1、系統(tǒng)的時(shí)域分析,線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn) 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 卷積積分及其性質(zhì) 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 卷積和及其性質(zhì) 沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性,1,卷積積分的計(jì)算和性質(zhì),奇異信號的卷積積分 延遲特性 微分特性 積分特性 等效特性,卷積積分的計(jì)算 卷積積分的性質(zhì) 交換律 分配律 結(jié)合律 平移特性 展縮特性 微分積分特性 等效特性,10,一、卷積積分的計(jì)算,卷積的定義：,1. 將f(t)和h(t)中的自變量由t改為；,卷積的計(jì)算步驟：,2. 把其中一個信號h()翻轉(zhuǎn)得h(-)，再平移t；,3. 將f(t) 與h(t- t)相乘；對乘積后信號

2、的積分。,4. 不斷改變平移量t，計(jì)算f(t) h(t- t)的積分。,11,卷積方法的原理 就是將信號分解為沖擊信號之和，借助系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，求解系統(tǒng)對任意信號的零狀態(tài)響應(yīng)。,一、卷積積分的計(jì)算,例,解：,12,例 計(jì)算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,13,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,例 計(jì)算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,14,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,例 計(jì)算 y(t) = p1(t)

3、 * p1(t)。,15,練習(xí)1：u(t) * u(t),練習(xí)2：計(jì)算 y (t) = f (t) * h(t)。,= r(t),16,二、卷積的性質(zhì),1) 交換律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 2) 分配律 ( f1(t) + f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 3) 結(jié)合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ) 4) 平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 則 f1(t - t1) * f2(t - t2) = y

4、(t - t1 - t2) 5) 展縮特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 則,17,二、卷積的性質(zhì),6) 微分特性 已知 y(t) = f(t) * h(t) = h(t) * f(t) 則 y (t) = f (t) * h(t) = h(t) * f(t) 7) 積分特性 已知 y(t) = f(t) * h(t) = h(t) * f(t) 則 y (-1) (t) = f (-1) (t) * h(t) = h (-1) (t) * f(t) 8) 等效特性 已知 y(t) = f(t) * h(t) = h(t) * f(t) 則 y(t) = f (-1) (t)

5、 * h(t) = h (-1) (t) * f (t),18,二、卷積的性質(zhì),平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 則 f1(t - t1) * f2(t - t2) = y(t - t1 - t2),證明：,19,二、卷積的性質(zhì),展縮特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 則,證明：,20,解:,例 利用平移特性及u(t) * u(t)= r(t) ，計(jì)算y(t) = f(t) * h(t)。,y(t) = f(t) * h(t) = u(t) - u(t-1) * u(t) - u(t-2) ,=u(t)*u(t) - u(t-1)*u(t) - u(t

6、)*u(t-2) + u(t-1)*u(t-2),= r(t) r(t -1) - r(t-2) + r(t-3),21,三、奇異信號的卷積,1) 延時(shí)特性 f (t) * (t -T) = f (t -T) 2) 微分特性 f (t) * (t) = f (t) 3) 積分特性,4) 等效特性,22,例 已知 y(t) = f1(t) * f2(t) ，求y(t)和 y(-1)(t),解：利用卷積的微分特性 y(t) = y(t) * d (t) = f1(t) * f2(t) * d (t),y(-1)(t) = y(t) * u(t) = f1(t) * f2(t) * u(t),= f

7、1(t) * f2(t),= f1(t) * f2(t),= f1(-1)(t) * f2(t),= f1(t) * f2(-1)(t),利用卷積的結(jié)合律,利用卷積的積分特性,利用卷積的結(jié)合律,23,解:,例 利用等效特性，計(jì)算y(t) = f (t) * h(t)。,f (t) = d (t) - d (t-1),f (t) * h(t)= h(t) - h(t-1),24,解:,例 計(jì)算下列卷積積分。,(1),(2),(3),(1),25,解:,例 計(jì)算下列卷積積分。,(1),(2),(3),(2),利用卷積的平移性質(zhì)和題(1)的結(jié)論,(3),26,線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn),連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)

8、用N階常系數(shù)微分方程描述,ai 、 bj為常數(shù)。,離散時(shí)間系統(tǒng)用N階常系數(shù)差分方程描述,ai 、 bj為常數(shù)。,線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述,線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn),線性時(shí)不變系統(tǒng)的特點(diǎn),LTI系統(tǒng)除具有線性特性和時(shí)不變特性外，還具有:,1）微分特性與差分特性：,若 T f(t)=y(t),則,若 Tfk= yk,則 T fk -fk-1= yk - yk-1,2）積分特性與求和特性：,若 T f(t)=y(t),則,若 Tfk= yk,則,離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng),迭代法求系統(tǒng)響應(yīng) 經(jīng)典時(shí)域法求系統(tǒng)響應(yīng) 卷積法求系統(tǒng)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)求解 零狀態(tài)響應(yīng)求解,離散時(shí)間LTI系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)模型為,2. 經(jīng)

