1、最新資料推薦2015 中考專題復習軸對稱之最值例題講解1（ 2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，rtoab 的頂點 a 在 x 軸的正半軸上 頂點 b 的坐標為 （ 3，），點 c 的坐標為（， 0），點 p 為斜邊 ob 上的一個動點，則pa+pc 的最小值為（）a b cd 22（ 2011?本溪）如圖，正方形abcd 的邊長是4， dac 的平分線交dc 于點 e，若點 p、q 分別是 ad和 ae 上的動點，則dq+pq 的最小值（）a 2b 4c 2d 43（ 2013?宛城區(qū)一模） 點 a ，b 均在由邊長為1 的相同小正方形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示，若

2、 p 是 x 軸上使得 |pa pb|的值最大的點， q 是 y 軸上使得qa+qb 的值最小的點， 則 op+oq=（）a b 4cd 54如圖， a 是半圓上的一個二等分點，b 是半圓上的一個六等分點，p 是直徑 mn 上的一個動點，o 半徑 r=1 ，則 pa+pb 的最小值是（）a 2b cd5如圖，在平面直角坐標系中，點a （ 2， 4）， b（ 4， 2），在 x 軸上取一點p，使點 p 到點 a 和點 b的距離之和最小，則點p 的坐標是（）a （ 2， 0）b （ 4，0）c （ 2， 0）d （ 0， 0）1最新資料推薦6如圖， mn 是 o 的直徑，點a 是半圓上的三等分點，

3、點b 是劣弧 an 的中點，點p 是直徑 mn 上一動點若mn=2，則 pa+pb 的最小值是（）a 2b c 1d 27如圖，正方形abcd 的面積為16， abe 是等邊三角形，點e 在正方形 abcd 內(nèi)，在對角線bd 上有一點 p，使 pc+pe 的和最小，則這個最小值為（）a 4b 2c 2d 28（ 2013?資陽）如圖，在 rt abc 中， c=90 ， b=60 ，點 d 是 bc 邊上的點， cd=1 ，將 abc 沿直線 ad 翻折，使點 c 落在 ab 邊上的點 e 處，若點 p 是直線 ad 上的動點，則 peb 的周長的最小值是_9（ 2012?青島）已知：如圖，在

4、 rt abc 中， c=90，ac=6cm ， bc=8cm ， d、 e 分別是 ac 、ab 的中點，連接 de，點 p 從點 d 出發(fā)，沿 de 方向勻速運動，速度為 1cm/s；同時，點 q 從點 b 出發(fā)，沿 ba 方向勻速運動，速度為 2cm/s，當點 p 停止運動時，點 q 也停止運動連接 pq，設(shè)運動時間為 t（ s）（0 t4）解答下列問題：（ 1）當 t 為何值時， pqab ？（ 2）當點 q 在 be 之間運動時，設(shè)五邊形 pqbcd 的面積為 y（ cm2），求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）在（ 2）的情況下，是否存在某一時刻t，使 pq 分四邊形 bcd

5、e 兩部分的面積之比為spqe： s 五邊形pqbcd =1： 29？若存在，求出此時t 的值以及點 e 到 pq 的距離 h；若不存在，請說明理由2最新資料推薦10（ 2013?南充）如圖，公路ab 為東西走向，在點a 北偏東 36.5方向上，距離5 千米處是村莊m ；在點 a 北偏東 53.5方向上， 距離 10 千米處時村莊 n（參考數(shù)據(jù)； sin36.5=0.6，cos36.5=0.8，tan36.5=0.75 ）（ 1）求 m ，n 兩村之間的距離；（ 2）要在公路 ab 旁修建一個土特產(chǎn)收購站 p，使得 m ， n 兩村到 p 的距離之和最短，求這個最短距離11（2013?日照）問

6、題背景：如圖（ a），點 a 、b 在直線 l 的同側(cè)，要在直線 l 上找一點 c，使 ac 與 bc 的距離之和最小，我們可以作出點 b 關(guān)于 l 的對稱點 b ，連接 a b 與直線 l 交于點 c，則點 c 即為所求（ 1）實踐運用：如圖（ b），已知， o 的直徑 cd 為 4，點 a 在 o 上， acd=30 ， b 為弧 ad 的中點， p 為直徑 cd 上一動點，則 bp+ap 的最小值為 _ （ 2）知識拓展：如圖（ c），在 rt abc 中， ab=10 ， bac=45 ， bac 的平分線交 bc 于點 d， e、 f 分別是線段 ad 和 ab 上的動點，求 be+

