1、第二章數(shù)列本章復習本章復習(第1課時)學習目標掌握數(shù)列的概念及數(shù)列的通項公式;掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念及性質(zhì),掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式.掌握特殊數(shù)列的求和方法,如:倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等.利用數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系,求通項公式及解決其他數(shù)列問題.利用數(shù)列的遞推關(guān)系,求通項公式,結(jié)合前n項和公式,解決數(shù)列的應用題.利用方程的思想、根據(jù)公式列方程(組),解決等差數(shù)列、等比數(shù)列中的“知三求二”問題;利用函數(shù)的思想,根據(jù)函數(shù)的圖象、單調(diào)性、值域等解決數(shù)列中項的最值及數(shù)列的前n項和Sn的最值問題;利用等價轉(zhuǎn)化的思想把非等差數(shù)列、等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化

2、為等差數(shù)列、等比數(shù)列問題來解決;利用分類討論的思想解決等比數(shù)列的公比q是否為1等問題.合作學習一、回顧本章所學知識和方法形成知識結(jié)構(gòu)本章知識結(jié)構(gòu):二、通過再現(xiàn)題組和鞏固題組進一步掌握本章所學知識和方法(一)再現(xiàn)題組1.已知an是等差數(shù)列,a1+a2=4,a7+a8=28,則該數(shù)列前10項和S10等于()A.64B.100C.110D.1202.設an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若a1=1,a5=16,則數(shù)列an的前7項的和為()A.63B.64C.127D.1283.數(shù)列1,3,5,7,的通項公式是.【變式與拓展】已知數(shù)列的前幾項求通項.(1)2,5,10,17,26;(2)1,-1,1,-1,1

3、;(3)3,33,333,3333.4.已知數(shù)列an滿足a1=1,an=+1(n2),則a5=.5.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=3n2+n,則數(shù)列的通項公式an=.6.已知an=-n2+25n(nN*),則數(shù)列an的最大項是.回顧:1.數(shù)列的概念和通項公式.2.等差數(shù)列(1)定義:an+1-an=d(nN*)或an-an-1=d(n2,nN*).(2)通項公式:an=a1+(n-1)d,an=dn+(a1-d),an=pn+q,an=am+(n-m)d.(3)前n項和公式:Sn=,Sn=na1+d,Sn=n2+n,Sn=An2+Bn.(4)重要性質(zhì):等差數(shù)列an中,若m+n=p+q(

4、m,n,p,qN*),則am+an=ap+aq,數(shù)列an中,2an=an-1+an+1(n2,nN*)an是等差數(shù)列.若a,A,b成等差數(shù)列,則稱A為a與b的等差中項,且2A=a+b,A有唯一值.等差數(shù)列an中,公差為d,則對任意的kN*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,構(gòu)成等差數(shù)列,公差為k2d.3.等比數(shù)列(1)定義:=q(nN*)或=q(n2,nN*)(q0).(2)通項公式:an=a1qn-1,an=amqn-m,an=aqn(a,q0).(3)前n項和公式:Sn=(4)重要性質(zhì):等比數(shù)列an中,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),則aman=apaq,特別地,若m+n=2p,

5、則aman=.數(shù)列an中,an0,nN*,=an-1an+1(n2,nN*)an是等比數(shù)列.若a,A,b成等比數(shù)列,則稱A為a與b的等比中項,且A2=ab(ab0),A=.等比數(shù)列an中,公比為q,Sn0,則對任意的kN*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,構(gòu)成等比數(shù)列,公比為qk.4.Sn與an的關(guān)系.(二)鞏固題組【例1】已知數(shù)列an中,a1=1,an+1-an=n,求通項公式an.【例2】設a1,d為實數(shù),首項為a1,公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1;(2)求d的取值范圍.【例3】設an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項

6、和.已知a2a4=1,S3=7,求S5.【例4】已知an是公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和Sn.【例5】已知an為等差數(shù)列,且a3=-6,a6=0.(1)求an的通項公式;(2)若等比數(shù)列bn滿足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求bn的前n項和Sn.三、反思小結(jié),觀點提煉1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.2.熟練運用性質(zhì)解決問題.3.產(chǎn)量增減、價格升降、細胞繁殖等問題,求利率、增長率等問題常歸結(jié)為數(shù)列建模問題.4.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時應注意:(1)分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列;(2)分清是求a

7、n還是求Sn,特別要準確地確定項數(shù)n.5.數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識相互聯(lián)系和滲透.參考答案(一)再現(xiàn)題組1.B提示:設數(shù)列的公差為d,則故S10=10a1+d=100.2.C提示:因為a1=1,a5=16,所以q4=16.因為q0,所以q=2,從而S7=127.3.an=2n-1提示:數(shù)列的前4項1,3,5,7都是序號的2倍減1,所以通項公式為an=2n-1.【變式與拓展】(1)an=n2+1;(2)an=(-1)n+1;(3)an=(10n-1).4.5.an=6n-2提示:當n2時,an=Sn-Sn-1=6n-2.當n=1時,a1=S1=4也適合公式.所以數(shù)列的通項公式為

8、an=6n-2.6.第12項或第13項提示:an是關(guān)于n的二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)求最值,同時要考慮nN*這一條件.(二)鞏固題組【例1】解:方法一:迭代法:an=an-1+(n-1)=an-2+(n-1)+(n-2)=a1+(n-1)+(n-2)+1=1+.方法二:累加法:由已知an+1-an=n,a2-a1=1,a3-a2=2,an-an-1=n-1,以上各式相加得an-a1=,an=.【例2】【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列的概念、求和公式等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力及分析問題、解決問題的能力.【思路點撥】本題直接利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式求解即可.解:(1)由題意知,S6=

9、-3,a6=S6-S5=-8.所以解得a1=7.所以S6=-3,a1=7.(2)方法一:因為S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d28.故d的取值范圍為d-2或d2.方法二:因為S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.看成關(guān)于a1的一元二次方程,因為有實根,所以=81d2-8(10d2+1)=d2-80,解得d-2或d2.【例3】【命題立意】本題考查等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式.【思路點撥】列出關(guān)于a1,q的方

10、程組,解出a1,q再利用前n項和公式求出S5.解:設該等比數(shù)列的首項為a1,公比為q,由題意知,解得S5=.【例4】【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用,考查學生的運算求解能力.解:(1)由題設知公差d0由a1=1,a1,a3,a9成等比數(shù)列,得=a1a9,即(1+2d)2=1(1+8d).解得d=1,d=0(舍去d=0),故an的通項公式為an=1+(n-1)1=n.(2)由(1)知=2n,故Sn=2+22+23+2n=2n+1-2.【例5】【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式,熟練掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.【思路點撥】(1)由a3=-6,a6=0可列方程組解出a1,d,從而可求出通項公式;(2)求出