9、典時(shí)域分析方法:,求解差分方程,3. 卷積法:,系統(tǒng)完全響應(yīng) = 零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng),求解齊次差分方程得到零輸入響應(yīng),利用卷積和可求出零狀態(tài)響應(yīng),系統(tǒng)響應(yīng)求解方法:,1. 迭代法:,離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng),一、迭代法,已知 n 個初始狀態(tài) y-1, y-2, y-2, y-n 和輸入，由差分方程迭代出系統(tǒng)的輸出。,例 一階線性常系數(shù)差分方程 yk-0.5yk-1=uk, y-1 = 1，用迭代法求解差分方程。,解： 將差分方程寫成,代入初始狀態(tài)，可求得,依此類推,缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。,二、經(jīng)典時(shí)域分析方法,差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng), 由齊次解yhk和特解ypk組成:,齊次解

10、yhk的形式由齊次方程的特征根確定,特解ypk的形式由方程右邊激勵信號的形式確定,二、經(jīng)典時(shí)域分析方法,(1) 特征根是不等實(shí)根 r1, r2, , rn,(2) 特征根是等實(shí)根 r1=r2=rn,(3) 特征根是成對共軛復(fù)根,齊次解的形式,二、經(jīng)典時(shí)域分析方法,常用激勵信號對應(yīng)的特解形式,ak (a不是特征根),ak (a是特征根),例已知某二階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = f k 初始條件y0 = 0，y1 = -1，輸入信號 f k = 2k uk，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk。,特征根為,齊次解yhk,解 ： (1) 求齊次方程yk-5yk-1+6yk-2

11、 = 0的齊次解yhk,特征方程為,解 ：,(2) 求非齊次方程yk-5yk-1+6yk-2 =fk的特解ypk,由輸入f k的形式，設(shè)方程的特解為,將特解代入原差分方程即可求得常數(shù)A= -2。,例已知某二階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = f k 初始條件y0 = 0，y1 = -1，輸入信號 f k = 2k uk，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk。,解 ：,(3) 求方程的全解，即系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk,解得 C1= -1，C2= 1,例已知某二階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = f k 初始條件y0 = 0，y1 = -1，輸入信號

12、f k = 2k uk，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk。,經(jīng)典法不足之處,若差分方程右邊激勵項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。 若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。 這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響 應(yīng)的物理概念。,三、卷積法,系統(tǒng)完全響應(yīng) = 零輸入響應(yīng) + 零狀態(tài)響應(yīng),1.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。,數(shù)學(xué)模型:,求解方法： 根據(jù)差分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式,再由初始狀態(tài)確定待定系數(shù)。,例 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為: yk+3yk-1+2yk-2=fk 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y-1=0， y-2= 1/

13、2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yxk 。,解： 系統(tǒng)的特征方程為,系統(tǒng)的特征根為,解得 C1=1，C2= -2,例 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為: yk+4yk-1+4yk-2=fk 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y-1=0， y-2= 1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yxk 。,解： 系統(tǒng)的特征方程為,系統(tǒng)的特征根為,（兩相等實(shí)根）,解得 C1 = 4, C2= 4,例 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為: yk-0.5yk-1+yk-2 -0.5yk-3 =fk 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y-1 = 2， y-2= -1， y-3= 8，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yxk 。,解： 系統(tǒng)的特征方程為,系統(tǒng)的特征根為,解得 C1=

14、1，C2= 0 ，C5= 5,三、卷積法,系統(tǒng)完全響應(yīng) = 零輸入響應(yīng) + 零狀態(tài)響應(yīng),求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf k方法： 1) 直接求解初始狀態(tài)為零的差分方程。 2) 卷積法： 利用信號分解和線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性求解。,當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵f k產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yf k表示。,2.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf k的思路,1) 將任意信號分解為單位脈沖序列的線性組合 2) 求出單位脈沖序列作用在系統(tǒng)上的響應(yīng) 單位脈沖響應(yīng) 3) 利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，即可求出任意序列f k激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf k 。,卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf

15、 k推導(dǎo),由時(shí)不變特性,由均勻特性,由疊加特性,例 若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為:,已知激勵 ,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf k。,解：,離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),單位脈沖響應(yīng)hk定義 hk的求解 迭代法 等效初始條件法 階躍響應(yīng)gk的求解,一、單位脈沖響應(yīng)hk定義,單位脈沖序列 k作用于離散時(shí)間LTI系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng), 用符號hk表示。,對 N 階LTI離散時(shí)間系統(tǒng)， hk滿足方程,二、 hk的求解,求解方法:,2) 等效初始條件法,將d k-j對系統(tǒng)的瞬時(shí)作用轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件。,等效初始條件由差分方程和h-1 = h-2 = = h-n = 0 遞推求出。,1) 迭代法,例1 描述某離散因果LTI系統(tǒng)的差分方程為 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)hk。,解：hk滿足方程,1) 求等效初始條件,對于因果系統(tǒng)有h-1 = h-2 = 0，代入上面方程可推出,注意：選擇初始條件的基本原則是必須將dk的作用體現(xiàn)在初始條件中,可以選擇h0和h1 或h-1和h0作為初始條件,解：hk滿足方程,2) 求差分方程的齊次解,特征方程為,特征根為,齊次解的表達(dá)式為,代入初始條件，有,解得 C1=-1，C2= 2,