1、第一章,在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果的現(xiàn)象.,隨機現(xiàn)象:,隨機試驗:,有以上三個特點的試驗稱為隨機試驗，簡稱為試驗，通常記作E,E1,E2, 。,試驗在相同的條件下可重復進行,試驗有多個可能結(jié)果，且在試驗之前可以預知所有可能結(jié)果,每次試驗前不能確定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果,樣本空間,將隨機試驗E的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本點，記作e，e1，e2， ，樣本點的全體構(gòu)成的集合稱為樣本空間，記作S。,隨機事件:,稱試驗E的樣本空間S 的子集為E的隨機事件,簡稱為事件。通常記作A,B,C，等,事件間的關(guān)系和運算,1.事件的包含,2.事件相等,3. 事件的并(和),4. 事件的交(積

2、),5.事件的差,6. 事件的互不相容 (互斥),7.逆事件(對立事件),8.事件之間滿足的運算規(guī)律,交換律,結(jié)合律,分配律,對偶律,1）非負性：,2）規(guī)范性：,3）可列可加性：,A1，A2，,An兩兩互不相容時，,概率的公理化定義,設(shè)E是一個隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的任意一個事件，規(guī)定一個數(shù)，記作 ，如果 滿足下列三條公理，,則稱 為事件的概率,概率的性質(zhì),2.（有限可加性）設(shè)A1，A2， , An兩兩互不相容，則,3.（逆事件的概率）對于任意事件A，有,4.（差事件的概率）若A,B是任意兩個事件，則有,5. (加法定理) 對任意兩個隨機事件A , B ，有,加法定理推廣,(1)對

3、任意三個隨機事件、C ，有,(2)對任意n個隨機事件A1，A2，,An ，有,古典概型,稱此種試驗的數(shù)學模型為等可能概型，也稱為古典概型。,1.古典概型的特征,如果隨機試驗具有以下兩個特點：,（1）樣本空間中的樣本點個數(shù)只有有限個。,（2）每個基本事件發(fā)生的可能性相同。,2.古典概型的計算,設(shè),為隨機試驗E的兩個隨機事件,且()，則稱,為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率,條件概率的定義,條件概率的計算方法,（1）由定義 計算,（2）在事件發(fā)生的條件下將樣本空間S縮減為事件B所包含的樣本點的集合SB，然后在縮減的樣本空間 SB中求事件A發(fā)生的概率,從而得,乘法定理,設(shè),為隨機試驗E的兩個事

4、件,若(A)，則,若(B)，則,乘法定理推廣,1.若(AB), 則,2.設(shè) A1 ,A2 , An 為隨機試驗E的n個事件,若 (A1 A2 An-1)，則,樣本空間的一個劃分,設(shè)S為樣本空間， 為n個隨機事件，若滿足,則稱,兩兩互不相容，即：,為樣本空間S的一個劃分。,全概率公式,貝葉斯公式,設(shè)S是試驗E的樣本空間， 是S的一個劃分， ，則對任一事件A，有,兩事件相互獨立的定義,三個事件相互獨立的定義,設(shè) A、B、C 是三個隨機事件，如果,稱A、B、C相互獨立,稱A、B、C兩兩獨立,設(shè)E是隨機試驗，在相同的條件下將試驗E重復進行n次，若1）由這n次試驗構(gòu)成的試驗序列是獨立試驗序列2）每次試驗

5、有且僅有兩個結(jié)果：事件 和事件3）每次試驗事件A 發(fā)生的概率都是常數(shù) p,即 則稱該試驗序列為n重貝努利（Bernoulli）試驗，簡稱為貝努利試驗或貝努利概型,n重貝努利試驗,n重貝努利試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率,定理 在n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的概率為P(A)=p (0p1),則事件A在 n 次試驗中恰好發(fā)生k次的概率為：,第二章,離散型隨機變量分布律的定義:,離散型隨機變量 X 的分布律也常用表格形式給出：,分布函數(shù)的定義,設(shè)X 是一個隨機變量, x 是任意實數(shù)，則稱函數(shù),為隨機變量X的分布函數(shù).,連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義,若對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x)，存在非負函數(shù)f

