1、2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,1,第八章 非線性控制系統(tǒng),8.1 非線性控制系統(tǒng)概述 8.2 相平面法 8.3 描述函數(shù)法,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,2,8.1 非線件控制系統(tǒng)概述,一、為什么研究非線性控制系統(tǒng),理想的線性系統(tǒng)并不存在，實(shí)際系統(tǒng)往往都是非線性系統(tǒng)，只是做了一些合理的假設(shè)以后把他們看成線性系統(tǒng)來處理。但是，這種線性方法并不是在一切情況下都適用的。,系統(tǒng)中的非線性主要存在于兩個(gè)部分,1）控制儀表和傳動(dòng)機(jī)構(gòu),2）對(duì)象本身的特性,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,3,小偏差線性化：,實(shí)質(zhì)：將連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)在平衡工作點(diǎn)（x0 y0）展開為泰勒級(jí)數(shù)

2、：,增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，則有,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,4,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以直接導(dǎo)出此系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為,非線性項(xiàng),這是一輸入為零，輸出量為擺幅的二階非線性微分方程。當(dāng)控制系統(tǒng)處在自動(dòng)調(diào)節(jié)狀態(tài)的小擺幅下運(yùn)行時(shí)，可應(yīng)用小偏差線性化方法將非線性系統(tǒng)線性化。,平衡狀態(tài)為,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,5,小偏差線性化條件： （1）系統(tǒng)中的變量在某一額定工作點(diǎn)附近做微小變化。 （2）非線性特性在此工作點(diǎn)可導(dǎo)，也就是曲線光滑。,在許多情況下，上述條件并不能夠滿足，如：存在有本質(zhì)非線性情況。,1、飽和特性,放大器等很多元件都具有飽和特性,2、死區(qū)特性,測(cè)量元件，電機(jī)等都有死區(qū),

3、2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,6,3、間隙特性,齒輪間隙是典型的間隙特性,4、繼電器特性,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,7,二、非線性控制系統(tǒng)的特點(diǎn),2、穩(wěn)定性分析復(fù)雜。,1、非線性系統(tǒng)的重要特征是不滿足線性疊加原理。,例：一階非線性系統(tǒng)：,兩個(gè)平衡狀態(tài) ，,其解為,平衡狀態(tài) 是穩(wěn)定的平衡狀態(tài),小范圍穩(wěn)定,平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài),由于描述非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，因此疊加原理不能應(yīng)用。故能否應(yīng)用疊加原理是兩類系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別。,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,8,對(duì)于線性系統(tǒng)，只有一個(gè)平衡狀態(tài)，而且其穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用和初始條

4、件無關(guān)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要考慮各個(gè)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，而且其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性與外作用和初始條件有關(guān)。,總結(jié)：,3、可能存在自激振蕩現(xiàn)象,所謂自激振蕩是指沒有外界周期變化信號(hào)的作用時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。,范德波爾方程,非線性阻尼項(xiàng),2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,9,當(dāng)擾動(dòng)使 時(shí),系統(tǒng)具有負(fù)阻尼,此時(shí)系統(tǒng)從外部獲得能量， 的運(yùn)動(dòng)呈發(fā)散形式,當(dāng)擾動(dòng)使 時(shí),系統(tǒng)具有正阻尼,此時(shí)系統(tǒng)消耗能量 ， 的運(yùn)動(dòng)呈收斂形式,當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)為零阻尼，其運(yùn)動(dòng)呈等幅振蕩形式,系統(tǒng)能克服擾動(dòng)的影響，保持幅值為1的等幅振蕩自持振蕩,非線性系統(tǒng)的自持振蕩

5、,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,10,4、頻率響應(yīng)發(fā)生畸變,非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量(基頻分量)外，還含有關(guān)于 的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。,例：死區(qū)非線性特性,三、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法,(1) 相平面法,相平面法是推廣應(yīng)用時(shí)域分析法的一種圖解分析方法。該方法既能提供穩(wěn)定性信息，又能提供時(shí)間響應(yīng)信息，特別適用于分析非線性系統(tǒng)在不同初始條件下或非周期信號(hào)輸入(脈沖、階躍、斜坡等)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)特性。但相平面法只限于一階、二階系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。,(2) 描述函數(shù)法,描述函數(shù)法是基于頻域分析法和非線性特性諧波線性化的一種圖解分析方法。特別適

