1、物理競(jìng)賽模擬題四命題人：常玉茹老師 1、 填空題1有人設(shè)想了一種靜電場(chǎng)：電場(chǎng)的方向都垂直于紙面并指向紙里，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小自左向右逐漸增大，如圖所示這種分布的靜電場(chǎng)是否可能存在？試述理由. . . 2某光滑曲面由曲線繞豎直軸旋轉(zhuǎn)一周形成一自然半徑、質(zhì)量、勁度系數(shù)的彈性圓環(huán)置于該曲面之上，能水平靜止于任意高度處，則曲線方程為 3.在國(guó)際單位制中，庫(kù)侖定律寫成，式中靜電力常量 ，電荷量q1和q2的單位都是庫(kù)侖，距離r的單位是米，作用力F的單位是牛頓.若把庫(kù)侖定律寫成更簡(jiǎn)潔的形式，式中距離r的單位是米，作用力F的單位是牛頓，由此式可定義一種電荷量q的新單位.當(dāng)用米、千克、秒表示此新單位時(shí)，電荷新單位=

2、 ；新單位與庫(kù)侖的關(guān)系為1新單位= C. 4在圖示的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，所有電源的電動(dòng)勢(shì)均為，所有電阻器的阻值均為，所有電容器的電容均為，則圖示電容器A極板上的電荷量為 二、根據(jù)廣義相對(duì)論, 光線在星體的引力場(chǎng)中會(huì)發(fā)生彎曲，在包含引力中心的平面內(nèi)是一條在引力中心附近微彎的曲線它距離引力中心最近的點(diǎn), 稱為光線的近星點(diǎn)通過近星點(diǎn)與引力中心的直線, 是光線的對(duì)稱軸若在光線所在平面內(nèi)選擇引力中心為平面極坐標(biāo)(r,)的原點(diǎn), 選取光線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)極軸, 則光線方程（光子的軌跡方程）為, G是萬有引力常量, M是星體質(zhì)量，c是光速, a是絕對(duì)值遠(yuǎn)小于1的參數(shù)現(xiàn)在假設(shè)離地球80.0光年處有一星體, 在它與地球連

3、線的中點(diǎn)處有一白矮星如果經(jīng)過該白矮星兩側(cè)的星光對(duì)地球上的觀測(cè)者所張的視角是弧度, 試問此白矮星的質(zhì)量是多少kg ? 已知G=m3/(kg s2)三、足球射到球門橫梁上時(shí)，因速度方向不同、射在橫梁上的位置有別，其落地點(diǎn)也是不同的.已知球門的橫梁為圓柱形，設(shè)足球以水平方向的速度沿垂直于橫梁的方向射到橫梁上，球與橫梁間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)m=0.70，球與橫梁碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)e=0.70.試問足球應(yīng)射在橫梁上什么位置才能使球心落在球門線內(nèi)(含球門線上)？足球射在橫梁上的位置用球與橫梁的撞擊點(diǎn)到橫梁軸線的垂線與水平方向(垂直于橫梁的軸線)的夾角q (小于90o)來表示.不計(jì)空氣及重力的影響.四、折射率、半徑

4、為R的透明半圓柱體放在空氣中，其垂直于柱體軸線的橫截面如圖所示，圖中O點(diǎn)為橫截面與軸線的交點(diǎn)光僅允許從半圓柱體的平面AB進(jìn)入，一束足夠?qū)挼钠叫袉紊庋卮怪庇趫A柱軸的方向以入射角i射至AB整個(gè)平面上，其中有一部分入射光束能通過半圓柱體從圓柱面射出，這部分光束在入射到AB面上時(shí)沿y軸方向的長(zhǎng)度用d表示本題不考慮光線在透明圓柱體內(nèi)經(jīng)一次或多次反射后再射出柱體的復(fù)雜情形當(dāng)平行入射光的入射角i從到變化時(shí)，試求d的最小值和最大值在如圖所示的平面內(nèi)，求出射光束與柱面相交的圓弧對(duì)O點(diǎn)的張角q 與入射角i的關(guān)系并求在掠入射時(shí)上述圓弧的位置OzyRABi五、如圖所示，一容器左側(cè)裝有活門，右側(cè)裝有活塞B，一厚度可以

