1、2020/9/11,1,第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程,3-2 集總參數(shù)法,3-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解,2020/9/11,2,第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 Unsteady Heat Conduction,定義：導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)溫度場隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。 特點(diǎn)：溫度隨時(shí)間變化，熱流也隨時(shí)間變化。 自然界和工程上許多導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)，t = f() 例如：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內(nèi)燃機(jī)等裝置起動(dòng)、停機(jī)、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度,2020/9/11,3,非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：周期性和非周期性（瞬態(tài)導(dǎo)熱） 周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在周期性變化邊界

2、條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，物體溫度按一定的周期發(fā)生變化。 非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，物體的溫度隨時(shí)間不斷地升高（加熱過程）或降低（冷卻過程），在經(jīng)歷相當(dāng)長時(shí)間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質(zhì)溫度，最終達(dá)到熱平衡,2020/9/11,4,3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程 1 溫度分布 一平壁初始溫度為t0，令其左側(cè)表面的溫度突然升高到t1，右側(cè)與溫度為t0的空氣接觸。 首先，物體緊挨高溫表面的部分溫度上升很快，經(jīng)過一定時(shí)間后內(nèi)部區(qū)域溫度依次變化，最終整體溫度分布保持恒定，當(dāng)為常數(shù)時(shí)，最終溫度分布為直線。,2020/9/11,5,(a) = 1 (b) = 2 (c) = 3 (d

3、) = 4,2020/9/11,6,2 兩個(gè)階段：非正規(guī)狀況階段（初始狀況階段）、正規(guī)狀況階段 非正規(guī)狀況階段（初始狀況階段）：在 = 3時(shí)刻之前的階段，物體內(nèi)的溫度分布受初始溫度分布的影響較大。必須用無窮級數(shù)描述,正規(guī)狀況階段：在 = 3時(shí)刻之后，初始溫度分布的影響已經(jīng)消失，物體內(nèi)的溫度分布主要受邊界條件的影響，可以用初等函數(shù)描述。,2020/9/11,7,3 熱量變化：與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的另一區(qū)別：同一時(shí)刻流過不同截面的熱流量是不同的。通過截面A的熱流量是從最高值不斷減小，在其它各截面上，其截面溫度開始升高之前通過該截面的熱流量是零，溫度開始升高之后，熱流量才開始增加。這說明：溫度變化要積聚或消耗

4、熱量。,2020/9/11,8,4 邊界條件對溫度分布的影響,環(huán)境（邊界條件）對系統(tǒng)溫度分布的影響是很顯著的,這里以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程（也就是大平板的加熱或冷卻過程）為例來加以說明。 圖示一個(gè)大平板的加熱過程，并畫出在某一時(shí)刻的三種不同邊界情況的溫度分布曲線（a）、（b）、（c）,2020/9/11,9,曲線（a）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻 遠(yuǎn)小于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻 , 即,從曲線上看，物體內(nèi)部溫度變化比較大，而環(huán)境與物體邊界幾乎無溫差，此時(shí)可以認(rèn)為 。那么，邊界條件就變成了第一類邊界條件，即給定物體邊界上的溫度。,2020/9/11,10,曲線（b）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻 相當(dāng)于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱

5、阻 , 即,這也是正常的第三類邊界條件,2020/9/11,11,曲線（c）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻 遠(yuǎn)大于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻 , 即,從曲線上看，物體內(nèi)部的溫度幾乎是均勻的，這也就說物體的溫度場僅僅是時(shí)間的函數(shù)，而與空間坐標(biāo)無關(guān)。我們稱這樣的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱系統(tǒng)為集總參數(shù)系統(tǒng)（一個(gè)等溫系統(tǒng)或物體）。,2020/9/11,12,2020/9/11,13,把導(dǎo)熱熱阻與換熱熱阻相比可得到一個(gè)無因次的數(shù)，我們稱之為畢歐（Boit）數(shù)，即 那么，上述三種情況則對應(yīng)著Bi1 、 Bi1 和Bi1 。,畢歐數(shù)是導(dǎo)熱分析中的一個(gè)重要的無因次準(zhǔn)則，它表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對比關(guān)系。,

