1、第三章不等式本章復習學習目標1.理解生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系,了解不等式(組)的實際背景,理解不等式一些基本性質(zhì).2.深刻理解三個二次之間的關(guān)系.以二次函數(shù)為中心,能運用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)解答不等式的有關(guān)問題.滲透函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想.3.能從實際情境中抽象出二元一次不等式組;并能用平面區(qū)域表示;能熟練解答線性規(guī)劃問題,并理解其中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想.4.能夠靈活熟練地利用基本不等式解決相關(guān)的最值問題.合作學習一、設計問題,創(chuàng)設情境題組一:再現(xiàn)型題組求解下列各題,并思考每道題目考查的知識點.1.已知ab,有下列結(jié)論:acbc;a2b2;a3b3.其中正確結(jié)論的序號為.

2、2.不等式x2-2x-150的解集是.3.二元一次不等式x-y-10表示的平面區(qū)域在直線x-y-1=0的方.4.若變量x,y滿足約束條件則x+2y的最大值是. 5.已知x0,y0,且x+y=2,則x2+y2的最小值為. 二、運用規(guī)律,解決問題【例1】已知函數(shù)f(x)=x2-(a+1)x+a,aR.(1)若不等式f(x)0的解集是1,3,求實數(shù)a的值.(2)是否存在實數(shù)a,使得不等式f(x)0有實數(shù)解?若存在,求出所有的實數(shù)a;若不存在,請說明理由.(3)解關(guān)于x的不等式f(x)0.師生交流1:本題中所體現(xiàn)的思想方法可以推廣到一般情形嗎?請你嘗試總結(jié)一下.【例2】已知實數(shù)x,y滿足(1)求的最大

3、值和最小值;(2)若目標函數(shù)z=ax+y(a1時,x|1xa;當a=1時,x|x=1;當a1時,x|ax1.師生交流1:規(guī)律一:不等式f(x)0、方程f(x)=0都可以看做是y=f(x)的特殊情形.因此,不等式問題的求解策略,一般有兩個:一是直接求不等式的解集;二是構(gòu)造相應的函數(shù),將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域、最值問題或利用函數(shù)的圖象求解.如本題中不等式的能成立、恒成立問題,可以通過求不等式的解集完成;可以轉(zhuǎn)化為相應函數(shù)的最值問題求解;也可以根據(jù)圖象求解.【例2】解:作出可行域,如圖所示(陰影部分).(1)因為表示可行域內(nèi)的點(x,y)與點P(-1,1)連線的斜率,結(jié)合圖形可以知道,該斜率介于

4、直線PC和直線PA之間.解方程組得點C的坐標為x=,y=.又A(0,6),所以,即5.所以最大值為5,最小值為.(2)z=ax+y可化為y=-ax+z,它表示斜率為-a的一族直線,因為a0,故直線經(jīng)過點C時,z最小為3.將x=,y=代入3=ax+y,解得a=.師生交流2:數(shù)形結(jié)合思想;例如幾何意義,甚至更細致一些是哪兩個點之間的連線斜率都要觀察出來;再如目標函數(shù)對應的直線的斜率與邊界直線斜率之間的比較;再如直線過定點問題等等.規(guī)律二:運用數(shù)形結(jié)合思想解答問題時,首先要觀察數(shù)學式子中的各個系數(shù)對圖象的制約,與圖象對應起來;然后,在圖形中觀察出的規(guī)律、結(jié)論也要對應到數(shù)學式子中的相應系數(shù)上來.【例3

5、】解:(1)xy=x(2y).當且僅當即x=,y=時,xy的最大值為.(2)方法一:因為x+2y=1,所以(x+2y)=3+3+2.當且僅當即x=-1,y=時,最小值為3+2.方法二:因為x+2y=1,所以x=1-2y,又x0,y0,所以0y,所以,(*)令t=1-y,則t1,(*)式可化為.當且僅當2t=,即t=,x=-1,y=時,最小值為3+2.師生交流3:有,可以消元,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值.規(guī)律三:“二元函數(shù)的最值問題”的求解方法,一般有三種:(1)通過消元轉(zhuǎn)化為“一元”函數(shù)求解,體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想;(2)尋求條件、結(jié)論的幾何意義,數(shù)形結(jié)合求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想;(3)構(gòu)造基本不等式所必須的條件,運用基本不等式求解,體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想.要觀察條件、結(jié)論的特征,根據(jù)這些特征合理選擇方法.三、變式訓練,深化提高變式訓練1:解:結(jié)合二次函數(shù)圖象可知,只需即解得a3.所以實數(shù)a的取值范圍是3,+).變式訓練2:解:由可確定如圖所示的平面區(qū)域,又因為z=x+y的最小值為5,即直線x+y=5與平面區(qū)域相交在最靠下的位置.由解得B(3,2),又因為直線kx+y=6過點B(3,2),所以3k+2=6,解得k=.變式訓練3:解:x+y=xy2,即xy2,又x,y為正實數(shù),所以2,xy4.當且僅當即x=y=2時,等號成立.四、反思