5、忽略的隔板M將容器隔成a、b兩室，M上裝有活門。容器、隔板、活塞及活門都是絕熱的。隔板和活塞可用銷釘固定，拔掉銷釘即可在容器內(nèi)左右平移，移動(dòng)時(shí)不受摩擦作用且不漏氣。整個(gè)容器置于壓強(qiáng)為P0、溫度為T0的大氣中。初始時(shí)將活塞B用銷釘固定在圖示的位置，隔板M固定在容器PQ處，使a、b兩室體積都等于V0；、關(guān)閉。此時(shí)，b室真空，a室裝有一定量的空氣（容器內(nèi)外氣體種類相同，且均可視為理想氣體），其壓強(qiáng)為4P0/5，溫度為T0。已知1mol空氣溫度升高1K時(shí)內(nèi)能的增量為CV，普適氣體常量為R。1.現(xiàn)在打開，待容器內(nèi)外壓強(qiáng)相等時(shí)迅速關(guān)閉（假定此過程中處在容器內(nèi)的氣體與處在容器外的氣體之間無熱量交換），求達(dá)到

6、平衡時(shí)，a室中氣體的溫度。2.接著打開，待a、b兩室中氣體達(dá)到平衡后，關(guān)閉。拔掉所有銷釘，緩慢推動(dòng)活塞B直至到過容器的PQ位置。求在推動(dòng)活塞過程中，隔板對(duì)a室氣體所作的功。已知在推動(dòng)活塞過程中，氣體的壓強(qiáng)P與體積V之間的關(guān)系為恒量。六、如圖所示，一根質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿，長(zhǎng)為2，兩端和中心處分別固連著質(zhì)量為的小球B、D和C，開始時(shí)靜止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一質(zhì)量為的小球A，以一給定速度沿垂直于桿DB的方間與右端小球B作彈性碰撞。求剛碰后小球A,B,C,D的速度，并詳細(xì)討論以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況。七、兩慣性系與初始時(shí)刻完全重合，前者相對(duì)后者沿軸正向以速度高速運(yùn)動(dòng)作為光源的自由質(zhì)點(diǎn)靜止于系中

7、，以恒定功率向四周輻射(各向同性)光子在系中觀察，輻射偏向于光源前部(即所謂的前燈效應(yīng)) 1在系中觀察，系中向前的那一半輻射將集中于光源前部以軸為軸線的圓錐內(nèi)求該圓錐的半頂角已知相對(duì)論速度變換關(guān)系為， 式中與分別為與系中測(cè)得的速度分量，c為光速 2求系中測(cè)得的單位時(shí)間內(nèi)光源輻射的全部光子的總動(dòng)量與總能量八、磁場(chǎng)會(huì)影響電子的運(yùn)動(dòng)，從而使存在磁場(chǎng)時(shí)的電流與電壓之間的關(guān)系偏離通常我們熟悉的歐姆定律，本題所要研究的問題即為一例設(shè)平面內(nèi)有面密度（單位面積中的電子數(shù)）為的二維電子氣平面內(nèi)沿軸正方向存在均勻電場(chǎng)（為軸正方向單位矢量），垂直于平面的方向存在均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為（為軸正方向單位矢量）已知平面內(nèi)

8、的電子運(yùn)動(dòng)受到的散射阻力與速度成正比，可等效地用一時(shí)間參量描述為，為電子質(zhì)量試求在穩(wěn)態(tài)沿和方向的電流密度（大小為垂直于電流方向單位長(zhǎng)度上的電流）和，將結(jié)果用電子電荷量絕對(duì)值、及表出，參考答案一、填空 1這種分布的靜電場(chǎng)不可能存在.因?yàn)殪o電場(chǎng)是保守場(chǎng)，電荷沿任意閉合路徑一周電場(chǎng)力做的功等于0，但在這種電場(chǎng)中，電荷可以沿某一閉合路徑移動(dòng)一周而電場(chǎng)力做功不為0 2. 3. (答也給分)4 二、方程 (1)是的偶函數(shù), 光線對(duì)極軸對(duì)稱光線在坐標(biāo)原點(diǎn)左側(cè)的情形a0右圖是光線在原點(diǎn)左側(cè)的情形, 極軸Ox, 白矮星在原點(diǎn)O在(1)式中代入近星點(diǎn)坐標(biāo)r=rm和=, 并注意, 就有 (2)經(jīng)過白矮星兩側(cè)的星光對(duì)

9、觀測(cè)者所張的視角S可以有不同的表達(dá)方式, 相應(yīng)地問題有不同的解法 若從白矮星到地球的距離為d, 則可近似地寫出 (3)在(1)式中代入觀測(cè)者的坐標(biāo)r=d和= /2, 有 (4)由(2)與(4)式消去a, 可以解出 (5)把它代入(3)式, 就得到 (6)也就是 (7)其中 (8)在(7)式中代入數(shù)值就算出 (9)三、足球射到球門橫梁上的情況如圖所示（圖所在的平面垂直于橫梁軸線）.圖中B表示橫梁的橫截面，O1為橫梁的軸線；為過橫梁軸線并垂直于軸線的水平線；A表示足球，O2為其球心；O點(diǎn)為足球與橫梁的碰撞點(diǎn)，碰撞點(diǎn)O的位置由直線O1OO2與水平線的夾角q 表示.設(shè)足球射到橫梁上時(shí)球心速度的大小為v

