1、Wuhan University,1.3 微商及解析函數,1.3 微商及解析函數,f ( z) = lim,lim0 z,= lim,= lim,= lim,z 0, f, z , x z 0 z, z 0, z 0,Re z z,Re( z + z ) Re z z,1.3 微商及解析函數,一、微商及微分： 而在復變函數中： f z 0 z e.g f (z) = Rez,注意：（2）可導必然連續(xù)，反之則未必； 如f ( z) = Re z = x在“復平面” 中處處連續(xù)，但卻處處不可導。 （3）可導與連續(xù)不同，由實部與虛部在 某一點連續(xù)，可以斷定復變函數連續(xù)， 但是由實部與虛部在某點可導，

2、并不 能判斷函數可導； e.g f (z) = Re z,1.3 微商及解析函數,一、微商及微分：,Wuhan University,記,1.3 微商及解析函數,一、微商及微分： 2. 微分,dw = f ( z ) dz or df = f ( z ) dz ,-微分,則,),df dz,dw dz,(=,f ( z ) =,-微商,w = f ( z ),若,pn ( z) = a0 + a1 z + a2 z + L an z,L L,Wuhan University,n,2,e.g,p,n ( z) = a1 + 2a2 z + L + nan z n 1,1.3 微商及解析函數,一、

3、微商及微分：,3. 求導、微分法則： 實函中求導、微分法則在此 皆實用。 f1 ( z) f 2 ( z) = f1( z) f 2( z) f1 ( z) f 2 ( z) = f1( z) f 2 ( z) + f1 ( z) f 2( z),1.3 微商及解析函數,一、微商及微分： 4. 可導的必要條件,注意: （1） C-R條件只是可導的必要條件，不是 充分條件 （2） C-R條件的極坐標形式為：,1.3 微商及解析函數,一、微商及微分：,1.3 微商及解析函數,一、微商及微分：,問：(1)可否用這四個公式來判斷函數是否可導？ (2)可否用求導公式判斷函數是否存在？,1.3 微商及解析

4、函數,一、微商及微分： 注： 由C-R條件可得：,f (z) H(),引入記號,表示f (z)在區(qū)域內解析。,1.3 微商及解析函數,二、解析函數：,1. 定義： 若w = f(z) 在z0 點及 N(z0 , ） 可導，則稱 w = f(z)在z0點解析。 若w = f(z) 在區(qū)域內處處可導，則稱 w = f(z)在區(qū)域內解析。,（,注： 1）凡說解析都是指在某點或某區(qū)域解析 （2）函數在某點解析是比在某點可導嚴格得多的 條件，兩者并不等價。,(3) f(z)在區(qū)域內解析和可導是完全等價的。 (4) f(z)的不解析之點稱為奇點。 (5) 解析函數又稱為正則函數或全純函數。,1.3 微商及

5、解析函數,e.g.,f ( z) = z, 在z = 0點可導卻不解析。,二、解析函數：,證明： f ( z) = e (cos y + i sin y)在復平面,2.必要條件：由解析定義和可導必要條件可得： 3.充分條件：由解析定義和可導充分條件可得：,1.3 微商及解析函數,二、解析函數：,x,解析，且f ( z) = f ( z).,例,若,f(z) = u + iv H ( ),1.3 微商及解析函數,二、解析函數： 4.解析函數的部分性質,= 0 , v = 0,則 （1） u,且由C-R連系著,（2） u v = 0 （3） 已知u 或v 均可求出解析函數 （4） 解析函數的和、差

6、、積、商仍為解析函數,dy = dx dy,v x,dx ,v y,dy =,u y,dx +,u x,du =,u = d ( x y) + c = x y + c,例 已知 v( x, y) = x + y, 求解析函數 f ( z) = u + iv （1）用全微分法,（2）用積分微分求,1.3 微商及解析函數,二、解析函數：,1.3 微商及解析函數,二、解析函數：,x,y,5.解析函數的物理解釋： 以平面靜電場為例（也適合于其他標量場）：電勢 (x,y)在平面的無源即無電荷區(qū)域滿足二維拉氏方程,= 0,+, 2 2, 2 2, =,則由解析函數的性質，可由一解析函數 f(z) = u

7、+ iv來描繪該電場稱為復勢。 Wuhan University,1.3 微商及解析函數,二、解析函數：,解析函數圖例,1.3 微商及解析函數,1.3 微商及解析函數,1.3 微商及解析函數,f ( z ) = lim,小結,一、微商及微分：,f z 0 z,1、微商： 2、微分：,dw = f ( z)dz, v y u y,= = , u x v x,3、 求導、微分法則： 4. 可導的必要條件 5.可導的充分條件：,C-R條件,1.3 微商及解析函數,小結,1.3 微商及解析函數,小結,二、解析函數： 1. 定義： 2.必要條件： 3.充分條件： 4、解析函數的部分性質 若 f(z) = u + iv H(