1、武漢科技大學(xué)理學(xué)院,1,點(diǎn)估計(jì),第七章 參數(shù)估計(jì)第一次課,1點(diǎn)估計(jì),問(wèn)題的提法：設(shè)總體 形式已知，是待估參數(shù)。利用樣本構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,2,其觀察值作為未知參數(shù)的近似,值，則稱(chēng) 為的估計(jì)，簡(jiǎn)記為 .,主要問(wèn)題：如何構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量？,下面介紹兩種常見(jiàn)的方法：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,3,一、矩估計(jì)法,根據(jù),辛欽大數(shù)定律，樣本的各階原點(diǎn)矩依概率收斂于總體的對(duì)應(yīng)階的原點(diǎn)矩，故令,上述方程組包含k個(gè)未知參數(shù) ，其解,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,4,稱(chēng)為 的矩估計(jì)，記為,例 設(shè)總體X在(0,)上服從均勻分布，,是來(lái)自總體的樣本，求的矩估計(jì)。,解,令,得,故,武漢科技大

2、學(xué)理學(xué)院,5,例 設(shè)總體X的期望、方差分別為,是來(lái)自總體的樣本，求 的矩估計(jì)。,解,由,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,6,求矩估計(jì)的一般步驟： 觀察未知參數(shù)的個(gè)數(shù)k，算出,構(gòu)造方程（組）,解上述方程（組），其解即為未知參數(shù)的矩估計(jì)。,常見(jiàn)情況: k1，解下列方程：,K=2時(shí)，解下列方程組,即,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,7,二、最大似然估計(jì),1.最大似然原理：在一次試驗(yàn)中，有很多個(gè)事件可能發(fā)生，結(jié)果事件A發(fā)生了，則有理由認(rèn)為A發(fā)生的概率最大。,例 一袋中裝有紅白兩種球，共100個(gè)。其中一種顏色的球99個(gè)，另一種顏色的1個(gè)，從中任取一個(gè)是紅球，試判斷，哪種顏色的球?yàn)?9個(gè)？,分析 應(yīng)判斷為紅色的球是99個(gè)，否則不

3、符合最大似然原理。,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,8,2.似然函數(shù),是樣本觀察值，記,則,是參數(shù)的函數(shù)，表示事件A發(fā)生的概率.,根據(jù)離散型,隨機(jī)變量與連續(xù)型的對(duì)應(yīng)關(guān)系：,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,9,定義,稱(chēng)為總體X 的似然函數(shù)。,注 當(dāng)樣本觀察值 看成變量時(shí)，,就是樣本 的概率分布；,看成已知數(shù)時(shí)， 是未知參數(shù)的函數(shù)，便是似然函數(shù)。,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,10,例 設(shè)總體 的密度為,是未知參數(shù)， 是樣本，則似然函數(shù),注 這一部分通常不寫(xiě)！,例 設(shè)總體X 的分布率為,對(duì)應(yīng)于樣本1，2，2，3的似然函數(shù),武漢科技大學(xué)理學(xué)院,11,3.最大似然估計(jì),似然函數(shù)的值越大，對(duì)應(yīng)的樣本出現(xiàn)（或落在樣本的鄰域）的概率也越大，

4、因此，應(yīng)選使似然函數(shù)值最大的參數(shù)值作為未知參數(shù)的估計(jì)。,定義,如果 可微，可用求導(dǎo)的辦法找到它的最大值點(diǎn)，為了求導(dǎo)方便，通常求 的最大值點(diǎn)。,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,12,例 設(shè),為樣本，求p的最大似,然估計(jì)。,解,似然函數(shù)為,令,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,13,例 設(shè)總體X的分布率為,1，2，2，2，3，為一組樣本觀察值，求,的矩估計(jì)和最大似然估計(jì).,解,由,矩估計(jì),武漢科技大學(xué)理學(xué)院,14,最大似然估計(jì),似然函數(shù),兩種估計(jì)方法所得結(jié)果不一樣.,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,15,例 設(shè)總體X在(0,)上服從均勻分布，,是來(lái)自總體的樣本，求的最大似然估計(jì)。,解,似然函數(shù),由于要滿足 因此，當(dāng),故,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,16,當(dāng)未知參數(shù)不止一個(gè)時(shí)，似然函數(shù)L是一個(gè)多元函數(shù)，這個(gè)多元函數(shù)的最大值點(diǎn)就是未知參數(shù)的最大似然估計(jì)。,例 設(shè),是來(lái)自總體X的樣本值，求 的最大似然估計(jì).,解,X 的密度為,似然函數(shù)為,武漢科技大學(xué)理學(xué)院,17,令,