6、2020/9/11,14,類似于Bi數(shù)這種表征某一類物理現(xiàn)象或物體特征的無量綱數(shù)稱為特征數(shù)，特征數(shù)中的幾何尺度稱為特征尺度。,2020/9/11,15,from Introduction to Heat Transfer by Incropera and Dewitt, 1996,Bi small Bi =1 Bi large,Transient temperature distribution in a plane wall symmetrically cooled by convection,2020/9/11,16,3-2 集總參數(shù)法 (Lumped heat capacity meth

7、od),1 定義,忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。此時(shí)， ，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，即 ，與空間位置無關(guān)，因此，也稱為零維問題。,2020/9/11,17,以下幾種情況， Bi數(shù)將很小，可用集總參數(shù)法： （1）導(dǎo)熱系數(shù)相當(dāng)大； （2）幾何尺寸很小； （3）表面換熱系數(shù)很小。 2 溫度分布,一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數(shù)為h的環(huán)境中。,2020/9/11,18,引入過余溫度：,初始條件為：,能量守恒：單位時(shí)間物體熱力學(xué)能的變化量應(yīng)該等于物體表面與流體之間的對流換熱量,分離變量：,2020/9/11,19

8、,積分得：,指數(shù)可寫成：,過余溫度隨時(shí)間的變化,2020/9/11,20,無量綱熱阻,無量綱時(shí)間,Biv越小，表示內(nèi)部熱阻小或外部熱阻大，則內(nèi)部溫度就越均勻，集總參數(shù)法的誤差就越小。 Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入傳播到物體內(nèi)部,物體各點(diǎn)的溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。,2020/9/11,21,物體中的溫度隨時(shí)間呈指數(shù)變化,方程中指數(shù)的量綱：,稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，記為c，也稱弛豫時(shí)間。,2020/9/11,22,當(dāng)物體冷卻或加熱過程所經(jīng)歷的時(shí)間等于其時(shí)間常數(shù)時(shí)，即 =c，有：,當(dāng)=4c時(shí)，,工程上認(rèn)為= 4c時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài),3 時(shí)間常數(shù),2020/9/11,23,如果導(dǎo)熱體的熱容量（ V

9、c ）小、換熱條件好（hA大），時(shí)間常數(shù) ( Vc / h A) 小那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快.,時(shí)間常數(shù)越小，物體的溫度變化就越快，物體就越迅速地接近周圍流體的溫度。,2020/9/11,24,時(shí)間常數(shù)：反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來的傳熱動(dòng)態(tài)特征，時(shí)間常數(shù)小的響應(yīng)快，時(shí)間常數(shù)大的響應(yīng)慢。,用熱電偶測量流體溫度，總是希望熱電偶的時(shí)間常數(shù)越小越好。時(shí)間常數(shù)越小，熱電偶越能迅速地反映流體的溫度變化。,問題：怎樣可以令熱電偶時(shí)間常數(shù)保持很?。?2020/9/11,25,時(shí)間常數(shù)與其幾何形狀（A、V）、密度（）及比熱（c）有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況（h）相關(guān)。 可見，同一物質(zhì)

10、不同的形狀其時(shí)間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時(shí)間常數(shù)也是不相同。,2020/9/11,26,4. 時(shí)間 0 內(nèi)傳遞的總熱流量,導(dǎo)熱體在時(shí)間 0 內(nèi)傳給流體的總熱量：,在 時(shí)刻，表面熱流量為：,加熱與冷卻均適用,2020/9/11,27,如何去判定一個(gè)任意的系統(tǒng)是集總參數(shù)系統(tǒng) ？,V/A具有長度的因次，稱為集總參數(shù)系統(tǒng)的特征尺寸。,為判定系統(tǒng)是否為集總參數(shù)系統(tǒng) ，M為形狀修正系數(shù)。,5 . 集總參數(shù)系統(tǒng)的判定,2020/9/11,28,厚度為2的大平板,直徑為2R的長圓柱體,直徑為2R的球體,2020/9/11,29,例：一溫度計(jì)水銀泡是圓柱形，長20mm，內(nèi)徑4mm，測量氣體溫度，表面?zhèn)鳠?/p>

