1、行列式 考試內(nèi)容：行列式的概念和基本性質(zhì) 行列式按行(列)展開(kāi)定理 考試要求 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì). 2.會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開(kāi)定理計(jì)算行列式. 矩陣 考試要求 1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì). 2.掌握矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì). 3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣. 4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，

2、掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法. 5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運(yùn)算法則.,考研數(shù)學(xué)大綱,向量 考試要求 1.了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算法則. 2.理解向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示、向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)等概念，掌握向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法. 3.理解向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的概念，會(huì)求向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組及秩. 4.理解向量組等價(jià)的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關(guān)系. 5.了解內(nèi)積的概念.掌握線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特(Schmidt)方法.,線(xiàn)性方程組 考試要求 1.會(huì)用克萊姆法則解線(xiàn)性方程組. 2.掌握非齊次線(xiàn)性方程組有

3、解和無(wú)解的判定方法. 3.理解齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法. 4.理解非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念. 5.掌握用初等行變換求解線(xiàn)性方程組的方法. 矩陣的特征值和特征向量 考試要求 1.理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法. 2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法. 3.掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì),二次型 考試要求 1.了解二次型的概念，會(huì)用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念. 2.了解二次型的

4、秩的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形等概念，了解慣性定理，會(huì)用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形. 3.理解正定二次型.正定矩陣的概念，并掌握其判別法.,線(xiàn)性代數(shù)解題的八種思維定勢(shì) 第一句話(huà)：題設(shè)條件與代數(shù)余子式Aij或A*有關(guān)，則立即聯(lián)想到用行列式按行（列）展開(kāi)定理以及AA*=A*A=|A|E 。 第二句話(huà)：若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。 第三句話(huà)：若題設(shè)n階方陣A滿(mǎn)足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解出因子aA+bE再說(shuō)。 第四句話(huà)：若要證明一組向量1,2,s線(xiàn)性無(wú)關(guān)，先考慮用定義再說(shuō)。 第五句話(huà)：若已知AB=0，則將B的每列作為Ax=0的

5、解來(lái)處理再說(shuō)。 第六句話(huà)：若由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說(shuō)。 第七句話(huà)：若已知A的特征向量a，則先用定義Aa=a處理一下再說(shuō)。 第八句話(huà)：若要證明抽象n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說(shuō)。,解： 首先觀(guān)察,由此推測(cè),一. 初等變換和初等變換法 1. 矩陣初等變換的應(yīng)用 矩陣的初等變換應(yīng)用在兩個(gè)方面: (1) 線(xiàn)性方程組的解的情況討論和求解. 對(duì)增廣矩陣作初等行變換反映了方程組的同解變換. (2) 計(jì)算矩陣和向量組的秩.,初等行變換和初等列變換都保持矩陣的秩. 在(1)中,只可用行變換,決不可用列變換.在(2)中兩類(lèi)變換都可以用,表示可交替使用. 每一種應(yīng)

6、用都要用到一種基本運(yùn)算:用初等(行)變換把一個(gè)矩陣化為階梯形矩陣或簡(jiǎn)單階梯形矩陣. 每個(gè)矩陣都可用初等行變換化為階梯形矩陣, 每個(gè)階梯形矩陣都可用初等行變換化為最簡(jiǎn)型. 可逆矩陣可以用初等行變換化為單位矩陣.,2.秩的計(jì)算 有關(guān)結(jié)論: (1) 矩陣的秩等于它的行(列)向量組的秩. (2) 初等(行,列)變換不改變矩陣的秩. (3) 階梯形矩陣的秩就是它的非零行的個(gè)數(shù).,由此得到計(jì)算方法如下: 矩陣A的秩r(A): 用初等變換把A化為階梯形矩陣,其非零行數(shù)就是r(A). 向量組a1,a2,as的秩r(a1,a2,as):作矩陣A=(a1,a2,as), 用初等變換把A化為階梯形矩陣,其非零行數(shù)就

7、是r(a1,a2,as).,例：已知,二. 矩陣乘法 1.兩個(gè)規(guī)律,設(shè)A是mn矩陣B是ns矩陣. A的列向量組為a1,a2,an, B的列向量組為b1, b2,bs, AB的列向量組為g1, g2,gs, 則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出(也是分塊法則的特殊情形): AB的每個(gè)列向量為:gi=Abi,i=1,2,s. 即A(b1, b2,bs)= (Ab1,Ab2,Abs). 若b=(b1,b2,bn)T,則Ab= b1a1+b2a2+bnan.,2.乘積矩陣的列向量 乘積矩陣AB的第i個(gè)列向量gi是A的列向量組a1, a2,an的 線(xiàn)性組合,組合的系數(shù)就是B的第i個(gè)列向量bi的各分量. 3. 矩

8、陣分解:當(dāng)一個(gè)矩陣C的每個(gè)列向量都是另一個(gè)A的列向 量組的線(xiàn)性組合時(shí),可以構(gòu)造一個(gè)矩陣B,使得C=AB.,4.乘積矩陣的行向量 乘積矩陣AB的第i個(gè)行向量是B的行向量組的線(xiàn)性組合,組合系數(shù)就是A的第i個(gè)行向量的各分量.,對(duì)角矩陣在矩陣乘法中的作用:如果一個(gè)對(duì)角矩陣在矩陣乘法中處于右側(cè),等同于用它對(duì)角線(xiàn)上各數(shù)依次乘左邊矩陣的各列向量; 如果對(duì)角矩陣處于左側(cè),等同于用它對(duì)角線(xiàn)上各數(shù)依次乘右邊矩陣的各行向量. 初等矩陣在矩陣乘法中的作用: 初等矩陣在右(左)邊乘一個(gè)矩陣A,等同于對(duì)A作一次相應(yīng)的初等列(行)變換.,三.可逆矩陣的充分必要條件 n階矩陣A可逆A的行列式|A|0 r(A)=n AX=0只

