1、第三章 冪級(jí)數(shù)展開3.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)的級(jí)數(shù)一 復(fù)數(shù)的無窮級(jí)數(shù)可表示為： （1）其中：前n項(xiàng)和為： =當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)：故 一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可分解為實(shí)部項(xiàng)級(jí)數(shù)可虛部項(xiàng)級(jí)數(shù)兩個(gè)級(jí)數(shù)的組合收斂問題是線性討論級(jí)數(shù)的一個(gè)重要方面，而復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（實(shí)部和虛部）的收斂1. 柯西收斂判據(jù)：一個(gè)級(jí)數(shù)還可寫為： （4）其中是錢n項(xiàng)和 為余項(xiàng)判據(jù)：任何一個(gè)小正數(shù) 若能找到一個(gè)N使得nN時(shí)則稱收斂，其中p為任意整數(shù)2. 絕對(duì)收斂若是收斂的，則絕對(duì)收斂 兩個(gè)斂的級(jí)數(shù)相乘后所得的級(jí)數(shù)耶是絕對(duì)收斂的，其和等于相乘級(jí)數(shù)和的乘積二復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)（復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般表示為： （5）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收

2、斂問題得涉及到z的取值域，若z在B上取值是（5）收斂，則稱在B上收斂。B稱為的收斂域函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也可表示為： （6）2. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂 如在B上，對(duì)于個(gè)點(diǎn) 任意給，若存在N使得nN時(shí)有則稱級(jí)數(shù)在B上一致收斂3.收斂級(jí)數(shù)性質(zhì) （1）在B上一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是B上的連續(xù)函數(shù) （2）在B上一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都可積分逐項(xiàng)積分 (3) 若有，而是收斂的，則絕對(duì)且一致收斂3.2 冪級(jí)數(shù)最典型也最常見的級(jí)數(shù)即級(jí)數(shù)的各項(xiàng)都是冪函數(shù) (1)其中、 都是復(fù)常數(shù)，這一的級(jí)數(shù)叫做以為中心展開的冪級(jí)數(shù)一.級(jí)數(shù)收斂判別法1. 比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）：若： （3）則（2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，亦即級(jí)數(shù)

3、（1）絕對(duì)收斂2. 根值判別法 若： （4） 則級(jí)數(shù)（2）收斂，亦即級(jí)數(shù)（1）絕對(duì)收斂3. 收斂域和收斂半徑 函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂問題（從根本上）具體要涉及的是收斂u的問題即，z在什么樣的范圍內(nèi)取值級(jí)數(shù)是收斂的，收斂判別法本身給出了z的取值范圍：由判別法“1”： (5) 則 （6） 為級(jí)數(shù)（1）的收斂半徑 只要滿足 的所有點(diǎn)其級(jí)數(shù)（1）都收斂 則以 為中心R為半徑的區(qū)域是（1）的收斂區(qū)域，對(duì)應(yīng)圓稱（1）的收斂圓。 由判別法“2”： 收斂圓： （7） 即有 （8）這樣我們就有了兩種求收斂圓的方法以上的收斂判別是從絕對(duì)收斂的角度考慮討論，因此得到的收斂域比“全收斂域”要小，記載收斂域外仍有收斂的可能性。

4、 另外，由于（5）、（7）式是絕對(duì)不等號(hào)，故收斂的邊界上夠絕對(duì)收斂域，可作半徑為 R1 的圓，使 （稍小于）則稱R1 對(duì)應(yīng)圓的“收斂內(nèi)圓”級(jí)數(shù)在收斂內(nèi)圓上是“一致收斂”例1， 求級(jí)數(shù) 的收斂圓及在收斂域內(nèi)的收斂性解：利用此值判別法： 在域內(nèi)： 公比為t 推論：關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)： 收斂半徑R=1 公比為-t域內(nèi)： 例2 設(shè)： 其逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積的收斂半徑不變解：收斂半徑： 例3 求的收斂半徑解：第k項(xiàng)小數(shù)： （）解法1： 解法2：根值法 例4 已知和 的收斂半徑分別是和 求 和 的收斂半徑解：（1） 為兩個(gè)級(jí)數(shù)之和，由于兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和也收斂，收斂域顯然要取其中較小的一個(gè)：（1） 令 3.3 泰勒

