1、數(shù)字信號處理,周仲興 Room: 17樓430室 Email: Phone:教學安排,第一章：時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 第二章：時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 第三章：離散傅里葉變換 第四章：快速傅里葉變換 第五章：時域離散系統(tǒng)的網絡結構 第六章：無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 第七章：有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計,考核：平時成績(10-20%)+期末考試 平時成績包括：出勤+作業(yè),后續(xù)課程：Matlab數(shù)字信號處理（上機實驗）,第一章 離散時間信號與系統(tǒng),學習目標,掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義,掌握序列的基本運算，并會判斷序列的周期性。 掌握線性/時不變/因果

2、/穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)的概念并會判斷，掌握線性時不變系統(tǒng)及其因果性/穩(wěn)定性判斷的充要條件。 理解常系數(shù)線性差分方程及其用迭代法求解單位脈沖響應。 了解對連續(xù)時間信號的時域采樣，掌握奈奎斯特采樣定理，了解采樣的恢復過程。,1.1 離散時間信號序列,信號是傳遞信息的函數(shù)。針對信號的自變量和函數(shù)值的取值，可分為三種信號： （1）連續(xù)時間信號 -自變量取連續(xù)值，而函數(shù)值可連續(xù)可離散。當函數(shù)值是連續(xù)的，又常稱模擬信號，如語音信號、溫度信號等。 （2）離散時間信號 -自變量取離散值，而函數(shù)值連續(xù)。 （3）數(shù)字信號 -自變量和函數(shù)值均取離散值。它是信號幅度離散化了的離散時間信號。,離散時間信號是對模擬信號 x

3、a(t) 進行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為T，得到：,一、離散時間信號序列的概念,這里 n 取整數(shù)。對于不同的 n 值，xa(nT) 是一個有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時間信號。注意，這里的n取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，另外，在數(shù)值上它等于信號的采樣值，即,離散時間信號的表示方法：公式表示法、圖形表示法、集合符號表示法，如,二、常用序列,1. 單位抽樣序列(n),思考：對于(t) ，(1.5)=0; 那么對于(n), (1.5)=?,2. 單位階躍序列u(n),類似的，單位階躍序列在非整數(shù)時刻沒有定義,(n)與u(n)之間的關系,令n-k=m，有,思考：上述兩個u(n)公式在物理含義上有什么

4、區(qū)別？,3. 矩形序列RN(n),(N為矩形序列的長度),思考：R4(n)獲得的兩種過程，用圖畫出,4. 實指數(shù)序列,，a為實數(shù),a-1或-1a0,序列的幅值擺動,序列收斂,序列發(fā)散,5. 正弦序列,式中，為數(shù)字域頻率（數(shù)字頻率，數(shù)字角頻率），單位為弧度。,如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么,為模擬角頻率，單位為弧度/秒。T為信號的采樣周期，fs為信號的采樣頻率。,那么與有何關系？ （非常重要）,6. 復指數(shù)序列,這里為數(shù)字域頻率，單位為弧度。當 =0時，上式可表示成,此時根據(jù)歐拉公式,表明復指數(shù)序列具有以2為周期的周期性，在以后的研究中，頻率域只考慮一個周期就夠了。,7. 周

5、期序列,如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：,例：,則稱x(n)為周期序列，最小周期為N。,一般正弦序列的周期性,設,那么,如果,則,N，k均取整數(shù),式中，A為幅度，0為數(shù)字域頻率，為初相。,正弦序列的周期性討論：,整數(shù)時，則正弦序列有周期，當k=1時，周期為,有理數(shù)時，設 =P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k為最小正整數(shù)，只有k=Q，即N=P 時，所以正弦序列的周期為P,無理數(shù)時，則正弦序列無周期。例如，,例1 序列 ，因為2/= 8，所以是一個周期序列，其周期N= 8。,例2 序列,2/= 8/3是有理數(shù)，所以是周期序列，取k= 3，得到周期N= 8。,例3 序列,

