1、,計算流體力學講義2011 第二講 雙曲型方程組及間斷解 李新亮 ；力學所主樓219； 82543801,知識點： 雙曲型方程的特征方程 雙曲型方程的弱解及熵條件 Riemann間斷解 精確解、近似解初步,1,講義、課件上傳至 (流體中文網(wǎng)） - “流體論壇” -“ CFD基礎理論 ” 下載地址2： http:/cid-,Copyright by Li Xinliang,2,知識回顧,1. 流體力學基本方程,概念： 連續(xù)介質(zhì)假設； Euler描述/Lagrange描述,N-S方程 描述 質(zhì)量、動量、能量守恒 的方程組 流通量： 單位時間內(nèi)通過垂直于x/y/z 軸單位面積的 質(zhì)量、動量、能量,無

2、量綱量： 物理量與參考量（特征量）之比,2. 偏微分方程（組）及其類型,解耦成N個獨立的方程 雙曲型,有N個實特征根（含重根） N個獨立特征向量,全部為復特征根,有1個N重特征根 獨立特征變量數(shù)N,拋物型,橢圓型,特征線； 特征相容關系；,雙曲方程邊界條件提法,方法： 獨立給定j個方程的邊界條件 如果 lj0, 則在左端給定vj的邊界條件 如果 lj0, 則在右端給定vj的邊界條件,Copyright by Li Xinliang,3,一維Euler方程,3,變系數(shù)方程組的情況,令：,令,（行向量）,在x-t空間引入曲線：,滿足：,1. 雙曲型方程組的特征方程,Copyright by Li

3、Xinliang,4,（變系數(shù)情況）雖然不能解耦，但能轉(zhuǎn)換成常微方程組,2.1 雙曲型方程組,Copyright by Li Xinliang,5,若不考慮粘性，流體微團運動過程中熵不變； 如果來流熵均勻分布，則全流場熵均勻分布,例：一維等（均）熵運動,預備知識： 完全氣體中的熱力學量,密度、壓力、溫度、熵、焓,內(nèi)能、聲速,只有兩個獨立變量,（完全氣體）僅與溫度有關,小常識： 等熵（絕熱）關系,絕熱與等溫情況相比，氣體更難壓縮了,等熵情況下，僅有一個獨立的熱力學變量； 給定任何一個都意味著給定全部熱力學量；,矩陣B的特征值,若不考慮粘性，流體微團運動過程中熵不變； 如果來流熵均勻分布，則全流場

4、熵均勻分布,均熵運動情況下，能量方程可用熵為常數(shù)替代,一維均熵流動控制方程（Euler方程簡化版）,沿特征線1：,有：,沿特征線1： R不變,（1）轉(zhuǎn)化為,x,t,參數(shù)方程,特征線,參數(shù)方程,尋找積分因子,設,注意：聲速c 是溫度的函數(shù)，可不是常數(shù)！ c2 T ( c2 就是溫度?。。?絕熱關系式,8,知識點，牢記！,一維均熵流動沿特征線Riemann不變量保持不變,x,t,特征線1,特征線2,同理推導，,沿特征線2：,在（x,t）空間：,沿特征線1：,沿特征線2：,A,B,C,擾動源 擾動向兩側(cè)傳播,擾動波以當?shù)芈曀傧騼蓚?cè)傳播,觀測者,感受到兩側(cè)的擾動,例2.1： 有限振幅波的傳播問題,考慮

5、一維無粘流動（Euler方程），初始時刻（t=0）流動狀態(tài)如下：,試分析t=t0時刻的流動狀態(tài) （假設流場不出現(xiàn)間斷）,不同時刻的速度分布（A=1）,不同時刻的速度分布（A=0.01）,思考題： 小擾動的傳播情況？,數(shù)值解,利用特征線，分析不同區(qū)域的差異,等（均）熵情況下，同族特征線不會相交,Copyright by Li Xinliang,9,目的： 學會如何運用Riemann不變量解題,Copyright by Li Xinliang,10,一維擾動波的傳播 （上： A=1; 下： A=0.01）,大擾動，非線性波,小擾動，線性波,基本解題思路： 利用特征關系,1,2,3,x,t,解出 x