5、級(jí)數(shù)的展開 冪級(jí)數(shù)的和在其收斂圓的內(nèi)部為解出函數(shù)例：反之：一個(gè)解析函數(shù)在其域內(nèi)可寫為冪（泰勒）級(jí)數(shù)定理：設(shè)在以為圓心的圓域內(nèi)解析則對(duì)圓內(nèi)任一點(diǎn)z , 可寫為冪（泰勒）級(jí)數(shù)： （1）其中 （2）其中 是的內(nèi)圓 證明從略結(jié)合（1）、（2）兩式，函數(shù)的泰勒展開式（泰勒級(jí)數(shù)）可寫為： （3） 可以證明（略）由泰勒展開得到級(jí)數(shù)具有唯一性例1.將 在 附近展開為冪級(jí)數(shù) 解： 由（3）得： 例2. 將和在的附近展開解： 可見每4階導(dǎo)數(shù)完成一個(gè)循環(huán)： 當(dāng)時(shí)： 級(jí)數(shù)只存在奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)為零） 且： （2）. 當(dāng) 時(shí)： 所以級(jí)數(shù)只存在偶數(shù)項(xiàng)而奇數(shù)項(xiàng)為零： 回顧：定義的,顯然：將的奇數(shù)項(xiàng)都消去，而只留下了偶數(shù)項(xiàng) （

6、消去偶數(shù)項(xiàng)，留奇數(shù)項(xiàng)） 例4. 求以上、在展開的級(jí)數(shù)的收斂域解： （2） 此值判別： 即： （2） 同理：復(fù)習(xí)：利用函數(shù)的級(jí)數(shù)展開的唯一性質(zhì)，很多級(jí)數(shù)不用直接一年泰勒展開式做例5. 的展開解：令 例6. 求解：令 例7. 求 ， 例8 求和在處的展開解：是的原函數(shù) （級(jí)數(shù)經(jīng)求導(dǎo)和求和后，收斂圓不變）3.4 解析延拓將一個(gè)在一定區(qū)域b上解析的函數(shù) 延拓到；一個(gè)更大的區(qū)域B上，此時(shí)在B上可以找到 另一個(gè)函數(shù)，使得在b域上有 這就稱為解析的延拓 例：在整個(gè)復(fù)平面解析但Z在處不解析若定義： （利用 ，并非隨便找個(gè)函數(shù)來拼湊）顯然在全復(fù)平面解析，可視為的延拓（延拓至）3.5裸朗級(jí)數(shù)展開 泰勒展開是將函數(shù)

7、在解析域的展開，若在不解析域中（有奇點(diǎn)）時(shí)，就不能再將函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)了 在有奇點(diǎn)時(shí)，需要考慮在挖去奇點(diǎn)的環(huán)域上展開。（通常以奇點(diǎn)的心），此即為級(jí)數(shù)洛朗的展開。一 雙邊冪級(jí)數(shù) 以前（1）稱雙邊（向右）級(jí)數(shù)若有： （2）稱單邊（向左）級(jí)數(shù)而： （3）稱為雙邊級(jí)數(shù)雙邊數(shù)的收斂域一般作一下判斷：右單邊：左單邊：可設(shè) 則左單邊級(jí)數(shù)：設(shè)（4）的收斂半徑為 亦即（3左邊的收斂域）合起來有： （5）稱為（3）的收斂域（一般奇點(diǎn)被圍在半徑環(huán)內(nèi)）二 洛朗展開 定理：設(shè)在環(huán)形區(qū)域的內(nèi)部單值解析，則對(duì)環(huán)域上任一點(diǎn)z , 可為冪級(jí)數(shù)即： (6) 其中： (7)積分路徑c 為環(huán)內(nèi)的逆時(shí)針方向圓（閉合）定理的解讀： 域：