6、用單位采樣序列來表示任意序列,(重要),三、 序列的運算,1. 序列的加法,同序號的序列值逐項對應相加,2. 序列的乘法,同序號的序列值逐項對應相乘,3. 序列的移位,當 n00 時，序列右移 延遲 當 n00 時，序列左移 超前,4. 序列的翻轉,x(-n)是x(n)的翻轉序列。x(-n)是以縱軸（n=0）為對稱軸將序列x(n)加以翻轉。,5. 尺度變換,6. 累加（等效積分）,7. 差分運算 前向差分 后向差分,8. 卷積和,等效為換元、翻轉、移位、相乘和相加五個步驟。,1.2 線性時不變系統(tǒng)（重點）,在時域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時不變系統(tǒng)。,系統(tǒng)可定義為將輸入序列x(n)映射

7、成輸出序列y(n)的唯一變換或運算，并用T表示，即,1.2.1 線性系統(tǒng),若系統(tǒng)滿足可加性與比例性,則稱此系統(tǒng)為離散時間線性系統(tǒng)。,其中a、b為任意常數(shù)。,設,例,是線性系統(tǒng)。,證：,所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,例,所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。,證：,但是,所以，此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。,1.2.2 時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）,若,則,n0為任意整數(shù)。,輸入移動任意位（如n0位），其輸出也移動這么多位，而幅值卻保持不變。,例,證：,所以，此系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。,例,證：,所以，此系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。,同理，可證明 所代表的系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。,1.2.3 線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關系,一個既滿足疊加

8、原理，又滿足時不變條件的系統(tǒng)，被稱為線性時不變系統(tǒng)(linear shift invariant,LTI)。線性時不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應來表征。,單位取樣響應，也稱單位沖激響應，是指輸入為單位沖激序列時系統(tǒng)的輸出，一般用h(n)來表示：,推導卷積和表達式,根據(jù)h(n)的定義：,由比例性：,由可加性：,(n),h(n),由時不變性：,(n-m),h(n-m),x(m)(n-m),x(m)h(n-m),x (n),y(n),y(n)=x(n)*h(n),x(n),線性時不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關系：,用單位取樣響應h(n)來描述系統(tǒng),線性卷積的計算,計算它

9、們的卷積的步驟如下： (1)換元： n 換為 m 得x(m) ，h(m) (2)翻轉：以縱坐標為對稱軸翻轉， h(m) h(-m)。 (2)移位：將h(-m)移位n，得h(n-m)。當n為正數(shù)時，右移n；當n為負數(shù)時，左移n。 (3)相乘：將h(n-m)和x(m)的對應取樣值相乘。 (4)相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。,例已知x(n)和h(n)分別為：,和,a為常數(shù)，且1a，試求x(n)和h(n)的線性卷積。,計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。,解參看圖，分段考慮如下：,(1)對于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10。 先看下圖例,圖解說

10、明,圖解說明,(2)在0n4區(qū)間上,(3)在4n6區(qū)間上,(4)在6n10區(qū)間上,綜合以上結果，y(n)可歸納如下：,卷積結果y(n)如圖所示,例,設有一線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為,解：,分段考慮如下：,(1)對于n0； (2)對于0n N1； (3)對于nN。,(2)在0nN 區(qū)間上,(3)在nN 區(qū)間上,例,設有一線性時不變系統(tǒng)，其,解：,對有限長序列相卷，可用豎乘法,注：1. 各點要分別乘、分別加且不跨點進位； 2. 卷和結果的起始序號等于兩序列的其實序號之和。,由上面幾個例子的討論可見，,設x(n)和h(n)兩序列的長度分別是N 和M ，線性卷積后的序列長度為(N + M -1)

11、。（重要）,線性卷積滿足以下運算規(guī)律：,交換律,結合律,分配律,序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：,如果序列與一個移位的單位取樣序列(n-n0)進行線性卷積，就相當于將序列本身移位n0：,例,求系統(tǒng)的輸出y(n)。,m(n),解：設級聯(lián)的第一個系統(tǒng)輸出 m(n),1.2.4 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,在系統(tǒng)中，若輸出y(n)只取決于n時刻，以及n時刻以前的輸入，即,稱該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。,對于線性時不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應滿足：,如,因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領先于輸入的變化的系統(tǒng)。,穩(wěn)定系統(tǒng),對一個線性時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取樣響應絕對可和，即