6、1, x2,利用Riemann不變量得：,解出,區(qū)域（2），（4） 未擾動,區(qū)域（1）內(nèi)的流動使用基本方法計算,區(qū)域（3）內(nèi)的計算可簡化,A B,D,C,E,F,G,(3) 區(qū)內(nèi)的波傳播速度為常數(shù)，且在傳播過程中物理量保持不變 簡單波 特征線為直線,注意：,因而方程是非線性的,給定x3,t3 利用,Copyright by Li Xinliang,11,（假設t3充分小）,解出t3時刻的流場，繼續(xù)推進下個時刻,概念： 簡單波,區(qū)域 （3） 內(nèi)擾動波的傳播特點,考慮 （3）區(qū)內(nèi)的, 同屬一條特征線M 上的任意兩個點4 和5：,由于點1 和點3 均在未擾動區(qū)：,在（3）區(qū)內(nèi)， 所有物理量（u,c）

7、沿特征線M不變 特征保持直線，特征波傳播速度不變,簡單波,Copyright by Li Xinliang,12,Copyright by Li Xinliang,13,各區(qū)物理含義,x,t,（1）,（2）,（3）,（4）,x,擾動區(qū),t=0時刻,t=t1時刻,右行波,左行波,區(qū)域（1），感受到左、右波的影響,區(qū)域（3），僅感受到左行波的影響 簡單波,區(qū)域（2），尚未感受到波,x,t=t2時刻,區(qū)域（4），波已傳播過去，恢復平靜,波型、波速不變,3. 雙曲型方程的間斷解,雙曲方程的特點： 擾動波傳播速度有限 可能產(chǎn)生間斷,弱間斷： 函數(shù)連續(xù)，但導數(shù)間斷 （如稀疏波的波頭、波尾） 強間斷： 函數(shù)

8、本身間斷 （如激波、接觸間斷）,流體力學控制方程： 積分型 （假設函數(shù)連續(xù)、光滑） 微分型,間斷處雖然無法滿足微分型方程， 但積分型方程（三大守恒律）仍然滿足,例： 激波兩側(cè)關系,原則： 連續(xù)區(qū)需滿足微分方程 間斷兩側(cè)必須滿足積分方程,Copyright by Li Xinliang,14,z,4. 雙曲型方程的弱解及熵條件,1） 弱解,若u(x,t)在除有限條間斷外連續(xù)可微且滿足方程（1）； 且在間斷線 滿足：,（1）,Copyright by Li Xinliang,15,則稱 u(x,t)是方程（1）的弱解,“間斷處滿足積分方程”,任意控制體,Green 公式,充分小的積分路線,兩側(cè)均視

9、為常值,間斷傳播的速度,快速記憶法：,Copyright by Li Xinliang,16,弱解不是唯一的,例：,弱解：,t時刻的分布：,全部都滿足,物理模型,三個全都是弱解,初始條件：,物理解：,概念：雙曲型方程（1）的“物理解”,當： 時收斂到的解,Copyright by Li Xinliang,17,2） 熵條件,定理： 若u(x,t) 是（1）的弱解，且在間斷處滿足：,其中w是介于u+及u-之間的任意值。 則u(x,t)是唯一的物理解。,物理含義： 特征線匯聚 間斷,特征線 (斜率 u),不滿足熵條件， 非物理,特性線向間斷處匯聚 滿足熵條件,特征線,特性線從間斷處發(fā)散 不滿足熵條

