1、,第九章 重積分習(xí)題課(一),二 重 積 分,一、二重積分的概念,1定義 ：,2幾何意義：,表示曲頂柱體的體積,3物理意義：,二、二重積分的性質(zhì),1線性性質(zhì)：,2. 可加性：,4. 單調(diào)性：,3. 區(qū)域 的面積：,若在 上, ,則,設(shè),5估值性質(zhì)：,6中值定理：,7.奇偶對稱性：, 是 的面積,0,D關(guān)于x(或y)軸對稱, 為y(或x)的奇函數(shù),設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)域 上連續(xù),D關(guān)于x(或y)軸對稱, 為y(或x)的偶函數(shù),則,三、二重積分的計算方法,1利用直角坐標(biāo)計算,（1）X-型區(qū)域：,.,關(guān)鍵：選擇積分次序,（2）Y-型區(qū)域：,2利用極坐標(biāo)計算,四、二重積分的解題方法及典型例題,計算二重積分主

2、要應(yīng)用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)兩種方法, 在,直角坐標(biāo)系下進(jìn)行計算的關(guān)鍵是首先判別區(qū)域 的類型(X-型,或Y-型 ), 然后把二重積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于 和 的二次積分. 而,應(yīng)用極坐標(biāo)進(jìn)行計算，關(guān)鍵是判別被積函數(shù) 及區(qū)域,所具有的特點, 如果被積函數(shù) 或積分區(qū)域是,圓域(圓域的一部分), 則把二重積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于 和 的二次積分.,1解題方法流程圖,應(yīng)用極坐標(biāo),應(yīng)用直角坐標(biāo),No,Yes,Yes,No,No,Yes,No,Yes,-X型,-Y型,D-X型,解題方法流程圖,1,2,解: 積分區(qū)域如圖所示.,2. 典型例題,分析 由二重積分的性質(zhì)可知，比較兩個積分的大小, 只需比較被積函數(shù)在積分區(qū)域上的大小即可。

3、 一般要考慮到所圍成的區(qū)域 特點， 二要恰當(dāng)運用不等式證明的方法。,由二重積分的性質(zhì)可知：,所以 ; 又因為 內(nèi)的點滿足,解: 積分區(qū)域如圖所示.,故由二重積分的性質(zhì)可知,即,亦即,由于在 上,分析 首先應(yīng)畫出區(qū)域 的圖形,然后根據(jù)圖形的特點選擇適,當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算。本題可采用直角坐標(biāo)計算，即框圖中線路1,的方法。注意到 既是X-型區(qū)域, 又是Y-型區(qū)域, 但若用Y-,型區(qū)域計算，需把 分割成兩個Y-型區(qū)域的和的形式. 故,本題選擇先對 積分后對 積分的次序計算比較簡單.,解： 積分區(qū)域如圖所示.,將二重積分轉(zhuǎn)化為先對 對后 的二次積分，得,注：若本題將二重積分轉(zhuǎn)化為先對 后對 的二次積分, 則計

4、算相對復(fù)雜。,積分區(qū)域 為X- 型區(qū)域，,【例4】計算二重積分 其中,注意到 既是 型區(qū)域, 又是 型區(qū)域，而無論 型區(qū)域,或 型區(qū)域都不能用一個不等式組表出, 均需要把 分割成,兩個 型區(qū)域或兩個 型區(qū)域的和的形式。 不妨把 分成,型區(qū)域的和 來計算,解: 積分區(qū)域如圖所示.,將二重積分轉(zhuǎn)化為先對 后對 的二次積分,得,因 其中,解: 積分區(qū)域如圖所示.,在極坐標(biāo)系下，由于,將二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下先對 后對 的二次積分,得,分析 由于積分區(qū)域 為圓域，且被積函數(shù)呈現(xiàn) 的形式, 故本題利用極坐標(biāo)進(jìn)行計算，即用框圖中線路2的方法計算比較簡便。,在極坐標(biāo)系下，由于,解: 積分區(qū)域如圖所示.,將

5、二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下先對 后對 的二次積分, 得,注: 若注意到積分區(qū)域 關(guān)于 軸對稱, 而被積函數(shù),關(guān)于 為偶數(shù),則利用對稱性可得,（其中 ),這樣在計算中就不會出現(xiàn) 的形勢, 也就避免了出現(xiàn)計算錯誤.,分析 由于被積函數(shù) 中含有絕對值, 所以應(yīng)首先,在給定的積分區(qū)域 內(nèi),求出 的解析表達(dá)式，,即去掉絕對值。利用曲線 將積分區(qū)域 分成兩部分,型區(qū)域，且被積函數(shù)先對 積分比較容易, 故在直角,和 則 , 而 和 均為,坐標(biāo)系中將二重積分轉(zhuǎn)化為先對 后對 的二次積分, 然后分別計算即可.,則,解: 積分區(qū)域如圖所示.,解：積分區(qū)域 如圖所示.,其中,分析 由于積分區(qū)域 關(guān)于 軸對稱，故先利用

6、二重積分的,化為二次積分進(jìn)行計算即可。,關(guān)于 為奇函數(shù)，故,解：,分析 本題是二重積分的計算、變上限積分求導(dǎo)和求極限的綜合題目。應(yīng)首先利用極坐標(biāo)將二重積分轉(zhuǎn)化成積分變上限的函數(shù)，然后再利用洛必達(dá)法則求極限。,解：,型,型,五、二重積分的應(yīng)用,1幾何應(yīng)用,（其中 ）,2物理應(yīng)用,（1）質(zhì)量,（2）質(zhì)心,（3）轉(zhuǎn)動慣量,曲頂柱體的體積,分析 首先求出立體在 坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，然后利用二重積分的幾何意義將所求立體的體積用二重積分來表示，再利用極坐標(biāo)計算即可。,在 坐標(biāo)面上的投影曲線方程為,故立體在 坐標(biāo)面上投影區(qū)域為,由二重積分的幾何意義，可知所求立體的體積為,六、交換二次積分次序的方法,交換二次

7、積分的次序 ，其實質(zhì)是把二重積分化為二次積分的逆問題。改變積分次序應(yīng)首先對給定的二次積分求出其對應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域 , 其次要判斷 的類型, 然后再根據(jù) 的類型, 將二重積分化為另一次序的二次積分。,1解題方法流程圖,改變二次積分的積分次序,由 分別確定,由 分別確定,Yes,Yes,No,No,D-Y型,D-X型,2典型例題,【例12】改變 的積分次序。,分析 由于二次積分是先對 后對 ,故應(yīng)按框圖中線路2,的方法計算。首先將二次積分 與,還原成二重積分，由此找出積分區(qū)域,最后便可將給定的二次積分轉(zhuǎn)化為先對 后對 的二次積分。,解: 設(shè),則,令 ，則,畫出 的圖形如圖所示.,再把二重積分轉(zhuǎn)化為先對 后對 的二次積分， 有,可知 為 型區(qū)域; 且,【例13】計算,分析 由于被積函數(shù)為 如果先對變量 積分, 則會遇到,原函數(shù) 求不出的問題, 所以計算二次積分的問題就歸,結(jié)為改變積分次序的問題，即把二次積分化成先對 后對,的二次積分，亦即按框圖中線路1的方法進(jìn)行計算。,解：由于 可以表示成 型區(qū)域(如圖),所以,（令 ),【例14】證明,分析 觀察所要證明的等式的左右兩邊不