6、 (x), 使得對于任意實數(shù)x,有：,則稱X為連續(xù)型隨機變量，其中被積函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)（簡稱概率密度）,(1)非負性,(2)規(guī)范性,概率密度的性質(zhì),(3)對于任意實數(shù),(4) 若f (x)在點 x 處連續(xù)，則,連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布公式法,其中 h(y) 是g(x) 的反函數(shù)，,定理 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為 ，又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導，且對任意x 有 ,(或恒有 ），則Y=g(X)是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度為：,若f (x)在有限區(qū)間a,b以外等于零，則只需要求在a,b上恒有 （或恒有 ），此時：,第三章,二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù),設(shè)（X，Y）是二維隨機變量,

7、對于任意實數(shù)x,y.二元函數(shù),稱為二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)或X和Y的聯(lián)合分布函數(shù),二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律,設(shè)二維隨機變量(X,Y)的所有可能取值為(xi , yj) , (i , j=1,2, ),且每對取值的概率為,并且pij滿足,(),則稱()為二維隨機變量(X,Y)的概率分布或分布律，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律,(1),(2),其中,二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律表格表示法,二維離散型隨機變量的邊緣分布,設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布律為,則稱,為（X，Y）關(guān)于X的邊緣分布律,為（X，Y）關(guān)于Y的邊緣分布律,pi.,p1.,p2.,pi.,p.j,p.1,p.j,1

8、,p.2,利用聯(lián)合分布律表格表示法求邊緣分布律,關(guān)于X的邊緣分布律為,關(guān)于Y的邊緣分布律為,二維連續(xù)型隨機變量及其聯(lián)合概率密度,定義,對于二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y),如果存在一個非負函數(shù)f(x,y),使得對于任意實數(shù)x,y,有,則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，稱函數(shù)f(x,y)為二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度,性質(zhì),(1) 非負性,(2) 規(guī)范性,(3)若f (x, y)在點(x, y)處連續(xù)，F(xiàn)(x,y)為相應(yīng)的分布函數(shù)，則,（4） D是XOY平面上一個區(qū)域，則,（5）(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，L為任一平面曲線，則,(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為,若二維

9、連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為f (x,y),則,(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為,邊緣分布,獨立性定義,設(shè)F(x,y)、FX(x)和F Y(y) 分別是二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)及其邊緣分布函數(shù)，如果對于任意的 x,y ,都有,即,則稱X，Y相互獨立。,離散型隨機變量的獨立性,設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機變量， ，分別為(X,Y)的分布律及其關(guān)于X和Y的邊緣分布律，則X和Y相互獨立的充要條件是,連續(xù)型隨機變量的獨立性,設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量， 分別是(X，Y)的概率密度及其關(guān)于X、Y的邊緣概率密度，則X和Y相互獨立的充要條件是對任意實數(shù)x,y,有,第四章,離散型隨機變量

10、的數(shù)學期望,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,性質(zhì)1,設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C.,性質(zhì)2,設(shè)X是一個隨機變量，a , b 是常數(shù)，則有,E(aX+b)=aE(X)+b,性質(zhì)3,設(shè)X、Y是兩個隨機變量，則有,數(shù)學期望的性質(zhì),E(X+Y)=E(X)+E(Y),推廣：對n維隨機變量X1, X2, ,Xn，有 E(X1+ X2+ +Xn ) = E(X1) +E( X2 ) + +E(Xn),性質(zhì)4,方差的定義,設(shè)X是一個隨機變量，若EX-E(X)2存在，則稱EX-E(X)2為X的方差，記為D(X)，即,方差的平方根,稱為X的標準差或均方差，,記為,方差的計算公式,方差的性質(zhì),性質(zhì)1,設(shè)C是常數(shù)，則有D(