11、系數(shù)h=12.5W/(m2K),若要溫度計(jì)的溫度與氣體的溫度之差小于初始過余溫度的10%，求測溫所需要的時(shí)間。水銀 =10.36 W/(mK), = 13110 kg/m3, c = 0.138 kJ/(kgK). 解：,2020/9/11,30,故可以用集總參數(shù)法。,由上式解得： = 333，s = 5.6 min 為了減小測溫誤差，測溫時(shí)間應(yīng)盡量加長。,2020/9/11,31,3-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解 Analytical Solution to One-Dimensional System,當(dāng)幾何形狀及邊界條件都比較簡單時(shí)可獲得分析解。,2020/9/11,32,厚度 2 的無限

12、大平壁，、a為已知常數(shù)；=0時(shí)溫度為 t0; 突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為 t并保持不變；壁表面與介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。 兩側(cè)冷卻情況相同、溫度分布對稱。中心為原點(diǎn)。,1 無限大的平板的分析解,2020/9/11,33,導(dǎo)熱微分方程：,初始條件：,邊界條件： (第三類),2020/9/11,34,2020/9/11,35,采用分離變量法求解：取,只能為常數(shù)：,只為的函數(shù),只為x的函數(shù),2020/9/11,36,對 積分,得到,式中C1是積分常數(shù)，常數(shù)值D的正負(fù)可以從物理概念上加以確定。,當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，過程達(dá)到穩(wěn)態(tài)，物體達(dá)到周圍環(huán)境溫度，所以D必須為負(fù)值，否則物體溫度將無窮增大。,202

13、0/9/11,37,令,則有 以及,以上兩式的通解為：,于是,2020/9/11,38,常數(shù)A、B和可由邊界條件確定。,(1) (2) (3),由邊界條件（2）得B=0,（a）,邊界條件（3）代入(b) 得 (c),（a）式成為 (b),2020/9/11,39,將 右端整理成：,注意，這里Bi數(shù)的尺度為平板厚度的一半。,顯然，是兩曲線交點(diǎn)對應(yīng)的所有值。式(c)稱為特征方程。 稱為特征值。分別為1、 2 n。,2020/9/11,40,.,通解為所有特解之和：,至此，我們獲得了無窮個(gè)特解：,2020/9/11,41,利用初始條件 求An,解的最后形式為：,令n=n,2020/9/11,42,傅

14、里葉準(zhǔn)則, 無量綱距離,2020/9/11,43,定義無量綱的熱量,其中,這是非穩(wěn)態(tài)過程所能傳遞的最大熱量（物體內(nèi)能改變總量）,Q為從初始時(shí)刻至某一時(shí)刻所傳遞的熱量:,是時(shí)刻物體的平均過余溫度。,2020/9/11,44,2 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段 當(dāng)Fo 0.2時(shí)，采用級數(shù)的第一項(xiàng)計(jì)算偏差小于1%，故當(dāng)Fo 0.2時(shí):,其中1是第一特征值，是Bi的函數(shù)。,2020/9/11,45,為了分析這時(shí)溫度分布的特點(diǎn)，將式兩邊取對數(shù)得：,式右邊第一項(xiàng)是時(shí)間 的線性函數(shù)， 的系數(shù)只與Bi有關(guān)，即只取決于第三類邊界條件、平壁的物性與幾何尺寸。 右邊第二項(xiàng)只與Bi、x/ 有關(guān)，與時(shí)間 無關(guān)。,2020/9