6、用于分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩 。,(3) 逆系統(tǒng)法,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,11,常見的本質(zhì)非線性,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,12,8.2 相平面法,一、相平面的基本概念,描述二階時(shí)不變系統(tǒng)的常微分方程為,是 和 的線性或非線性函數(shù),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相變量(狀態(tài)變量),相平面,（ ， ）直角坐標(biāo)平面稱為相平面,在一定的初始條件 下，求解,相變量從初始時(shí)刻 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)起 ，隨著時(shí)間 的推移，狀態(tài)點(diǎn)在相平面上運(yùn)動(dòng)形成的曲線稱為相軌跡 。,不同的初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)不同的相軌跡相軌跡簇。,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,13,相平面法,根據(jù)相平面圖分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征,20

7、20/9/13,電子信息工程學(xué)院,14,描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程式為,該系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、 為半徑的圓,分離變量積分得：,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,15,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),對(duì)單位階躍輸入,關(guān)于誤差的微分方程為,由給定零初始條件得,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,16,二、相軌跡的性質(zhì)：,（1）相軌跡上每一點(diǎn)斜率,相軌跡斜率,（2）相軌跡的奇點(diǎn),當(dāng)相軌跡同時(shí)滿足 ， 時(shí) ，該點(diǎn)相軌跡的斜率為0/0 ，是一個(gè)不定值，因此通過該點(diǎn)的相軌跡就有無數(shù)多條。,同時(shí)滿足 ， 的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。,如果在一條線上滿足 ， 則該直線為奇線 。,2020/9/13,電子信息工

8、程學(xué)院,17,（3）相軌跡正交于 軸,在 軸上 ，因而除去奇點(diǎn)外，在這些點(diǎn)上的斜率為，這表示相軌跡與相平面的橫軸正交。,（4）相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向,在相平面的上半平面，,隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是 的增大方向，即向右運(yùn)動(dòng)。,在相平面的下半平面，,隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是 的減小方向，即向左運(yùn)動(dòng)。,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,18,三、相軌跡的繪制方法,（1）解析法,（2）等傾線法,直接由微分方程獲得 和 的解析關(guān)系式 。,基本思想：,等傾線：相平面上相軌跡具有相等斜率的點(diǎn)的連線。,該方程給出了相軌跡在相平面上任一點(diǎn) 處切線的斜率。取相軌跡切線的斜率為

9、某一常數(shù) ，得等傾線方程 ：,對(duì)于線性系統(tǒng)，等傾線為直線，非線性系統(tǒng)的等傾線為曲線。,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,19,等傾線方程,，,設(shè) ，等傾線方程為,過原點(diǎn)，斜率 的直線,據(jù)此，求得 取不同值時(shí)的等傾線：,當(dāng) 取不同的值時(shí)，就得到不同斜率的等傾線，在每一條等傾線上作一系列相應(yīng)斜率為 的短線段。,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,20,（3） 法（圓弧近似法）,在繪制相軌跡時(shí)，只要從初始點(diǎn)出發(fā)，沿著方向場(chǎng)依次連接各等傾線上的短線段。就得到系統(tǒng)在確定初始條件下的完整的相軌跡。由圖可見，由任何初始狀態(tài)出發(fā)的相軌跡是一卷向坐標(biāo)原點(diǎn)的螺旋線。,使用等傾線法繪制相軌跡應(yīng)注意：坐標(biāo)軸小和

10、應(yīng)選用相同的比例尺，以便于根據(jù)等傾線斜率準(zhǔn)確繪制等傾線上一點(diǎn)的相軌跡切線；一般地，等傾線分布越密，則所作的相軌跡越準(zhǔn)確。但隨所取等傾線的增加，繪圖工作量增加，同時(shí)也使作圖產(chǎn)生的積累誤差增大。為提高作圖精度，可采用平均斜率法，即取相鄰兩條等傾線所對(duì)應(yīng)的斜率的平均值為兩條等傾線間直線的斜率。,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,21,四、線性系統(tǒng)的相軌跡,一階線性系統(tǒng),一階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程：,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,22,二階線性系統(tǒng),二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程：,對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根,求其等傾線方程：,令,等傾線方程,等傾線斜率為：,兩條特殊的等傾線