10、0，方向垂直于橫梁沿水平方向，與橫梁碰撞后球心速度的大小為v，方向用它與水平方向的夾角j表示(如圖).以碰撞點(diǎn)O為原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系Oxy，y軸與O2OO1重合.以a0表示碰前速度的方向與y軸的夾角，以a表示碰后速度的方向與y軸(負(fù)方向)的夾角，足球被橫梁反彈后落在何處取決于反彈后的速度方向，即角a的大小.以Fx表示橫梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，F(xiàn)y表示橫梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，Dt表示橫梁與足球相互作用的時(shí)間，m表示足球的質(zhì)量，有 (1) (2)式中、和分別是碰前和碰后球心速度在坐標(biāo)系Oxy中的分量的大小.根據(jù)摩擦定律有 (3)由（1）、（2）、（3）式得 (4)根據(jù)恢

11、復(fù)系數(shù)的定義有 （5）因 （6） （7）由（4）、（5）、（6）、（7）各式得 （8）由圖可知 （9） 若足球被球門橫梁反彈后落在球門線內(nèi)，則應(yīng)有 (10)在臨界情況下，若足球被反彈后剛好落在球門線上，這時(shí).由（9）式得 (11)因足球是沿水平方向射到橫梁上的，故，有 (12)這就是足球反彈后落在球門線上時(shí)入射點(diǎn)位置所滿足的方程.解（12）式得 (13)代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 (14)即 (15)現(xiàn)要求球落在球門線內(nèi)，故要求 (16)四、Ozrr圖11圖中z軸垂直于面考察平行光束中兩條光線分別在面的C與C 點(diǎn)以入射角i射入透明圓柱時(shí)的情況r為折射角在圓柱體中兩折射光線分別射達(dá)圓柱面的D和D，對(duì)圓柱面其

12、入射角分別為與 中，點(diǎn)與入射點(diǎn)C的距離由正弦定理有 （）同理，中，點(diǎn)與入射點(diǎn)C的距離有 （2） 改變?nèi)肷浣莍時(shí)，折射角r與入射角與亦隨之變化在柱面上的入射角滿足臨界角時(shí)，發(fā)生全反射，臨界角 （3）將分別代入(1)與(2)式，知 (4)即 (5)當(dāng), 和時(shí)，入射光線進(jìn)入柱體，經(jīng)過折射后射達(dá)柱面時(shí)的入射角都大于臨界角，由于發(fā)生全反射不能射出柱體因折射角r隨入射角i增大而增大由（5）式知，時(shí)，即垂直入射時(shí)，d最小 (6)當(dāng)i接近時(shí)（掠入射），r接近，將代入(5) 式，得 (7) Ozrr圖22由圖可見，是O z軸與OD的夾角，是O z軸與OD 的夾角，發(fā)生全反射時(shí)有(8)(9)(10)由此可見, q

13、 與i無關(guān)，即獨(dú)立于i 在掠入射時(shí)，由(8) 式和(9) 式得 (11) (12)五、1設(shè)a室中原有氣體為，打開K1后，有一部分空氣進(jìn)入a室，直到K1關(guān)閉時(shí)，a室中氣體增加到，設(shè)a室中增加的氣體在進(jìn)入容器前的體積為，氣體進(jìn)入a室的過程中，大氣對(duì)這部分氣體所作的功為（1）用T 表示K1關(guān)閉后a室中氣體達(dá)到平衡時(shí)的溫度，則a室中氣體內(nèi)能增加量為（2）由熱力學(xué)第一定律可知（3）由理想氣體狀態(tài)方程，有（4）（5）（6）由以上各式解出（7）2K2打開后，a室中的氣體向b室自由膨脹，因系統(tǒng)絕熱又無外界做功，氣體內(nèi)能不變，所以溫度不變（仍為），而體積增大為原來的2倍由狀態(tài)方程知，氣體壓強(qiáng)變?yōu)椋?）關(guān)閉K2，

