1、專題04立體幾何核心考點(diǎn)一平行關(guān)系的證明平行關(guān)系包括直線與直線平行、直線與平面平行及平面與平面平行，平行關(guān)系的證明一般作為解答題的第一問(wèn)，難度中等或中等以下，解答此類問(wèn)題要注意步驟的規(guī)范.【經(jīng)典示例】如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)求證：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.答題模板證明BE平面DMF的步驟第一步,在平面DMF內(nèi)找出一條直線MO與BE平行；第二步,指出BE平面DMF，MO平面DMF；第三步,由線面平行的判斷定理得BE平面DMF.【滿分答案】(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O，連接AE，則AE必過(guò)點(diǎn)O，連

2、接MO，則MO為ABE的中位線，所以BEMO.因?yàn)锽E平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DEGN.因?yàn)镈E平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MN為ABD的中位線，所以BDMN.因?yàn)锽D平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.因?yàn)镈E與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE平面MNG.【解題技巧】1.判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用

3、面面平行的性質(zhì)(，a，a，aa)2. 證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化3.平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面、面面平行時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的，不可過(guò)于“模式化”模擬訓(xùn)練1如圖所示，斜三棱柱ABCA

4、1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)(1)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值【解析】(1)如圖所示，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)1.連接A1B，交AB1于點(diǎn)O，連接OD1. (2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，得BC1D1O，同理AD1DC1，又1，1，即1.核心考點(diǎn)二垂直關(guān)系的證明平行關(guān)系包括直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直，垂直關(guān)系的證明一般作為解答題的第一問(wèn)，難度中等或中等以下，解答此類問(wèn)題要注意步驟的規(guī)范.【經(jīng)典示例】如圖所示，在四棱錐PA

5、BCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.答題模板證明PD平面ABE(線面垂直)的步驟：第一步,證明AEPD，ABPD(在平面ABE內(nèi)找出兩條直線與AD垂直)；.第二步,指出ABAEA (兩直線相交)；.第三步,利用線面垂直的判定定理確定PD平面ABE.【滿分答案】(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知AECD，且PCCD

6、C，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.【解題技巧】1.證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì)(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想2. 判定面面垂直的方法面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化在一個(gè)平面內(nèi)

7、作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直3. 垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件同時(shí)抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決. 模擬訓(xùn)練2如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.【證明】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以D

8、EAC，于是DEA1C1.又因?yàn)镈E平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因?yàn)锳1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因?yàn)锽1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因?yàn)锽1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.核心考點(diǎn)三利用空間向量證明平行與垂直立體

9、幾何中的線面位置關(guān)系的證明，也可利用向量，用向量法解決立體幾何問(wèn)題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想【經(jīng)典示例】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，且PAPDAD，設(shè)E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)(1)求證：EF平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PDC.答題模板用向量證明平行或垂直的步驟第一步, 恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)；.第二步,把平行與垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線方向向量或平面法向量之間

10、的數(shù)量關(guān)系；第三步,通過(guò)計(jì)算得出結(jié)論；第四步,還原結(jié)論.【滿分答案】(1)如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OF.因?yàn)镻APD，所以POAD.因?yàn)閭?cè)面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，所以O(shè)FAB.又ABCD是正方形，所以O(shè)FAD.因?yàn)镻APDAD，所以PAPD，OPOA.以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(，0,0)，F(xiàn)(0，0)，D(，0,0)，P(0,0，)，B(，a,0)，C(，a,0)因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以E(，)易知平面PAD的一個(gè)法向量為(0，0)，因?yàn)?，0，)，

11、且(0，0)(，0，)0，所以EF平面PAD.(2)因?yàn)?，0，)，(0，a,0)，所以(，0，)(0，a,0)0，所以，所以PACD.又PAPD，PDCDD，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.【解題技巧】1.證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說(shuō)明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算2.證明垂直問(wèn)題的方法(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算其中靈活建系

12、是解題的關(guān)鍵(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可，當(dāng)然，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；其三證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可3. 對(duì)于“是否存在”型問(wèn)題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”模擬訓(xùn)練3如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形

13、，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為BC的中點(diǎn)(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由依題意得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)，所以(，0，1)，(1,0,1)，因?yàn)閨cos，|.所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為.(2)假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN.連接AE，如圖所示因?yàn)?0,1,1)，可設(shè)(0，)，又(，1,0)，所以(，1，)由ES平面AMN，得即解得，此時(shí)(0，

14、)，|.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AS時(shí)，ES平面AMN.故線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN，此時(shí)AS.核心考點(diǎn)四利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角是全國(guó)卷高考必考內(nèi)容，重點(diǎn)是直線與平面所成角及二面角，此類問(wèn)題模式化較強(qiáng)，在高考中屬于得分題，但運(yùn)算量一般較大,要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 【經(jīng)典示例】如圖所示，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足.將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1 DE B為直二面角，連接A1B，A1C.(1)求證：A1D平面BCED；(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60？若存在，求出PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)

15、說(shuō)明理由答題模板利用向量求空間角的步驟第一步,建立空間直角坐標(biāo)系；第二步,確定點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步,求向量(直線的方向向量、平面的法向量)；第四步,計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)；第五步，將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角；第六步，反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范【滿分答案】(1)證明：因?yàn)榈冗匒BC的邊長(zhǎng)為3，且，所以AD1，AE2.在ADE中，DAE60，由余弦定理得DE.所以AD2DE2AE2，所以ADDE.折疊后有A1DDE，因?yàn)槎娼茿1 DE B是直二面角，所以平面A1DE平面BCED，又平面A1DE平面BCEDDE，A1D平面A1DE，A1DDE，所以A1D平面BCED.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P

16、，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60.如圖所示，在BC上取點(diǎn)P，連接A1P，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直BD于點(diǎn)H，連接A1H.由(1)的證明，可知EDDB，A1D平面BCED.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線DB，DE，DA1分別為x軸，y軸，z軸的非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D xyz.設(shè)PB2a(02a3)，則BHa，PHa，DH2a，所以D(0,0,0)，A1(0,0,1)，P(2a，a,0)，E(0，0)，所以(a2，a,1)，因?yàn)镋D平面A1BD，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為(0，0)因?yàn)橹本€PA1與平面A1BD所成的角為60，所以sin 60cos，解得a，即PB2a，滿足02a3，符合題意，

17、所以在線段BC上存在點(diǎn)P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60，此時(shí)PB.【解題技巧】1.用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值2.利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角3.利用向量法計(jì)算二面角大小的常用

18、方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小模擬訓(xùn)練4如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，ABBE2.(1)求證：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AHHF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值【解析】(1)證明依題意，OF平面ABCD，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，