7、ef 的最小值，并寫出解答過程12（2010?天津）在平面直角坐標系中，矩形oacb 的頂點 o 在坐標原點，頂點a 、b 分別在 x 軸、 y 軸的正半軸上，oa=3 ， ob=4 ， d 為邊 ob 的中點（ 1）若 e 為邊 oa 上的一個動點，當 cde 的周長最小時，求點e 的坐標；（ 2）若 e、 f 為邊 oa 上的兩個動點，且ef=2，當四邊形cdef 的周長最小時，求點e、 f 的坐標（溫馨提示： 可以作點 d 關(guān)于 x 軸的對稱點 d，連接 cd與 x 軸交于點 e，此時 cde 的周長是最小的 這樣，你只需求出 oe 的長，就可以確定點 e 的坐標了）3最新資料推薦13（

8、 2010?淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（ a）圖，若點a ， b 在直線 l 同側(cè)，在直線l 上找一點p，使 ap+bp 的值最小做法如下：作點b 關(guān)于直線l 的對稱點b ，連接 ab ，與直線l 的交點就是所求的點p再如（ b）圖，在等邊三角形abc 中， ab=2 ，點 e 是 ab 的中點， ad 是高，在ad 上找一點 p，使 bp+pe 的值最小做法如下：作點b 關(guān)于 ad 的對稱點，恰好與點c 重合，連接ce 交 ad 于一點，則這點就是所求的點p，故 bp+pe 的最小值為 _ （ 2）實踐運用：如（ c）圖，已知o 的直徑 cd 為 4， aod 的度數(shù)為60，點 b 是的中點，

9、在直徑cd 上找一點p，使 bp+ap 的值最小，并求bp+ap 的最小值（ 3）拓展延伸：如（ d）圖，在四邊形abcd 的對角線ac 上找一點p，使 apb= apd 保留作圖痕跡，不必寫出作法14（ 2009?漳州）幾何模型：條件：如下圖，a、 b 是直線 l 同旁的兩個定點問題：在直線l 上確定一點p，使 pa+pb 的值最小方法：作點a 關(guān)于直線l 的對稱點a ，連接 a b 交 l 于點 p，則 pa+pb=a b 的值最小（不必證明） 模型應用：（ 1）如圖 1，正方形 abcd 的邊長為2，e 為 ab 的中點， p 是 ac 上一動點連接bd ，由正方形對稱性可知， b 與

10、d 關(guān)于直線ac 對稱連接ed 交 ac 于 p，則 pb+pe 的最小值是_；（ 2）如圖 2，o 的半徑為 2，點 a 、b、c 在 o 上，oa ob，aoc=60 ，p 是 ob 上一動點， 求 pa+pc 的最小值；（ 3）如圖 3， aob=45 ， p 是 aob 內(nèi)一點， po=10， q、 r 分別是 oa 、 ob 上的動點，求 pqr 周長的最小值4最新資料推薦2013 年 12 月 1066077065的初中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一選擇題（共7 小題）1（ 2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，rtoab 的頂點 a 在 x 軸的正半軸上 頂點 b 的坐標為 （

11、 3，），點 c 的坐標為（， 0），點 p 為斜邊 ob 上的一個動點，則pa+pc 的最小值為（）a b cd 2考點 ： 軸對稱 -最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)專題 ： 壓軸題分析： 作 a 關(guān)于 ob 的對稱點d，連接 cd 交 ob 于 p，連接 ap，過 d 作 dn oa 于 n，則此時 pa+pc的值最小，求出 am ，求出 ad ，求出 dn 、cn ，根據(jù)勾股定理求出 cd，即可得出答案解答： 解：作 a 關(guān)于 ob 的對稱點 d，連接 cd 交 ob 于 p，連接 ap ，過 d 作 dn oa 于 n，則此時 pa+pc 的值最小， dp=pa ， pa+pc=pd+p

