)的選擇無關(guān)。 如果過程是高斯過程，則二階平穩(wěn)意味著完全平穩(wěn)。因此，以后我們至少把二階平穩(wěn)過程叫準(zhǔn)平穩(wěn)過程或廣義平穩(wěn)過程。今后我們所提到的平穩(wěn)隨機(jī)過程均認(rèn)為是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。,二

8、、統(tǒng)計(jì)特征量 1.數(shù)學(xué)期望（均值） 隨機(jī)變量的均值用表示定義為： (3-7) 如果是電壓或者電流，均值可理解為第n點(diǎn)上電壓或電流的“直流分量”。 2.均方值 隨機(jī)變量的均方值定義為： (3-8) 如果是電壓或者電流，均方值可理解為在第n點(diǎn)上電壓或電流在1歐姆電阻上的“平均功率”。 3.方差 隨機(jī)變量的方差定義為： (3-9) 如果是電壓或者電流，方差可以理解為電壓或者電流的起伏分量在1歐姆電阻上消耗的平均功率。 利用（36）容易得到方差、均值、均方值的關(guān)系： (3-10) 以上三個(gè)特征量?jī)H與一維概率密度有關(guān)。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，方差、均值、均方值都是與時(shí)間無關(guān)的常熟，可以將時(shí)間坐標(biāo)省去，今后將用

9、和來表示均值與方差。,4.協(xié)方差 一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自協(xié)方差定義為： (3-11) 對(duì)于兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程xn和yn的互協(xié)方差定義為： (3-12) 5.相關(guān)函數(shù) 一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)中的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)變量和之間的自相關(guān)函數(shù)定義為： (3-13) 對(duì)于兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程xn和yn的互相關(guān)函數(shù)定義為： (3-14) 自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差是衡量隨機(jī)過程在不同時(shí)刻上的隨機(jī)變量之間的相關(guān)性的量，利用(3-11)和(3-13)可以看出兩者有如下關(guān)系： (3-15) 兩者只相差一個(gè)常數(shù)，它們之間沒有本質(zhì)上的區(qū)別。 互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差是衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)過程xn和yn的隨機(jī)變量間的相關(guān)性，利用(3-12)和(3-1

10、4)可以看出兩者有如下關(guān)系： (3-16) 相關(guān)函數(shù)或者協(xié)方差是與二維概率分布有關(guān)的統(tǒng)計(jì)特性，也隱含了一維特征量，因此相關(guān)函數(shù)或協(xié)方差是表征一個(gè)隨機(jī)過程的最重要的統(tǒng)計(jì)特性。,三、各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào) 上面我們討論了一些統(tǒng)計(jì)特征量的定義與求法，都需要預(yù)先知道一維、二維概率分布，在實(shí)際上這是不現(xiàn)實(shí)的。雖然用無窮多個(gè)平行樣本序列（集合）的平均得到的統(tǒng)計(jì)特性傾于統(tǒng)計(jì)平均，但要對(duì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程獲得很多的平行樣本序列在實(shí)際中也是很困難的。 由于平穩(wěn)隨機(jī)過程的概率分布不隨時(shí)間的平移而變化，全體集合的平均就可以用無窮時(shí)間的平均來代替，這就是各態(tài)遍歷假設(shè)。 各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)（ergodic random sign

11、al）是指所有樣本函數(shù)在某給定時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性與單一樣本函數(shù)在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。,對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機(jī)過程，如果我們測(cè)得該過程的一個(gè)樣本值，就可以計(jì)算出以下的一些樣本數(shù)字特征，可以用它們來估計(jì)統(tǒng)計(jì)特征量： 1.樣本平均值 (3-17) 2.樣本均方值 (3-18) 3.樣本方差 (3-19) 4.樣本協(xié)方差 (3-20) 是另外一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的樣本，是它的樣本平均值，當(dāng)與相同時(shí)，上式求到的就是樣本自協(xié)方差。 5.樣本相關(guān)函數(shù) (3-21),【例3-1】圖3-3所示是隨機(jī)產(chǎn)生的符合高斯分布的100點(diǎn)樣本序列，并且均值為零，方差為1。討論該信號(hào)的樣本特征量。 解我們用樣本統(tǒng)

