1、4.2.1等差、等比數(shù)列與數(shù)列的通項及求和,-2-,等差、等比數(shù)列的通項及求和 例1(2018全國,文17)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通項公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解 (1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通項公式為an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以當(dāng)n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.,解題心得對于等差、等比數(shù)列,求其通項及前n項和時,只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可.,-3-,對點訓(xùn)練1已知等差數(shù)列a

2、n的前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通項公式; (2)若T3=21,求S3.,解 設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. (1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.,因此bn的通項公式為bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0, 解得q=-5或q=4. 當(dāng)q=-5時,由得d=8,則S3=21. 當(dāng)q=4時,由得d=-1,則S3=-6.,-4-,可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題 例2已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列b

3、n滿足b1=1, b2= ,anbn+1+bn+1=nbn. (1)求an的通項公式; (2)求bn的前n項和.,-5-,解題心得無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題.,-6-,對點訓(xùn)練2設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)令bn= ,n=1,2,求數(shù)列bn的前n項和Tn.,-7-,(2)由(1)得a3n+1=23n, bn=ln 23n=3nln 2. bn+1-bn=

4、3ln 2, 數(shù)列bn為等差數(shù)列.,-8-,求數(shù)列的通項及錯位相減求和 例3已知an為等差數(shù)列,前n項和為Sn(nN*),bn是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通項公式; (2)求數(shù)列a2nbn的前n項和(nN*).,解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q. 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因為q0,解得q=2. 所以,bn=2n.由b3=a4-2a1, 可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 聯(lián)立,解得a1=1

5、,d=3,由此可得an=3n-2. 所以,an的通項公式為an=3n-2,bn的通項公式為bn=2n.,-9-,(2)設(shè)數(shù)列a2nbn的前n項和為Tn,由a2n=6n-2, 有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n, 2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1, 上述兩式相減,得 -Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1,得Tn=(3n-4)2n+2+16. 所以,數(shù)列a2nbn的前n項和為(3n-4)2n+2+16.,-10-,解題心得求數(shù)列通項的基本方法是利用等差、等比數(shù)列通項公式,或通過變形轉(zhuǎn)換成等差、等比數(shù)列求通項;如果數(shù)列a

6、n與數(shù)列bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,那么數(shù)列anbn的前n項和采用錯位相減法來求.,-11-,對點訓(xùn)練3(2018浙江,20)已知等比數(shù)列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.數(shù)列bn滿足b1=1,數(shù)列(bn+1-bn)an的前n項和為2n2+n. (1)求q的值; (2)求數(shù)列bn的通項公式.,解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中項,得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28, 解得a4=8.,-12-,-13-,-14-,求數(shù)列的通項及裂項求和 例4設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+(2n-1)an=2n. (1)求an的通項公式

7、; (2)求數(shù)列 的前n項和.,-15-,解 (1)因為a1+3a2+(2n-1)an=2n, 故當(dāng)n2時,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1). 兩式相減得(2n-1)an=2.,-16-,解題心得對于已知等式中含有an,Sn的求數(shù)列通項的題目,一般有兩種解題思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an. 把數(shù)列的通項拆成兩項之差,求和時中間的項能夠抵消,從而求得其和.注意抵消后所剩余的項一般前后對稱.,-17-,對點訓(xùn)練4已知an為公差不為零的等差數(shù)列,其中a1,a2,a5成等比數(shù)列,a3+a4=12. (1)求數(shù)列an的通

8、項公式;,-18-,-19-,涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和 例5已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=2,S5=30.數(shù)列bn的前n項和為Tn,且Tn=2n-1. (1)求數(shù)列an,bn的通項公式; (2)設(shè)cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求數(shù)列cn的前n項和.,解 (1)S5=5a1+ d=10+10d=30,d=2,an=2n. 對數(shù)列bn: 當(dāng)n=1時,b1=T1=21-1=1, 當(dāng)n2時,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1, 當(dāng)n=1時也滿足上式. bn=2n-1.,-20-,-21-,當(dāng)n為偶數(shù)時, Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1) =ln(n+1)-ln 1=ln(n+1); 當(dāng)n為奇數(shù)時, Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+ln(