12、c=cd ， b （3，）， ab=， oa=3 ， b=60 ，由勾股定理得：ob=2，由三角形面積公式得：oa ab=obam ， am= ， ad=2 =3， amb=90 ， b=60 ， bam=30 ， bao=90 ， oam=60 ， dn oa ， nda=30 ， an=ad=，由勾股定理得：dn=， c（，0），5最新資料推薦 cn=3 =1 ，在 rt dnc 中，由勾股定理得：dc=，即 pa+pc 的最小值是，故選 b點評： 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，軸對稱最短路線問題，勾股定理，含30 度角的直角三角形性質(zhì)的應用，關(guān)鍵是求出p 點的位置，題目比較好，難度適中2

13、（ 2011?本溪）如圖，正方形abcd 的邊長是4， dac 的平分線交dc 于點 e，若點 p、q 分別是 ad和 ae 上的動點，則dq+pq 的最小值（）a 2b 4c 2d 4考點 ： 軸對稱 -最短路線問題；正方形的性質(zhì)專題 ： 壓軸題；探究型分析： 過 d 作 ae 的垂線交ae 于 f，交 ac 于 d ，再過 d作 dp ad ，由角平分線的性質(zhì)可得出d是d 關(guān)于 ae 的對稱點，進而可知 dp即為 dq+pq 的最小值解答： 解：作 d 關(guān)于 ae 的對稱點 d ，再過 d 作 dpad 于 p， dd ae ， afd= afd ， af=af ， dae= cae ，

14、daf daf ， d 是 d 關(guān)于 ae 的對稱點， ad =ad=4 ， d p即為 dq+pq 的最小值，四邊形abcd 是正方形， dad =45 ， ap =pd，在 rtap d中，2222， ad ，pd+ap =ad =166最新資料推薦 ap =pd，2222pd=ad ，即 2pd=16， pd=2，即 dq+pq 的最小值為2故選 c點評： 本題考查的是軸對稱最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵3（ 2013?宛城區(qū)一模） 點 a ，b 均在由邊長為 1 的相同小正方形組成的網(wǎng)格的格點上， 建立平面直角坐標系如圖所示，若 p 是 x 軸上使得 |pa pb|的

15、值最大的點， q 是 y 軸上使得 qa+qb 的值最小的點， 則 op+oq=（）a b 4cd 5考點 ： 軸對稱 -最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)分析： 連接 ab 并延長交x 軸于點 p，作 a 點關(guān)于 y 軸的對稱點a 連接 a b 交 y 軸于點 q，求出點 q 與 y軸的交點坐標即可得出結(jié)論解答： 解：連接ab 并延長交x 軸于點 p，由三角形的三邊關(guān)系可知，點p 即為 x 軸上使得 |pa pb|的值最大的點，點 b 是正方形的中點，點 p 即為 ab 延長線上的點，此時p（ 3， 0）即 op=3；作 a 點關(guān)于 y 軸的對稱點 a 連接 a b 交 y 軸于點 q，則 a b

16、 即為 qa+qb 的最小值， a （ 1， 2）， b（ 2， 1），設(shè)過 a b 的直線為： y=kx+b ，則，解得， q（ 0， ），即 oq= ， op+oq=3+ = 故選： c7最新資料推薦點評： 本題考查的是軸對稱最短路線問題，根據(jù)題意得出p、q 兩點的坐標是解答此題的關(guān)鍵4如圖， a 是半圓上的一個二等分點，b 是半圓上的一個六等分點，p 是直徑 mn 上的一個動點，o 半徑 r=1 ，則 pa+pb 的最小值是（）a 2b cd考點 ： 軸對稱 -最短路線問題；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系分析： 本題是要在mn 上找一點p，使 pa+pb 的值最小，設(shè)a 是 a

17、 關(guān)于 mn 的對稱點，連接a b，與mn 的交點即為點 p此時 pa+pb=a b 是最小值，可證 oa b 是等腰三角形，從而得出結(jié)果解答： 解：作點 a 關(guān)于 mn 的對稱點 a ，連接 a b，交 mn 于點 p，連接 oa ， aa 作 oq ab ，點 a 與 a 關(guān)于 mn 對稱，點a 是半圓上的一個二等分點， aon= aon=90 ， pa=pa， b 是半圓上的一個六等分點， bon=30 ， aob= a on+ bon=120 ，又 oa=oa =1， a =30 ， a q=oa cos30=， a b= pa+pb=pa +pb=a b=故選： c點評： 此題考查了