15、/11,46,可以看出，當(dāng)Fo 0.2,平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過余溫度的對數(shù)都隨時(shí)間線性變化，并且變化曲線的斜率都相等,這一溫度變化階段稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段。,2020/9/11,47,對正規(guī)狀況階段，即Fo 0.2時(shí)，平壁中心（x=0）過余溫度由式（3-29）可得,任一點(diǎn)過余溫度與中心過余溫度之比為,與時(shí)間無關(guān)！,2020/9/11,48,可見，當(dāng)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段以后，雖然 和m都隨時(shí)間而變化，但它們的比值與時(shí)間無關(guān)，而僅與幾何位置x/ 及畢渥數(shù)Bi有關(guān)。即無論初始分布如何，無量綱溫度 /m都是一樣的。,2020/9/11,49,兩邊對時(shí)間求導(dǎo),上式左邊是過余溫度對時(shí)間的相對變化率

16、，稱為冷卻率（或加熱率）。,上式說明，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，物體所有各點(diǎn)的冷卻率或加熱率都相同，且不隨時(shí)間而變化，其值僅取決于物體的物性參數(shù)、幾何形狀與尺寸以及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。,與時(shí)間無關(guān)！,2020/9/11,50,令x = 可以計(jì)算平壁表面溫度和中心溫度的比值。 又由表3-1可知，當(dāng)Bi 0.95。即當(dāng)Bi 0.1時(shí)，平壁表面溫度和中心溫度的差別小于5%，可以近似認(rèn)為整個(gè)平壁溫度是均勻的。這就是3-2節(jié)集總參數(shù)法的界定值定為Bi 0.1的原因。,2020/9/11,51,進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，所傳遞的熱量也容易計(jì)算，由于：,可得出進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，從初始時(shí)刻至某一時(shí)刻所傳遞的熱量為,

17、2020/9/11,52,分析解也適用于一側(cè)絕熱、另一側(cè)為第三類邊界條件、厚度為的一維平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。（對稱條件和絕熱條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式是相同的） 針對第一類邊界條件的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，則可令h ；當(dāng)表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為無窮大時(shí)，平壁表面溫度為流體溫度。故當(dāng) 時(shí)，分析解就是物體表面溫度發(fā)生突然變化后保持不變，即第一類邊界條件的解。由表3-1可知，當(dāng) 時(shí)，1 = /2，這樣正規(guī)狀況階段第一類邊界條件下大平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布為：,2020/9/11,53,3 采用海斯勒（Heisler）圖計(jì)算,對于 Fo0.2 時(shí)無限大平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，溫度場可按公式計(jì)算；也可用諾謨圖計(jì)算，其中用于確定溫度分布的圖線

18、稱為海斯勒圖。,為平板中心的過余溫度,三個(gè)變量加一個(gè)應(yīng)變量,變換,與坐標(biāo)無關(guān),與時(shí)間無關(guān),2020/9/11,54,2020/9/11,55,2020/9/11,56,無量綱的熱量,2020/9/11,57,如何利用線算圖,a）對于由時(shí)間求溫度的步驟為，計(jì)算Bi數(shù)、Fo數(shù)和x/ ，從圖中查找m/ 0 和 / m ，計(jì)算出 ，最后求出溫度t,b) 對于由溫度求時(shí)間步驟為，計(jì)算Bi數(shù)、 x/和 / 0 ,從圖中查找 / m, ，計(jì)算m/ 0然后從圖中查找Fo,再求出時(shí)間 。,c）平板吸收（或放出）的熱量，可在計(jì)算Q0和Bi數(shù)、Fo數(shù)之后，從圖3-6中Q/Q0查找，再計(jì)算出,2020/9/11,58,Fo數(shù)及Bi數(shù)的影響： (1)當(dāng)Bi數(shù)一定時(shí)， 隨Fo的增加而減小，即隨著時(shí)間的增