1、1,1、函數(shù)的增減性的判斷與應(yīng)用 2、函數(shù)的極值,4.3 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,2,未定式求極限的方法:,使用羅必塔法則,復(fù)習(xí)：上節(jié)課的主要內(nèi)容,3,兩條經(jīng)驗(yàn),2).羅比塔法則不是萬(wàn)能的,1).靈活使用羅比塔法則（如，等價(jià)無(wú)窮小替換，設(shè) 等,4,一、函數(shù)的單調(diào)性,5,增,減,1、函數(shù)單調(diào)性的判斷,6,定理1 (函數(shù)單調(diào)性的判定法),說明,7,證明,應(yīng)用拉格朗日中值定理,(1).設(shè),即,（2）證明類似,8,解,一個(gè)函數(shù)并不一定在其整個(gè)定義域內(nèi)都是單調(diào)增加或 單調(diào)減少,而往往是在定義域內(nèi)的某一部分區(qū)間上單增, 在另一部分區(qū)間上單減,9,解(1).定義域,令,得,(2).,增,減,增,單減區(qū)間為:,

2、10,不存在,確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和步驟:,(1).求,(3).以(2)中所找點(diǎn)為分界點(diǎn),將定義域分割成部分區(qū)間, 判斷在每一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，由定理得出結(jié)論。,觀察圖形可知：,( 求導(dǎo)）,( 找點(diǎn)）,( 列表）,11,解(1)定義域,(2).,令, 得,不存在,(3).列表:,增,減,增,單減區(qū)間為:,練習(xí)一下,12,方法：設(shè),所以，,在 時(shí)，,是增函數(shù),故有，,即，,2、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,13,方法： 設(shè),對(duì), 使,即,因,所以,即,14,例5 證明：當(dāng) 時(shí)， 恒有,練習(xí)一下,15,二、函數(shù)的極值,16,定義1,設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,都有,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取

3、得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,若存在,1).,2).,1、函數(shù)的極值的定義,17,注意,1) 函數(shù)的極值概念是局部性的,2) 函數(shù)的極值可能有多個(gè),3) 函數(shù)的極大值可能比極小值小,4) 函數(shù)的極值不在端點(diǎn)上取,18,極小值為:,函數(shù)的極值在單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)處取得.,最小值為:,19,定理2（必要條件）,由定義知,2、極值的求法,20,條件必要而不充分.,即導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)未必是極值點(diǎn).,注意,例 y= x3 在x= 0點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，但不是極值點(diǎn)。,21,說明,1）導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).,2）極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)取到。,22,定理3(極值存在充分條件之一),23,解.,得,列表

4、:,極大值,極小值,增,減,增,極大值為:,極小值為:,24,確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值的步驟:,(1).求,(3).以(2)中所找點(diǎn)為分界點(diǎn),將定義域分割成部分區(qū)間,判斷在每一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，由定理判斷單調(diào)區(qū)間與極值。,( 求導(dǎo)）,( 找點(diǎn)）,( 列表）,25,（千萬(wàn)別忘記了定義域）,解 (1)定義域?yàn)?(2),令,得,(3).列表:,增,減,極小值,練習(xí)一下,26,定理4（極值存在充分條件之二）,則,為極大值;,為極小值.,待定,27,列表:,極小值,增,減,減,增,非極值,非極值,解:,得,方法,28,所以有極小值:,定理4失效,用定理3判斷.,時(shí),不是極值點(diǎn),時(shí),不是極值點(diǎn),方法2,29,1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,小 結(jié),2）