18、軸對稱最短路線問題，正確確定p 點的位置是解題的關(guān)鍵，確定點 p 的位置這類題在課本中有原題，因此加強課本題目的訓練至關(guān)重要5如圖，在平面直角坐標系中，點a （ 2， 4）， b（ 4， 2），在 x 軸上取一點p，使點 p 到點 a 和點 b的距離之和最小，則點p 的坐標是（）8最新資料推薦a （ 2， 0）b （ 4，0）c （ 2， 0）d （ 0， 0）考點 ： 軸對稱 -最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)分析： 作 a 關(guān)于 x 軸的對稱點c，連接 ac 交 x 軸于 d，連接 bc 交交 x 軸于 p，連接 ap ，此時點p 到點 a 和點 b 的距離之和最小，求出c（的坐標，設(shè)直線cb

19、 的解析式是y=kx+b ，把 c、 b 的坐標代入求出解析式是y=x 2，把 y=0 代入求出x 即可解答：解：作 a 關(guān)于 x 軸的對稱點 c，連接 ac 交 x 軸于 d ，連接 bc 交交 x 軸于 p，連接 ap ，則此時 ap+pb 最小，即此時點p 到點 a 和點 b 的距離之和最小， a （ 2， 4）， c（ 2， 4），設(shè)直線 cb 的解析式是 y=kx+b ，把 c、 b 的坐標代入得：，解得： k=1， b=2， y=x 2，把 y=0 代入得： 0=x 2，x=2 ，即 p 的坐標是（ 2， 0），故選 c點評： 本題考查了軸對稱最短路線問題，一次函數(shù)的解析式，坐標與

20、圖形性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是能畫出p 的位置，題目比較典型，是一道比較好的題目6如圖， mn 是 o 的直徑，點a 是半圓上的三等分點，點b 是劣弧 an 的中點，點p 是直徑 mn 上一動點若mn=2，則 pa+pb 的最小值是（）9最新資料推薦a 2b c 1d 2考點 ： 軸對稱 -最短路線問題；勾股定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理分析： 本題是要在mn 上找一點p，使 pa+pb 的值最小，設(shè)a 是 a 關(guān)于 mn 的對稱點，連接a b，與mn 的交點即為點p此時 pa+pb=a b 是最小值， 可證 oa b 是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果解答： 解：作點a 關(guān)于 mn 的對稱點a

21、 ，連接 a b，交 mn 于點 p，連接 oa ， oa ，ob ， pa，aa 點 a 與 a 關(guān)于 mn 對稱，點a 是半圓上的一個三等分點， aon= aon=60 ， pa=pa，點 b 是弧 an 的中點， bon=30 ， aob= a on+ bon=90 ，又 oa=oa =， a b=2 pa+pb=pa +pb=a b=2 故選 d點評： 本題結(jié)合圖形的性質(zhì)，考查軸對稱最短路線問題其中求出boc 的度數(shù)是解題的關(guān)鍵7如圖，正方形abcd 的面積為16， abe 是等邊三角形，點e 在正方形 abcd 內(nèi)，在對角線bd 上有一點 p，使 pc+pe 的和最小，則這個最小值為

22、（）a 4b 2c 2d 2考點 ： 軸對稱 -最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)專題 ： 計算題分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)，推出c、 a 關(guān)于 bd 對稱，推出cp=ap，推出 ep+cp=ae ，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出ae=ab=ep+cp ，根據(jù)正方形面積公式求出ab 即可，10最新資料推薦解答：解：正方形abcd ， ac bd ，oa=oc ， c、a 關(guān)于 bd 對稱，即 c 關(guān)于 bd 的對稱點是 a ，連接 ae 交 bd 于 p，則此時 ep+cp 的值最小， c、a 關(guān)于 bd 對稱， cp=ap ， ep+cp=ae ，等邊三角形 abe ， ep+cp=ae=a

23、b ，正方形abcd 的面積為16， ab=4 ， ep+cp=4，故選 a 點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱最短問題，等邊三角形的性質(zhì)等知識點的應用，解此題的關(guān)鍵是確定 p 的位置和求出 ep+cp 的最小值是 ae ，題目比較典型， 但有一定的難度， 主要培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力二填空題（共1 小題）8（ 2013?資陽）如圖，在 rt abc 中， c=90 ， b=60 ，點 d 是 bc 邊上的點， cd=1 ，將 abc 沿直線 ad 翻折，使點 c 落在 ab 邊上的點 e 處，若點 p 是直線 ad 上的動點，則 peb 的周長的最小值是1+考點 ： 軸對稱 -最