11、：,等傾線斜率過等傾線的相軌跡的斜率,當(dāng)相軌跡運(yùn)動(dòng)至特殊的等傾線時(shí)，將沿著等傾線收斂或發(fā)散漸近線,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,23,兩條特殊的等傾線斜率滿足：,二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程 所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根,1、,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,24,2、,奇線,發(fā)散,收斂,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,25,3、,取,（1）,相軌跡是以振蕩的方式卷向平衡點(diǎn),（2）,相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點(diǎn),2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,26,（3）,相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點(diǎn),（4）,相軌跡為等幅振蕩,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,27,（5）

12、,（6）,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,28,（6）,總結(jié)：,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,29,3、奇點(diǎn)與極限環(huán),（1）奇點(diǎn),同時(shí)滿足 ， 的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,30,穩(wěn)定焦點(diǎn),不穩(wěn)定焦點(diǎn),穩(wěn)定節(jié)點(diǎn),不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn),中心點(diǎn),鞍點(diǎn),2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,31,盡量增大此類極限環(huán)的尺寸,盡量減小此類極限環(huán)的尺寸,穩(wěn)定的極限環(huán),不穩(wěn)定的極限環(huán),2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,32,盡量增大此類極限環(huán)的尺寸,盡量避免此類極限環(huán)的存在,半穩(wěn)定的極限環(huán),半穩(wěn)定的極限環(huán),2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,33,非線性系統(tǒng)的相平面分析（針

13、對(duì)于本質(zhì)非線性）,基本思想：分段線性化,繼電型非線性元件特性,開關(guān)線：,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,34,設(shè),在區(qū)內(nèi),系統(tǒng)誤差方程為,等傾線方程,顯然等傾線是平行于 軸的一族直線，因此相軌跡是沿水平方向平移的一族曲線。,漸近線：,令,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,35,在區(qū)內(nèi),系統(tǒng)誤差方程為,兩個(gè)區(qū)域的相平面圖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,等傾線方程,漸近線：,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,36,初始狀態(tài)(1，0),由A點(diǎn)開始，沿相軌跡曲線運(yùn)動(dòng)到開關(guān)線上的銜接點(diǎn)B；進(jìn)入?yún)^(qū)，再從B點(diǎn)開始沿相軌跡曲線運(yùn)動(dòng)到分界線上的銜接點(diǎn)C；然后再進(jìn)入I區(qū)，如此往復(fù)。經(jīng)過如此的往返振蕩，從理論上說系統(tǒng)狀

14、態(tài)最后收斂于原點(diǎn)(0，0)。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)曲線呈衰減振蕩形式，靜態(tài)誤差為零。,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,37,設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入輸出描述為,當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為正弦信號(hào),8.3 描述函數(shù)法,一、描述函數(shù)的基本概念,一般情況下， 為非正弦周期信號(hào)，因而可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)：,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,38,一般本質(zhì)非線性均滿足,當(dāng)系統(tǒng)的線性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性時(shí)，可認(rèn)為 中只有一次諧波分量會(huì)對(duì)輸出產(chǎn)生影響。,非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式。,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,39,非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用有三個(gè)條件：,1、非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式 。,2、非線性元件的特性對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)是奇對(duì)稱的。,3、系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。,2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,40,二、描述函數(shù)的計(jì)算,關(guān)于描述函數(shù)的計(jì)算，具有以下特點(diǎn)：,為奇函數(shù)，且又為半周期內(nèi)對(duì)稱,描述函數(shù)為實(shí)數(shù),2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,41,輸入信號(hào),直流分量為零,繼電特性的描述函數(shù),2020/9/13,電子信息工程學(xué)院,42,典型非線性特性的描述函數(shù) ：,理想繼電特性,有死區(qū)的繼電特性,有滯環(huán)的繼電特性,有死區(qū)與滯環(huán)的繼電特性,2020/9/13,電子信息工程