12、,穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于每個有界輸入x(n)，都產生有界輸出y(n)的系統(tǒng)。即如果|x(n)|M(M為正常數(shù))，有|y(n)|+，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。,例,設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為,式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。,解：,由于n0時，h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。,所以 時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。,思考：y(n)=ex(n) 是否因果(課后練習6(5),例,設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為,式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。,解：(1)討論因果性,由于n0時，h(n)0，故此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。,(2)討論穩(wěn)定性,所以 時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。,自己畫出u(-n-1

13、)的圖形,例：根據(jù)上述定義判斷下列5個系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)。,1) y(n)=nx(n) 2) y(n)=x(n+2)+ax(n),因果系統(tǒng),非因果系統(tǒng),3) y(n)=x(n3) 4) y(n)=x(-n) 5) y(n)=x(n)sin(n+2),非因果系統(tǒng),非因果系統(tǒng),因果系統(tǒng),注意：1)必須從全部時間上看輸入輸出關系的因果性 ；,2)考查因果系統(tǒng)時必須把輸入信號的影響與系統(tǒng)定義中用到的其他函數(shù)的影響區(qū)別開來。,討論因果系統(tǒng)可實現(xiàn)性,因果系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)；非因果系統(tǒng)是不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。,在具有較大延時的情況下，可以用因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)。 例如語音處理、氣象、地球物理學等。 在這種

14、情況下，系統(tǒng)為了產生某個時刻的輸出，可以利用已經存儲著的一些未來的輸入取樣值。,非因果系統(tǒng)在理論上是存在的。 例如，理想低通濾波器以及理想微分器都是非因果系統(tǒng)，但它們是不可實現(xiàn)的。,1.3 線性常系數(shù)差分方程,一個N 階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：,連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)微分方程,求解差分方程的基本方法有三種：,經典法,求齊次解、特解、全解,遞推法,求解時需用初始條件啟動計算,變換域法,將差分方程變換到Z域進行求解,65,線性時不變系統(tǒng)的數(shù)學模型,線性：x(n-r)和y(n-k)項都只有一次冪且不存在它們的相乘項，也沒有相互交叉項,常系數(shù)：決定系統(tǒng)特征的系數(shù)均為常數(shù),階數(shù)：y(n

15、-k)項變量k的最大值與最小值之差。,例,設差分方程為,求輸出序列,設系統(tǒng)參數(shù),設輸入為,初始條件為,解：,遞推法求解,依次類推,初始條件為,注意：這里用u(n)、u(-n-1)函數(shù)來替代表示n的取值范圍,差分方程表示法的另一優(yōu)點是可以直接得到系統(tǒng)的結構,1.4 連續(xù)時間信號的抽樣,信號經過采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號頻譜將發(fā)生怎樣變化； 經過采樣后信號內容會不會有丟失； 如果信號沒有被丟失，其反變換應該怎樣進行，即由數(shù)字信號恢復成模擬信號應該具備那些條件等。,1.4.1 采樣,理想采樣,一、理想采樣,定義,單位沖擊函數(shù),t,0, (t),(1),單位沖擊函數(shù)有一個重要的性質：,采樣性,若f(t)為連續(xù)函數(shù)，則有,將上式推廣，可得,t0, (t-t0),二、取樣后的頻譜形式如何，有何意義？,即,即,上式中最終求兩個信號乘積的傅里葉變換：時域乘積頻域?,由于 是周期函數(shù),可用傅立葉級數(shù)表示，即,采樣角頻率,系數(shù),求,的傅里葉變換：,對稱性,移頻特性,根據(jù),采樣信號的傅氏變換為,這里可以直接用信號和采樣序列卷積的性質，只不過現(xiàn)在的變量在頻域,即,采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓，其延拓周期為s 。,討論：,稱Nyquist采樣率,稱折疊頻率,稱Nyquist范圍