24、短路線問題；含30 度角的直角三角形；翻折變換（折疊問題）專題 ： 壓軸題分析： 連接 ce，交 ad 于 m ，根據(jù)折疊和等腰三角形性質(zhì)得出當p 和 d 重合時， pe+bp 的值最小，即可此時 bpe 的周長最小， 最小值是 be+pe+pb=be+cd+de=bc+be ，先求出 bc 和 be 長，代入求出即可11最新資料推薦解答：解：連接ce，交 ad 于 m ，沿 ad 折疊 c 和 e 重合， acd= aed=90 ， ac=ae ， cad= ead ， ad 垂直平分 ce，即 c 和 e 關(guān)于 ad 對稱， cd=de=1 ，當 p 和 d 重合時， pe+bp 的值最小

25、，即此時 bpe 的周長最小，最小值是be+pe+pb=be+cd+de=bc+be， dea=90 ， deb=90 ， b=60 ， de=1 ， be=，bd=，即 bc=1+， peb 的周長的最小值是bc+be=1+=1+，故答案為： 1+點評： 本題考查了折疊性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，軸對稱最短路線問題，勾股定理，含30 度角的直角三角形性質(zhì)的應用，關(guān)鍵是求出p 點的位置，題目比較好，難度適中三解答題（共6 小題）9（ 2012?青島）已知：如圖，在rt abc 中， c=90，ac=6cm ， bc=8cm ， d、 e 分別是 ac 、ab 的中點，連接 de，點 p 從點 d 出

26、發(fā)，沿 de 方向勻速運動，速度為 1cm/s；同時，點 q 從點 b 出發(fā)，沿 ba 方向勻速運動，速度為 2cm/s，當點 p 停止運動時，點 q 也停止運動連接 pq，設(shè)運動時間為 t（ s）（0 t4）解答下列問題：（ 1）當 t 為何值時， pqab ？（ 2）當點 q 在 be 之間運動時，設(shè)五邊形 pqbcd 的面積為 y（ cm2），求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）在（ 2）的情況下，是否存在某一時刻t，使 pq 分四邊形 bcde 兩部分的面積之比為spqe： s 五邊形pqbcd =1： 29？若存在，求出此時t 的值以及點 e 到 pq 的距離 h；若不存在，請

27、說明理由考點 ： 相似三角形的判定與性質(zhì)；一元二次方程的應用；勾股定理；三角形中位線定理12最新資料推薦專題 ： 代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；動點型分析： （ 1）如圖 所示，當 pq ab 時， pqe 是直角三角形解決問題的要點是將 pqe 的三邊長pe、qe、 pq 用時間 t 表示，這需要利用相似三角形（pqe acb ）比例線段關(guān)系（或三角函數(shù)）；（ 2）本問關(guān)鍵是利用等式 “五邊形 pqbcd 的面積 =四邊形 dcbe 的面積 pqe 的面積 ”，如圖 所示為求 pqe 的面積，需要求出 qe 邊上的高，因此過 p 點作 qe 邊上的高，利用相似關(guān)系（ pme abc ）求出高的表達

28、式，從而問題解決；（ 3）本問要點是根據(jù)題意， 列出一元二次方程并求解假設(shè)存在時刻 t，使 spqe：s 五邊形 pqbcd=1：29，則此時 s= s 梯形 dcbe，由此可列出一元二次方程，解方程即求得時刻t；點 e 到 pq 的pqe距離 h 利用 pqe 的面積公式得到解答： 解：（ 1）如圖 ，在 rt abc 中，ac=6 ， bc=8 ab= d、 e 分別是 ac 、 ab 的中點ad=dc=3 ， ae=eb=5 ， de bc 且de=bc=4 pq ab ， pqb= c=90又 de bc aed= b pqe acb由題意得： pe=4 t， qe=2t 5，即，解得

29、 t=；（ 2）如圖 ，過點 p 作 pm ab 于 m ，由 pme acb ，得，得 pm=（ 4 t）s=eq?pm= （ 5 2t） ? （ 4 t） = t2t+6，pqes 梯形 dcbe=（ 4+8 ） 3=18， y=18 （t2t+6 ） =t2+t+12（ 3）假設(shè)存在時刻t ，使 spqe： s 五邊形 pqbcd=1： 29，13最新資料推薦則此時 spqe=s 梯形 dcbe， t 2 t+6= 18，即 2t2 13t+18=0 ，解得 t1=2， t2=（舍去）當 t=2 時，pm=（ 4 2） =， me=（ 4 2） =，eq=5 22=1， mq=me+eq