10、件,2. 2 Riemann間斷解,1. Riemann問題,一維無粘流動初始間斷的演化問題,例子： 激波管問題,間斷條件：,質(zhì)量、動量、能量守恒,Copyright by Li Xinliang,18,Sod激波管問題密度（上）、壓力（中）及速度（下）分布,Copyright by Li Xinliang,19,Riemann問題對CFD的意義,A,1,2,3,4,有限體積法示意圖,目的： 計算A點所在界面的通量 （以便獲知控制體內(nèi)物理量的變化）,1） 利用數(shù)值方法（“插值”），用（偏）左側(cè)點的值計算出 用（偏）右側(cè)點的值計算出,A點物理量有兩個值，如何處理？ 當做Riemann問題處理！,

11、2） 求解Riemann問題 （界面左側(cè)為 右側(cè)為 ）獲得穿過界面的通量,Riemann問題求解思路： a) 精確解：利用空氣動力學 （積分關系式+特征線） b) 近似解： 積分近似、微分近似,流場中可能出現(xiàn)的三種波： 激波： 強間斷，滿足R-H 關系式 接觸間斷： 特殊間斷，僅密度突變 （兩側(cè)速度、壓力相同） 膨脹波： 等熵波,間斷條件： R-H關系式,質(zhì)量、動量、能量守恒,初始值不滿足間斷關系，會分解成三個波獨立傳播,Copyright by Li Xinliang,20,質(zhì)量通量守恒,動量通量守恒,能量通量守恒,隨激波運動，厚度充分小的控制體,如果 ， R-H關系顯然成立,膨脹波 接觸間

12、斷 激波,Sod 激波管起動后氣流演化過程示意圖,膨脹波 接觸間斷 激波,示意圖,一般情況：五種可能,x,t,激波 接觸間斷 激波,膨脹波 接觸間斷 激波,激波 接觸間斷 膨脹波,膨脹波 接觸間斷 膨脹波,膨脹波 膨脹波,（1） （2）,（3） （4）,（5）,分析,Copyright by Li Xinliang,21,動畫演示： 密度的演化,2. 求解方法 針對每種情況分別考慮； 利用積分關系，將微分方程化成代數(shù)方程計算,激波 接觸間斷 激波,Zone: 1 3 4 2,積分關系式（RH關系）： 1-3 兩區(qū),2-4 兩區(qū),6個方程，6個未知數(shù)?？山猓?其中：,1) 情況（1）： 左、右激

13、波,Copyright by Li Xinliang,22,1-3 兩區(qū)關系式,2-4 兩區(qū)關系式,求解思路： 消元法,3個方程，4個未知數(shù),設壓力已知，解出速度,聯(lián)立方程，得：,1方程，1未知數(shù)，可解；例如：Newton法,x,y,Newton法 示意圖,解出p*后，代入原方程，求出其余未知數(shù),左行激波,右行激波,Copyright by Li Xinliang,24,情況2 ： 右激波、左膨脹波 Sod 激波管問題屬于該情況,預備知識： 膨脹波（稀疏波）,高壓,低壓,Sod 激波管問題，t=0.14時刻壓力分布,波頭,波尾,膨脹波,膨脹波,膨脹波 接觸間斷 激波,x,t,膨脹波： 內(nèi)部物理

14、量連續(xù)、光滑 頭、尾物理量連續(xù)，但導數(shù)不連續(xù)（弱間斷）,膨脹波兩側(cè)物理量的關系式：,1）熵不變 2） Riemann不變量不變,Copyright by Li Xinliang,25,方法： 先計算（3），（4）兩區(qū)的值；再計算膨脹波內(nèi)部（5）區(qū)的值,膨脹波區(qū) 接觸間斷 激波,（1）,（2）,（5）,（3）,（4）,2-4 兩區(qū)關系式 （激波RH關系）：,1-3兩區(qū)關系式 （等熵關系式）：,5個方程，5個未知數(shù)，方程可解！,為什么未知數(shù)個數(shù)比雙激波的情況少1個？,求解方法與雙激波情況相同，先解出（3），（4）區(qū)速度對壓力的依賴關系,Copyright by Li Xinliang,26,激波、