9、有零解(AX=b有唯一解) 0不是A的特征值. A-cE可逆c不是A的特征值.,例1：設(shè),例2：設(shè)3階矩陣,一向量組的線(xiàn)性關(guān)系,秩 本部分的特點(diǎn)是概念性強(qiáng),抽象,因此是最難的部分,但又是全課程的理論基礎(chǔ),理論制高點(diǎn),也是考試的重點(diǎn)之所在. 基本概念有:線(xiàn)性表示,線(xiàn)性相關(guān)性, 向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩,矩陣的秩. 秩是起到關(guān)鍵性作用的量,它既有用,又好算,應(yīng)該充分注意它的應(yīng)用. 1. 線(xiàn)性表示 (1)向量b可用a1,a2,as 線(xiàn)性表示(記作ba1,a2,as ),即n維向量b是a1,a2,as的一個(gè)線(xiàn)性組合. 其重要性在于和線(xiàn)性方程組有沒(méi)有解的關(guān)系:“b是否可以用a1, a2,as線(xiàn)性表示? 表

10、示方式是否唯一？”也就是“線(xiàn)性方程組AX=b是否有解？解是否唯一？”其中A=(a1, a2,as ). (2) b1,b2,bt可以用a1,a2,as線(xiàn)性表示(記作b1,b2,bta1,a2,as ),即每個(gè)bi 都可以用a1,a2,as線(xiàn)性表示. (3) 向量組a1,a2,as 和b1,b2,bt等價(jià),即它們互相都可以表示,記作a1,a2,as b1,b2,bt.,線(xiàn)性表示的判斷: (1) b可用a1,a2,as 線(xiàn)性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as). (事實(shí)上若b不可用a1,a2,as 線(xiàn)性表示,則r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)+1.) (2)b1

11、,b2,bt可以用a1,a2,as 線(xiàn)性表示 r(a1,a2,as,b1,b2,bt)=r(a1,a2,as). 從而有 r(b1,b2,bt)r(a1, a2, ,as ). (3) a1,a2,as和b1,b2,bt等價(jià) r(a1,a2,as)= r(a1,a2,as, b1,b2,bt)= r(b1,b2,bt).,2. 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 (1)定義和意義 定義 設(shè)a1,a2,as 是n維向量組,如果存在不全為0的一組數(shù)c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0, 則說(shuō)a1,a2,as 線(xiàn)性相關(guān),否則(即要使得c1a1+c2a2+csas=0,必須c1,c2,cs全為0)就

12、說(shuō)它們線(xiàn)性無(wú)關(guān). 和齊次線(xiàn)性方程組的關(guān)系 “a1,a2,as 線(xiàn)性相關(guān)還是無(wú)關(guān)”也就是“向量方程x1a1+ x2a2+xsas=0 有沒(méi)有非零解”,也就是齊次線(xiàn)性方程組AX=0有沒(méi)有非零解. 意義 在s1時(shí),線(xiàn)性無(wú)關(guān)就是每個(gè) aI都不能用其它向量線(xiàn)性表示; 線(xiàn)性相關(guān)就是有向量(不必每個(gè))可以用其它向量線(xiàn)性表示.,(2) 線(xiàn)性相關(guān)性的判別: 當(dāng)向量的個(gè)數(shù)s大于維數(shù)n時(shí), a1, a2,as 一定線(xiàn)性相關(guān). 如果向量的個(gè)數(shù)s等于維數(shù)n,則 a1, a2,an線(xiàn)性相關(guān)| a1, a2,an|=0. 線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的每個(gè)部分組都無(wú)關(guān). 如果a1,a2,as 線(xiàn)性無(wú)關(guān), 則 a1,a2,as ,b線(xiàn)性無(wú)

13、關(guān)b不能用a1,a2,as 線(xiàn)性表示. 如果b1,b2,bt可以用a1,a2,as 線(xiàn)性表示，并且ts,則b1,b2,bt線(xiàn)性相關(guān). a1,a2,as 線(xiàn)性無(wú)關(guān) r(a1,a2,as)=s. 有時(shí)還要用定義,例如要證明a1,a2,as 線(xiàn)性無(wú)關(guān), 就要說(shuō)明從c1a1+c2a2+csas=0可推出c1,c2,cs全為0.,3.向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩 秩是向量組內(nèi)在線(xiàn)性性質(zhì)的定量研究.它是刻畫(huà)向量組相關(guān)“程度”的一個(gè)數(shù)量概念.它表明向量組可以有多大(指包含向量的個(gè)數(shù))的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的部分組. 定義 設(shè)a1,a2,as 是n維向量組,(I)是它的一個(gè)部分組.如果 (I) 線(xiàn)性無(wú)關(guān). (I) 再擴(kuò)大就線(xiàn)性相關(guān). 就稱(chēng)(I)為a1,a2,as 的一個(gè)