30、=+1=， pq= pq?h= ， h=?=（或）點評：本題是動點型綜合題，解題關(guān)鍵是掌握動點運動過程中的圖形形狀、圖形面積的表示方法所考查的知識點涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的難度注意題中求時刻 t 的方法：最終都是轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程求解10（ 2013?南充）如圖，公路ab 為東西走向，在點a 北偏東 36.5方向上，距離5 千米處是村莊m ；在點 a 北偏東 53.5方向上， 距離 10 千米處時村莊 n（參考數(shù)據(jù)； sin36.5=0.6，cos36.5=0.8，tan36.5=0.75 ）（

31、 1）求 m ，n 兩村之間的距離；（ 2）要在公路 ab 旁修建一個土特產(chǎn)收購站 p，使得 m ， n 兩村到 p 的距離之和最短，求這個最短距離14最新資料推薦考點 ： 解直角三角形的應用-方向角問題；軸對稱-最短路線問題專題 ： 應用題；壓軸題分析： （ 1）過點 m 作 cd ab ，ne ab ，在 rt acm 中求出 cm ，ac ，在 rt ane 中求出 ne，ae ，繼而得出md ，nd 的長度，在rt mnd 中利用勾股定理可得出mn 的長度（ 2）作點 n 關(guān)于 ab 的對稱點 g，連接 mg 交 ab 于點 p，點 p 即為站點，求出 mg 的長度即可解答： 解：（

32、1）過點 m 作 cd ab ， neab ，如圖：在 rt acm 中， cam=36.5 ， am=5km ， sin36.5 = =0.6， cm=3 ， ac=4km ，在 rt ane 中， nae=90 53.5=36.5 ， an=10km ， sin36.5 = =0.6， ne=6 ， ae=8km ， md=cd cm=ae cm=5km ，nd=ne de=ne ac=2km ，在 rt mnd 中， mn=km（ 2）作點 n 關(guān)于 ab 的對稱點 g，連接 mg 交 ab 于點 p，點 p 即為站點，此時 pm+pn=pm+pg=mg ，在 rt mdg 中， mg=

33、5km答：最短距離為5km點評： 本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)值求解相關(guān)線段的長度，難度較大11（2013?日照）問題背景：如圖（ a），點 a 、b 在直線 l 的同側(cè)，要在直線 l 上找一點 c，使 ac 與 bc 的距離之和最小，我們可以作出點 b 關(guān)于 l 的對稱點 b ，連接 a b 與直線 l 交于點 c，則點 c 即為所求15最新資料推薦（ 1）實踐運用：如圖（ b），已知， o 的直徑 cd 為 4，點 a 在 o 上， acd=30 ， b 為弧 ad 的中點， p 為直徑 cd上一動點，則bp+ap 的最小值為2（ 2）知識拓展

34、：如圖（ c），在 rt abc 中， ab=10 ， bac=45 ， bac 的平分線交 bc 于點 d， e、 f 分別是線段 ad 和 ab 上的動點，求 be+ef 的最小值，并寫出解答過程考點 ： 軸對稱 -最短路線問題分析： （ 1）找點 a 或點 b 關(guān)于 cd 的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和mn 的交點 p 就是所求作的位置根據(jù)題意先求出cae ，再根據(jù)勾股定理求出ae ，即可得出pa+pb 的最小值；（ 2）首先在斜邊 ac 上截取 ab =ab ，連結(jié) bb ，再過點 b 作 b f ab ，垂足為 f，交 ad 于 e，連結(jié) be，則線段 bf 的長即為所

35、求解答：解：（ 1）作點 b 關(guān)于 cd 的對稱點 e，連接 ae 交 cd 于點 p 此時 pa+pb 最小，且等于 ae 作直徑 ac ，連接 ce根據(jù)垂徑定理得弧bd= 弧 de acd=30 ， aod=60 ， doe=30 ， aoe=90 ， cae=45 ，又 ac 為圓的直徑， aec =90 ， c=cae=45 ， ce=ae=ac =2，即 ap+bp 的最小值是 2 故答案為： 2 ；（ 2）如圖，在斜邊 ac 上截取 ab =ab ，連結(jié) bb ad 平分 bac ，點 b 與點 b關(guān)于直線 ad 對稱過點 b作 b f ab ，垂足為 f，交 ad 于 e，連結(jié)