15、膨脹波前后速度-壓力的依賴關系可寫成統(tǒng)一的形式：,左波 （激波或膨脹波）：,右波（激波或膨脹波）,（ 表示（3）（4）區(qū)的速度和壓力）,其中：,激波,膨脹波,得到方程：,(*),1 個方程， 1個未知數(shù)，可解,求解(*) 得到3,4兩區(qū)的壓力,然后，解出速度和密度,膨脹波內(nèi)部物理量的計算,x,t,x,t,波頭,波尾,處理方法： 1） 計算膨脹波的范圍 波頭傳播速度 波尾傳播速度,（1）,（2）,（5）,(3),(4),2）在膨脹波區(qū)內(nèi)，利用特征相容關系計算 利用簡單波的特性，簡化計算,簡單波,x=0,特征線由x=0發(fā)出,再利用另一條特征線的信息：,解出,再利用等熵關系，計算,Copyright

16、 by Li Xinliang,27,膨脹波 接觸間斷 激波,Copyright by Li Xinliang,28,求解步驟,step1. 求解方程 (*)， 解出 3，4區(qū)的壓力 單未知數(shù)代數(shù)方程；數(shù)值方法求解,其中：,step 2. 求出3，4區(qū)的速度、密度、激波移動速度,step 3. 計算出稀疏波區(qū)的量,針對情況1， 求解完成； 對于情況2 繼續(xù)step 3,其中各區(qū)的范圍如下 （以情況2 討論）：,1 區(qū)： 5 區(qū)： 3 區(qū)： 4 區(qū)： 2 區(qū)：,以上步驟完全適用于 情況3， 4， 5 （因為*式同時適用于激波和稀疏波）,Riemann 問題五種可能情況,x,t,激波 接觸間斷 激

17、波,膨脹波 接觸間斷 激波,激波 接觸間斷 膨脹波,膨脹波 接觸間斷 膨脹波,膨脹波 膨脹波,（1） （2）,（3） （4）,（5）,如何區(qū)分這5種情況？,Copyright by Li Xinliang,29,假設,準則如下：,情況1,情況3,情況4,利用函數(shù) （由 *式定義）,函數(shù)性質(zhì)很好 單調(diào)連續(xù),情況5,情況5,情況4,情況3,情況1,Riemann 求解總步驟： 1） 根據(jù)上述判決區(qū)分情況 2） 按照上一頁的步驟求解,真空區(qū),Copyright by Li Xinliang,30,Riemann問題的具體計算步驟,1. 判斷可能會出現(xiàn)的情況（五種情形之一）,a. 定義函數(shù),b. 進行

18、判斷,情況5,情況4,情況3,情況1,情況5,情況4,情況2,情況1,單調(diào)增函數(shù)，性質(zhì)很好,計算出 ， 根據(jù) 的大小進行判斷，具體見下圖：,Copyright by Li Xinliang,31,2. 求解中心區(qū)的壓力和速度,單未知數(shù)的代數(shù)方程，迭代求解（例如Newton法，F(xiàn)(p)性質(zhì)好，求解不困難）,3. 確定中心區(qū)接觸間斷兩側(cè)的密度 以及左、右波傳播的速度 a. 左波為激波的情況（情況1,3）,b. 左波為稀疏波的情況 （情況2，4，5）,中心區(qū) 接觸間斷左側(cè)的物理量,膨脹波的波頭及波尾速度,激波的傳播速度,對于情況（5），波尾速度為：,中心區(qū)為真空，音速 無定義，改由該式計算,Copyright by Li Xinliang,32,c. 右波為激波的情況（情況1，2）,中心區(qū) 接觸間斷右側(cè)的物理量,b. 右波為稀疏波的情況 （情況2，4，5）,4. 計算稀疏波區(qū)域的值（如果有稀疏波的話）,a. 左稀疏波 b. 右稀疏波,情況2，4,情況5：,Copyright by Li Xinliang,33,思考題： 上述求解方法要求間斷兩側(cè)流場分布為常數(shù)，如果初始時刻流場分布是x的函數(shù)，怎樣利用該理論