11、C)=0,性質(zhì)2,設(shè)X是一個隨機變量，a,b是常數(shù)，則有,D ( a X + b )=a2 D ( X ),性質(zhì)3,設(shè)X、Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有,性質(zhì)4,D(X)=0 的充要條件是X依概率1取常數(shù)，即,顯然，C=E(X).,契比雪夫不等式,定理 設(shè)隨機變量X的數(shù)學期望為E(X),方差為D(X),則對于任意正數(shù) 0，有不等式,成立，稱這個不等式為契比雪夫（Chebyshev）不等式,契比雪夫不等式的另一形式：,設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，稱量 EXE(X)YE(Y) 為隨機變量X和Y的協(xié)方差，記作cov(X,Y)，即 cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),協(xié)方差定義,計算公式,相關(guān)

12、系數(shù)定義,設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，當D(X)0, D(Y)0時，稱量,為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)或標準協(xié)方差，記作XY ，即,相關(guān)系數(shù)性質(zhì),性質(zhì)1,| XY|1,性質(zhì)2,|XY|=1的充要條件為存在常數(shù)a，b，使得,PY=aX+b=1成立，即X與Y以概率1線性相關(guān).,性質(zhì)3,稱X和Y不相關(guān),若X和Y相互獨立，則X和Y不相關(guān).,X和Y不相關(guān),不一定X和Y相互獨立.,說明：,說明：,下列5個命題是等價的：,附： 幾種重要隨機變量的數(shù)學期望和方差,一.二點分布,二.二項分布,三.泊松分布,四.均勻分布,五.正態(tài)分布,六.指數(shù)分布,一.二點分布,若隨機變量X服從二點分布，其分布律為：,則,二.二項

13、分布,隨機變量XB(n, p),其分布律為：,則,三.泊松分布,隨機變量 ，其分布律為：,則,四.均勻分布,設(shè)隨機變量X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，其概率密度為,則,五.正態(tài)分布,隨機變量 ，其概率密度為：,則,六.指數(shù)分布,隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其概率密度為：,則,二維連續(xù)型隨機變量中兩個重要分布,1.均勻分布,設(shè)G為XOY平面上有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機變量（X，Y）具有概率密度,則稱（X，Y）在G上服從均勻分布,2 .正態(tài)分布,若二維隨機變量（X，Y）的概率密度為,其中1、2 、1 、2 、 都為常數(shù)，且10、20、| 1，則稱(X, Y) 服從參數(shù)為1 , 2 ,

14、1 , 2 , 的二維正態(tài)分布，記為,關(guān)于正態(tài)分布的結(jié)論：,2. 有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布. 即,若X與Y相互獨立，且,3. 若二維隨機變量(X,Y) 服從二維正態(tài)分布，即,4. 若隨機變量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，即,則X和Y相互獨立的充要條件為,由此可知：,第五章,獨立同分布下的中心極限定理,設(shè)X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=2，i=1,2,，則,德莫佛拉普拉斯中心極限定理,設(shè)隨機變量Xn服從參數(shù)為n,p(0p1)的二項分布,則對于任意實數(shù)x,總成立,第六章,總體和個體,簡單隨機樣本,統(tǒng)計量,幾個常用的統(tǒng)計量,樣本均值,

15、樣本方差,樣本k階原點矩,樣本k階中心矩,k=1,2,它們的觀察值分別為：,由大數(shù)定律可知：,依概率收斂于,統(tǒng)計學中三個常用分布,定義: 設(shè) 相互獨立,都服從標準正態(tài)分布,N(0,1), 則稱隨機變量：,所服從的分布為自由度為 n 的 分布，記為,性質(zhì)1.,分布的性質(zhì)：,這個性質(zhì)稱為 分布的可加性.,性質(zhì)2.,設(shè),且,與,相互獨立，則,定義: 設(shè)XN( 0 , 1 ) , Y,所服從的分布為自由度為 n 的 t 分布.記為tt (n).,2、t 分布,，且 X 與 Y 相互,獨立，則稱變量,由定義可見，,3、F分布,則稱統(tǒng)計量,服從自由度為n1及 n2 的F分布，n1稱為第一自由度，,F(n2