36、be，則線段 bf 的長即為所求 （點到直線的距離最短）在 rt afb 中， bac=45 ， ab =ab=10 ， b f=ab ?sin45=ab ?sin45=10=5， be+ef 的最小值為16最新資料推薦點評： 此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出對應點p位置是解題關(guān)鍵12（2010?天津）在平面直角坐標系中，矩形oacb 的頂點 o 在坐標原點，頂點a 、b 分別在 x 軸、 y 軸的正半軸上，oa=3 ， ob=4 ， d 為邊 ob 的中點（ 1）若 e 為邊 oa 上的一個動點，當 cde 的周長最小時，求點e 的坐標；（ 2）

37、若 e、 f 為邊 oa 上的兩個動點，且ef=2，當四邊形cdef 的周長最小時，求點e、 f 的坐標（溫馨提示： 可以作點 d 關(guān)于 x 軸的對稱點 d，連接 cd與 x 軸交于點 e，此時 cde 的周長是最小的 這樣，你只需求出 oe 的長，就可以確定點 e 的坐標了）考點 ： 軸對稱 -最短路線問題；平行四邊形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)專題 ： 幾何綜合題；壓軸題分析： （ 1）由于 c、d 是定點，則cd 是定值，如果 cde 的周長最小，即de+ce 有最小值為此，作點 d 關(guān)于 x 軸的對稱點d，當點 e 在線段 cd 上時， cde 的周長最??；（ 2）由于 dc、

38、 ef 的長為定值，如果四邊形cdef 的周長最小，即de+fc 有最小值為此，作點 d 關(guān)于 x 軸的對稱點d，在 cb 邊上截取cg=2 ，當點 e 在線段 d g 上時，四邊形cdef 的周長最小解答： 解：（ 1）如圖，作點d 關(guān)于 x 軸的對稱點d，連接 cd與 x 軸交于點e，連接 de若在邊 oa 上任取點e與點 e 不重合，連接ce、 de、 de由 de+ce=de+ce cd=de+ce=de+ce ，可知 cde 的周長最小在矩形 oacb 中， oa=3 ， ob=4 ， d 為 ob 的中點， bc=3 ， do=do=2 ，db=6 ，17最新資料推薦 oe bc

39、， rt doe rt dbc ，有點 e 的坐標為（ 1， 0）；（ 2）如圖，作點 d 關(guān)于 x 軸的對稱點 d，在 cb 邊上截取 cg=2 ，連接 dg 與 x 軸交于點 e，在 ea 上截取 ef=2， gc ef， gc=ef ，四邊形gefc 為平行四邊形，有g(shù)e=cf ，又 dc、 ef 的長為定值，此時得到的點e、 f 使四邊形cdef 的周長最小 oe bc ， rt doe rt dbg ，有點 e 的坐標為（ ， 0），點 f 的坐標為（， 0）（ 10 分）點評：此題主要考查軸對稱最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說

40、明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊13（ 2010?淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（ a）圖，若點a ， b 在直線 l 同側(cè)，在直線l 上找一點p，使 ap+bp 的值最小做法如下：作點b 關(guān)于直線l 的對稱點b ，連接 ab ，與直線l 的交點就是所求的點p再如（ b）圖，在等邊三角形abc 中， ab=2 ，點 e 是 ab 的中點， ad 是高，在ad 上找一點 p，使 bp+pe 的值最小18最新資料推薦做法如下：作點b 關(guān)于 ad 的對稱點，恰好與點c 重合，連接ce 交 ad 于一點，則這點就是所求的點p，故 bp+pe 的最小值為（ 2）實踐運用：如（ c）圖，已知o 的直徑 cd 為 4， aod 的度數(shù)為60，點 b 是的中點，在直徑cd 上找一點p，使 bp+ap 的值最小，并求 bp+ap 的最小值（ 3）拓展延伸：如（ d）圖，在四邊形 abcd 的對角線 ac 上找一點 p，使 apb= apd 保留作圖痕跡，不必寫出作法考點 ： 軸對稱 -最短路線問題分析： （ 1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，ce ab ，在直角 bce 中， bec=