12、計(jì)法來估計(jì)這一個(gè)樣本的數(shù)字特征量，有：,圖3-3一段100點(diǎn)的隨機(jī)樣本序列,由樣本得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果和隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征值是不同的，因而我們能得到的只是一些估計(jì)值。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差應(yīng)該只相差一個(gè)常數(shù)，但是用樣本估計(jì)時(shí)，它們的差值是變化的量，如圖3-4所示。當(dāng)m0時(shí)，有最大的自相關(guān)和自協(xié)方差，這個(gè)很容易理解，也即當(dāng)信號(hào)沒有平移時(shí)相似性最大。,圖3-4上、中、下分別是自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)以及這兩個(gè)信號(hào)的差,第三節(jié) 隨機(jī)信號(hào)的現(xiàn)代建模法,（Modern Modeling Method for Signal）,為隨機(jī)信號(hào)建立參數(shù)模型是研究隨機(jī)信號(hào)的一種基本方法，其含義是認(rèn)為隨機(jī)信號(hào)是由白噪激

13、勵(lì)某一確定系統(tǒng)的響應(yīng)（如圖3-5）。只要白噪的參數(shù)確定了，研究隨機(jī)信號(hào)就可以轉(zhuǎn)化成研究產(chǎn)生隨機(jī)信號(hào)的系統(tǒng)。,圖3-5隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型,經(jīng)典信號(hào)建模法（classical modeling method for signal）前面已經(jīng)指出，醫(yī)學(xué)信號(hào)處理的目的是提取包含于隨機(jī)信號(hào)中的確定性成分，以便在一定的準(zhǔn)確性（最小二乘意義）上進(jìn)行預(yù)測(cè)。這就是建立各種各樣的確定性數(shù)學(xué)模型，包括代數(shù)、微分、積分、差分方程模型。這是經(jīng)典的信號(hào)建模方法。 信號(hào)的現(xiàn)代建模方法（Modern modeling method for signal）是建立在具有最大的不確定性基礎(chǔ)上的預(yù)測(cè)。提出了眾多的數(shù)學(xué)模型( mathe

14、matical models)。根據(jù)Wold的證明：任何平穩(wěn)的ARMA（自回歸移動(dòng)平均）模型或MA模型均可用無限階或階數(shù)足夠的AR模型去近似。因此本節(jié)著重介紹AR模型的基本原理和方法。 對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，三種常用的線性模型分別是AR模型（自回歸模型Auto-regression model），MA模型（滑動(dòng)平均模型Moving average model）和ARMA模型（自回歸滑移平均模型Auto-regression-Moving average model）。,一、MA模型 隨機(jī)信號(hào) 由當(dāng)前激勵(lì) 和若干次過去激勵(lì) 線性組合產(chǎn)生： (3-22) 該模型的系統(tǒng)函數(shù)是： (3-23) 表示系統(tǒng)階數(shù)

15、，系統(tǒng)函數(shù)只有零點(diǎn)，沒有極點(diǎn)，所以該系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的系統(tǒng)，也稱為全零點(diǎn)模型，用MA（q）來表示。 二、AR模型 隨機(jī)信號(hào)由本身的若干次過去值和當(dāng)前的激勵(lì)值線性組合產(chǎn)生： (3-24a) 該模型的系統(tǒng)函數(shù)是： (3-24b) p是系統(tǒng)階數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)中只有極點(diǎn)，無零點(diǎn)，也稱為全極點(diǎn)模型，系統(tǒng)由于極點(diǎn)的原因，要考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因而要注意極點(diǎn)的分布位置，用AR（p）來表示。,三、ARMA模型 ARMA是AR與MA模型的結(jié)合： (3-25) 該模型的系統(tǒng)函數(shù)是： (3-26) 它既有零點(diǎn)又有極點(diǎn)，所以也稱極零點(diǎn)模型，要考慮極零點(diǎn)的分布位置，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，用ARMR（p，q）表示。 在隨機(jī)信號(hào)時(shí)域分析中，提出了許多數(shù)學(xué)模型用來由已知在最大不確定原則下預(yù)測(cè)將來值，其優(yōu)點(diǎn)是只需要很少的已知值。但是它不能用在信號(hào)是確定性的場(chǎng)合，在確定信號(hào)的情況下，信號(hào)是由確定的數(shù)學(xué)方程預(yù)測(cè)的。這點(diǎn)要特別注意。例如，如果我們用心電的R波升支作已知數(shù)據(jù)進(jìn)行