16、,n1),定義: 設(shè),X 與 Y 相互獨立，,n2稱為第二自由度，記作 FF(n1,n2) .,上分位點：,設(shè)隨機變量X的概率密度為 f(x),對于,任意給定的(01),若存在實數(shù)x,使得：,則稱點x為該概率分布的上分位點,對于F分布，有：,（1）樣本均值,（2）樣本均值 與樣本方差 相互獨立。,（3）隨機變量,（4）隨機變量,單個正態(tài)總體的常用抽樣分布:,兩個正態(tài)總體的常用抽樣分布:,且X與Y獨立,分別是這兩個樣本的樣本方差,則有,（1）,（2）,第七章,矩估計的方法：,求得待估參數(shù)的估計量的方法稱為矩估計法，求得,先求出待估參數(shù)與總體矩的關(guān)系，,再用樣本矩代替總體矩,若總體的分布形式已知，

17、但有參數(shù)未知，,的待估參數(shù)的估計量稱為矩估計量。,(1) 由總體分布和所給樣本，求得似然函數(shù),極大似然估計的步驟：,(3) 解方程組,7-12,(4) 得未知參數(shù)1, ,k的極大似然估計值,及其對應(yīng)的極大似然估計量,7-12,若待估參數(shù)只有一個，則似然函數(shù)是一元函數(shù)L()，此時，只須將上述步驟中求偏導改為求導即可。,說明：,評價估計量優(yōu)良性的標準,無偏性：,則稱,是 的無偏估計量.,定理.設(shè)總體X的期望與方差存在, X1 X2 ， ，Xn為,取自總體的樣本,則樣本均值,分別是總體均值和總體方差2的無偏估計量.,和樣本方差,有效性：,都是總體參數(shù) 的無偏估計量, 且,則稱 比 更有效.,設(shè),相合

18、性,設(shè) 是總體參數(shù) 的估計量.,即對于任意正數(shù)，有,置信區(qū)間和置信度,X1,X2,Xn為X 的樣本，對于事先給定的 (01)，,定義：,為1-的置信區(qū)間的置信下限和置信上限， 1-稱為置,信度。,真值的概率為1-.,說明：,是統(tǒng)計量，即 是隨機區(qū)間，而是一個客觀存,在的未知數(shù).所以確切的理解是隨機區(qū)間 包含,內(nèi)的概率為1-，這種理解不夠確切.因為 和 都,單個正態(tài)總體均值的置信區(qū)間,1. 方差 2已知, 的置信度為1-的置信區(qū)間是：,設(shè)總體XN (, 2). X1 , X2 , , Xn是取自X的樣本，,樣本均值 樣本方差S2,2. 方差 2未知, 的置信度為1-的置信區(qū)間是：,2. 當 已知

19、時, 方差 2 的置信度為1的置信區(qū)間是,單個正態(tài)總體方差的置信區(qū)間,1. 當 未知時, 方差 2 的置信度為1-的置信區(qū)間是,為取自總體 N ( 1 12 ) 的樣本,為取自總體 N ( 2 22 ) 的樣本,分別表示兩樣本的樣本均值與樣本方差,兩個正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間,1. 方差1 2 、 2 2已知時，1- 2的置信度為1-的置信區(qū)間是：,且兩總體相互獨立。,(2) 未知 但 時，12的置信度,為1 的置信區(qū)間是：,的置信度為1-的置信區(qū)間是：,兩個正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間,第八章,1.假設(shè)檢驗的理論依據(jù)：,實際推斷原理（小概率原理）,小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,2. 假設(shè)檢驗是概率意義下的反證法.即：,首先假定原假設(shè)H0成立，依照事先給定的概率（稱為顯著性水平），構(gòu)造一個小概率事件。然后根據(jù)抽樣的結(jié)果，觀察此小概率事件是否發(fā)生。若此小概率事件發(fā)生了，則認為原假設(shè)是不真的，從而作出拒絕H0的判斷。否則，就接受H0 。,顯著性檢驗的推理方法和基本步驟,第一類錯誤（棄真錯誤）：,第二類錯誤（取偽錯誤）：,假設(shè)檢驗的兩類錯誤,原假設(shè)H0為真，但拒絕了原假設(shè)H0 .,原假設(shè)H0不真，但接受了原假設(shè)H0 .,P拒絕H0|H0為真=,P接受H0|H0不真= .,顯然，顯著性水平為犯第一類錯誤的概率.,記,處理原則：,任何檢驗方法都不能完全排除犯錯誤的