14、兩室中的氣體狀態(tài)相同，即，且（9）拔掉銷釘后，緩慢推動(dòng)活塞B，壓縮氣體的過程為絕熱過程，達(dá)到最終狀態(tài)時(shí)，設(shè)兩室氣體的壓強(qiáng)、體積和溫度分別為、，則有（10）（11）由于隔板與容器內(nèi)壁無摩擦，故有（12）由理想氣體狀態(tài)方程，則有（13）（14）因（15）由（8）（15）式可得（16）（17）在推動(dòng)活塞壓縮氣體這一絕熱過程中，隔板對(duì)a室氣體作的功W等于a室中氣體內(nèi)能的增加，即（18）由（6）、（17）和（18）式得（19）六、1求剛碰撞后小球A、B、C、D的速度設(shè)剛碰撞后，小球A、B、C、D的速度分別為、，并設(shè)它們的方向都與的方向相同由于小球C位于由B、C、D三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心處，所以小球C的速度

15、也就是這系統(tǒng)的質(zhì)心的速度因碰撞前后四小球組成的質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒， 故有（1）碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量守恒，有 （2）這里角動(dòng)量的參考點(diǎn)設(shè)在與B球重合的空間固定點(diǎn)，且規(guī)定順時(shí)針方向的角動(dòng)量為正因?yàn)槭菑椥耘鲎玻鲎睬昂筚|(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能相等，有（3）因?yàn)闂U是剛性桿，小球B和D相對(duì)于小球C的速度大小必相等，方向應(yīng)相反，所以有 （4）解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得兩個(gè)解 =0 （5）和（6）因?yàn)橐彩莿偱鲎埠笥葿、C、D三小球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心的速度，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律，碰撞后這系統(tǒng)的質(zhì)心不可能靜止不動(dòng)，故（5）式不合理，應(yīng)舍去取（6）式時(shí)可解得剛碰撞后A、B、D三球的速度（7）（8）（9）2討論碰撞后各

16、小球的運(yùn)動(dòng)碰撞后，由于B、C、D三小球組成的系統(tǒng)不受外力作用，其質(zhì)心的速度不變，故小球C將以（6）式的速度即沿方向作勻速運(yùn)動(dòng)由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的大小為（10）方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向與M、m的大小有關(guān)，下面就M、m取值不同而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)情形的不同進(jìn)行討論：（i），即碰撞后小球A停住，由（7）式可知發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是 即（11）（ii），即碰撞后小球A反方向運(yùn)動(dòng)，根據(jù)（7）式，發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是（12）（iii）但，即碰撞后小球A 沿方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，但其速度小于小球C的速度由（7）式和（6）

17、式，可知發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是和 即（13）（iv），即碰撞后小球A仍沿方向運(yùn)動(dòng)，且其速度大于小球C的速度，發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是（14）（v），即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿方向運(yùn)動(dòng)，發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是（15）在這種情形下，由于小球B、D繞小球C作圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)過時(shí)，小球D 將從小球A的后面與小球A相遇，而發(fā)生第二次碰撞，碰后小球A繼續(xù)沿方向運(yùn)動(dòng)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，C球的速度要減小，碰后再也不可能發(fā)生第三次碰撞這兩次碰撞的時(shí)間間隔是（16）從第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走過的路程（17）3求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度剛要發(fā)生第二次碰撞時(shí)，細(xì)桿已轉(zhuǎn)過，這時(shí)，小球B的速

18、度為，小球D的速度為在第二次碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒和能量守恒設(shè)第二次剛碰撞后小球A、B、C、D的速度分別為、和，并假定它們的方向都與的方向相同注意到（1）、（2）、（3）式可得（18） （19）（20）由桿的剛性條件有 （21）（19）式的角動(dòng)量參考點(diǎn)設(shè)在剛要發(fā)生第二次碰撞時(shí)與D球重合的空間點(diǎn)把（18）、（19）、（20）、（21）式與（1）、（2）、（3）、（4）式對(duì)比，可以看到它們除了小球B 和D互換之外是完全相同的因此它們也有兩個(gè)解 （22）和 （23）對(duì)于由B、C、D 三小球組成的系統(tǒng)，在受到A球的作用后，其質(zhì)心的速度不可能保持不變，而（23）式是第二次碰撞未發(fā)生時(shí)質(zhì)心的速度，不合理，應(yīng)該舍去?。?2）式時(shí)，可解得 （24） （25） （26）（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運(yùn)動(dòng)，但已位于桿的前方，細(xì)桿和小球B、C、D則處于靜止?fàn)顟B(tài)，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但都向前移動(dòng)了一段距離，而且小球D和B換了位置七、1先求兩慣性系中光子速度方向的變換關(guān)系根據(jù)光速不變?cè)?，兩系中光速的大小都是以和分別表示光子速度方向在和系中與和軸的夾角，則光速的分量為，再利用相對(duì)論速度變換關(guān)系，得系中光源各