8、 環(huán)意味著環(huán)域上是而可能是奇點(diǎn)（6）式的展開稱為洛朗展開，洛朗展開的意義是在挖去奇點(diǎn)的環(huán)心附近的展開（與泰勒展開不同） 正因?yàn)榭赡苁瞧纥c(diǎn), 在的導(dǎo)數(shù)一定不存在，所以不滿足柯西公式 當(dāng)是解析點(diǎn)時(shí)且無別的奇點(diǎn) 此時(shí)羅朗級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)收斂域 一般小結(jié)以上思路 也可證明，羅朗級(jí)數(shù)的展開也是唯一的根據(jù)這一點(diǎn)在實(shí)際應(yīng)用中，很少直接由（6）、（7）展開級(jí)數(shù)。常常利用已知級(jí)數(shù)作展開例1. 在的鄰域上把展開解： 例2 在的環(huán)域上將展開為洛朗級(jí)數(shù) 解： 分析：展開中心：O點(diǎn)函數(shù)的奇點(diǎn)： 且奇點(diǎn)在上（在附近的導(dǎo)數(shù)存在點(diǎn)解析，然而若延C積分，時(shí)積分不存在，故不能展開為泰勒級(jí)數(shù)）可對(duì)Z做變形顯然 利用展開式 比較以上

9、兩例 例2中 在（展開中心）處是解析的（奇點(diǎn)在處）例1中， 在（展開中心）是奇點(diǎn)例3 在對(duì)于 若展開中心為（某一奇點(diǎn)處），求其冪級(jí)數(shù) 解：由于要展為關(guān)于（z-1）的冪級(jí)數(shù) 于是理法解析令解得：其中，第一項(xiàng)已經(jīng)是關(guān)于的冪函數(shù)，處理第二項(xiàng)： （2）因?yàn)槭堑募狞c(diǎn)，若以為中心展開，則在環(huán)域上是解析的又對(duì)于（2）式在時(shí)可將其展開為級(jí)數(shù)：（2）中令 所以（2）式可展開為： （1）式為： 這是一個(gè)典型的雙邊級(jí)數(shù) 例4. 在附近的展開略 （利用）習(xí)題：（1）、（2）、（3）提示： 奇點(diǎn)：圖示本身就是，問題： 講義：34頁附 例：對(duì)于 （1）其中： （2）對(duì)于 有 利用已形成： （3） 代回（2）式： （4）代

10、回（1）得： （5） 于是有 利用 故可求出 的開3.6孤立奇點(diǎn)的分類 孤立奇點(diǎn)：設(shè)是的一個(gè)奇點(diǎn)， 若在的任意小鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)（除點(diǎn)） 則稱是孤立奇點(diǎn) 若總可找到一個(gè)的鄰域（無論多小）使不可導(dǎo)，則是的孤立奇點(diǎn)，以下我大多討論孤立奇點(diǎn)二 孤立奇點(diǎn)的分類 洛朗級(jí)數(shù)一般是雙邊級(jí)數(shù)，右單邊的正冪部分稱解析部分，而左單邊的負(fù)冪部分稱主要部分（或無限部分） 通過以上例題，我們想到挖去奇點(diǎn)而形成的環(huán)形區(qū)域的解析函數(shù)的洛朗形式可分三種情況：（1） 沒有負(fù)冪項(xiàng)，只有解析部分（2） 只有有限的冪項(xiàng)和解析（3） 完整的雙邊級(jí)數(shù)（主要是解析或只有主要部分）我們把對(duì)應(yīng)上述三種情況的奇點(diǎn)分別叫做（1）可去奇點(diǎn) （2）極點(diǎn) （3）本性奇點(diǎn)。1 對(duì)于可去奇點(diǎn)的洛朗級(jí)數(shù)： （是一定值，有限）此時(shí)，我們可以定義： 對(duì)于來說，在全集平面上（復(fù)空間